高斯定理的數(shù)學(xué)公式

高斯定理的數(shù)學(xué)公式

0高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度s=。0，se，s=。0，電磁學(xué)基本方程之一的高思定理數(shù)學(xué)公式。結(jié)果表明，不僅在現(xiàn)場(chǎng)關(guān)閉的任何截面上的電強(qiáng)橫截面的總負(fù)荷中，而且在該截面上的電強(qiáng)橫截面q0，這與封閉截面外的負(fù)荷無(wú)關(guān)。e表示閉合面中點(diǎn)的觸發(fā)強(qiáng)度，esd是通過(guò)面元ss的總閉合面的s的力通量。se'ss是整個(gè)封閉面s的力通量，ss's是s的s的積分，s通常被稱為s。高思定理指出，靜電場(chǎng)是水源和分布的。由于電池位置，確定的電力線從正極開(kāi)始，最終是負(fù)電荷。對(duì)高斯定理的理解和應(yīng)用不正確,常常會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題.如,高斯面上的E是否完全由高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生;如果Σq=0,是否必有E=0;當(dāng)E處處為零時(shí),是否高斯面內(nèi)一定無(wú)電荷;高斯定理是否在任何情況下都成立;哪些問(wèn)題用高斯定理解決會(huì)簡(jiǎn)便一些等等.這就涉及是否對(duì)高斯定理理解正確,對(duì)其數(shù)學(xué)表達(dá)式的理解是否存在數(shù)學(xué)負(fù)遷移情況.其實(shí),只要對(duì)高斯定理注意掌握幾個(gè)要點(diǎn),就能對(duì)上面的問(wèn)題有比較清醒的認(rèn)識(shí)了.1高斯面內(nèi)的荷量u空間中某處的電場(chǎng)強(qiáng)度為空間中所有電荷所激發(fā)的電場(chǎng)在該處場(chǎng)強(qiáng)的矢量和.若任意作一個(gè)假想的閉合曲面(高斯面)通過(guò)該處,用E內(nèi)、E外分別表示高斯面內(nèi)、外的電荷在高斯面上產(chǎn)生的場(chǎng),則在該處的總場(chǎng)強(qiáng)E=E內(nèi)+E外.由高斯定理有:∮sE?dS=∮sE∮sE?dS=∮sE內(nèi)·dS+∮sEdS+∮sE外·dS=Σqε0dS=Σqε0而從電力線的角度看,電力線始于正電荷,終于負(fù)電荷,當(dāng)電場(chǎng)中的閉合曲面內(nèi)不含有電荷時(shí),電力線僅穿過(guò)此閉合曲面,這些進(jìn)入閉合曲面的電力線總條數(shù)與穿出閉合曲面的電力線總條數(shù)相等,故通過(guò)整個(gè)閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零.所以∮sE∮sE外·dS=0故∮sE?dS=∮sE∮sE?dS=∮sE內(nèi)·dS=Σq/ε0即:高斯定理對(duì)高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)而言,也成立.2閉合曲面上的電場(chǎng)強(qiáng)度在對(duì)高斯定理的理解上常常出現(xiàn)不注意物理量的矢量性問(wèn)題.有些人認(rèn)為當(dāng)Σq=0時(shí),由于dS≠0,所以必有E=0.實(shí)際上,Σq=0,表明始于閉合曲面內(nèi)正電荷的電力線與終于閉合曲面內(nèi)負(fù)電荷的電力線數(shù)相等,則穿出閉合曲面的電力線數(shù)與進(jìn)入閉合曲面的電力線數(shù)相等,即通過(guò)整個(gè)閉合面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零.但這并不意味著閉合曲面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零.因?yàn)?(1)高斯面上某處的場(chǎng)強(qiáng)是高斯面內(nèi)、外電荷在該處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和,所以,即便高斯面內(nèi)的Σq=0,也無(wú)法完全確定E=0;(2)由于E和dS在式中是矢量的標(biāo)積關(guān)系,因此存在二者的方向問(wèn)題,如果E≠0,而它與dS的方向垂直,仍有E·dS=0.故不能由Σq=0來(lái)判斷E是否為零.3高斯面內(nèi)無(wú)荷Σq是高斯面內(nèi)正、負(fù)電荷電量的代數(shù)和.當(dāng)通過(guò)高斯面的電通量為零時(shí),Σq=0.這個(gè)結(jié)論既可表明高斯面內(nèi)有電量相等的正、負(fù)電荷,也可表明高斯面內(nèi)無(wú)電荷.因此,不能肯定高斯面內(nèi)一定無(wú)電荷.4e內(nèi)+0時(shí),并不一定有些人在對(duì)高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式的理解上常出現(xiàn)“數(shù)學(xué)負(fù)遷移”問(wèn)題,得出這樣的錯(cuò)誤結(jié)論:當(dāng)閉合曲面上E處處為零時(shí),不一定有曲面內(nèi)電量的代數(shù)和Σq=0.∮sE?dS=∮s(E∮sE?dS=∮s(E內(nèi)+E外)·dS=∮sE內(nèi)·dS+∮sE外·dS=Σq/ε0當(dāng)E=0時(shí),并不一定分別有E內(nèi)=0和E外=0.由于始終有∮sE外·dS=0,而E內(nèi)不一定為零,所以,∮sE?dS=∮sE內(nèi)·dS=Σq/ε0不一定為零,即當(dāng)閉合曲面上的E處處為零時(shí),Σq不一定為零.這顯然與高斯定理相悖.因?yàn)楫?dāng)E處處為零時(shí)必有∮sE?dS=0,即通過(guò)整個(gè)高斯面的電通量為零,而高斯面外的電荷激發(fā)的電場(chǎng)通過(guò)整個(gè)高斯面的電通量為零:∮sE外·dS=0,所以必有高斯面內(nèi)電荷的電通量為零:∮sE內(nèi)·dS=0.這里可以有兩種情況:一是E內(nèi)=0;二是E內(nèi)≠0,但∮sE內(nèi)·dS=0.無(wú)論是哪種情況,都有Σq=0.從數(shù)學(xué)上講:E=0時(shí)或E≠0但E·dS=0,必有Σq=0,而Σq=0時(shí),E不一定在高斯面上處處為零,即數(shù)學(xué)上描述的是E通量而不是E,它完全是由高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和Σq確定的.從物理上講,高斯面上各點(diǎn)的E是由所有電荷(面內(nèi)面外)所激發(fā)的.5高斯面是幾何面,還是物理點(diǎn)有些人提出這樣的問(wèn)題:如果電荷既不在高斯面內(nèi),也不在高斯面外,而是在高斯面上,高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)怎樣計(jì)算?實(shí)際上,高斯面是一個(gè)幾何面,它沒(méi)有厚薄之分,卻有內(nèi)外之分,電荷要么在高斯面內(nèi)(包括內(nèi)表面),要么在高斯面外(包括外表面).也就是說(shuō),必須把高斯面作為幾何面,而把點(diǎn)電荷的點(diǎn)視為物理上的點(diǎn).6點(diǎn)電荷作用力的建立由于高斯定理是由點(diǎn)電荷間相互作用的平方反比定律(庫(kù)侖定律)得出的,所以高斯定理是點(diǎn)電荷作用力的平方反比定律的必然結(jié)果.如果庫(kù)侖定律F=qq′4πε0r2中,r的指數(shù)不是2,而是n,則點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)的大小應(yīng)表示為:E=q4πε0rn以點(diǎn)電荷為中心,作半徑為r的球面為高斯面,則:∮sE?dS=∮sq4πε0rndS=∮sq4πε0rnr2dΩ=q4πε0rn-24π=qε0rn-2從而得不到高斯定理的結(jié)論.所以,只有在點(diǎn)電荷作用力服從平方反比定律的條件之下,高斯定理才成立,否則不成立.但到目前為止,理論和實(shí)驗(yàn)表明點(diǎn)電荷作用力的平方反比定律是相當(dāng)精確的.7高斯面的處理由于∮sE?dS=Σq/ε0中的E是dS處的場(chǎng)強(qiáng),而不是整個(gè)高斯面上的場(chǎng)強(qiáng).所以,一般來(lái)說(shuō)高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)并非一定處處相等,即E并不一定是恒矢量,故無(wú)法從積分號(hào)內(nèi)提出,因此難以用高斯定理計(jì)算出場(chǎng)強(qiáng)來(lái).但若選擇合適的高斯面,能使電場(chǎng)強(qiáng)度E從積分號(hào)中提出來(lái),就能用高斯定理求解場(chǎng)強(qiáng)E了.為此,作高斯面時(shí)應(yīng)注意:(1)需求場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)要在高斯面上;(2)高斯面上各部分或者與場(chǎng)強(qiáng)E垂直,或者與場(chǎng)強(qiáng)E平行,或者與場(chǎng)強(qiáng)E有恒定的夾角;(3)各部分高斯面上垂直于高斯面的場(chǎng)強(qiáng)的大小應(yīng)各自為一常值;(4)高斯面的形狀應(yīng)比較簡(jiǎn)單.為此,當(dāng)電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ時(shí),高斯面選為同心球面;具有很強(qiáng)的軸對(duì)稱時(shí),選為同軸柱面;具有面對(duì)稱時(shí),選為柱面,并使兩底與E垂直,側(cè)面與E平行.由于作高斯面有如上限制,因此用高斯定理只能求某些對(duì)稱分布電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng).用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的步驟可歸納為:(1)分析帶電體所產(chǎn)生的電場(chǎng)是否具有對(duì)稱分布的特點(diǎn);(2)選取合適的高斯面;(3)再由高斯定理求電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布.8靜電場(chǎng)的性質(zhì)從嚴(yán)格意義上,高斯定理表為∮sE?dS=Σq/ε0僅為場(chǎng)強(qiáng)對(duì)閉合曲面S通量的積累效應(yīng),為凈余通量,數(shù)學(xué)上稱積分形式,不能算作方程.因此,在理解它所描述的靜電性質(zhì)上有一定難度.如果我們將任意曲面縮小,并讓它趨于零,即:limΔV→0∮sE?dSΔV其中,s是以體積ΔV為邊界的閉合曲面,顯然上式描述的是電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)特征,定義為某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的