高斯定理的數(shù)學公式

高斯定理的數(shù)學公式

0高斯面的電場強度s=。0，se，s=。0，電磁學基本方程之一的高思定理數(shù)學公式。結果表明，不僅在現(xiàn)場關閉的任何截面上的電強橫截面的總負荷中，而且在該截面上的電強橫截面q0，這與封閉截面外的負荷無關。e表示閉合面中點的觸發(fā)強度，esd是通過面元ss的總閉合面的s的力通量。se'ss是整個封閉面s的力通量，ss's是s的s的積分，s通常被稱為s。高思定理指出，靜電場是水源和分布的。由于電池位置，確定的電力線從正極開始，最終是負電荷。對高斯定理的理解和應用不正確,常常會出現(xiàn)一些問題.如,高斯面上的E是否完全由高斯面內的電荷產生;如果Σq=0,是否必有E=0;當E處處為零時,是否高斯面內一定無電荷;高斯定理是否在任何情況下都成立;哪些問題用高斯定理解決會簡便一些等等.這就涉及是否對高斯定理理解正確,對其數(shù)學表達式的理解是否存在數(shù)學負遷移情況.其實,只要對高斯定理注意掌握幾個要點,就能對上面的問題有比較清醒的認識了.1高斯面內的荷量u空間中某處的電場強度為空間中所有電荷所激發(fā)的電場在該處場強的矢量和.若任意作一個假想的閉合曲面(高斯面)通過該處,用E內、E外分別表示高斯面內、外的電荷在高斯面上產生的場,則在該處的總場強E=E內+E外.由高斯定理有:∮sE?dS=∮sE∮sE?dS=∮sE內·dS+∮sEdS+∮sE外·dS=Σqε0dS=Σqε0而從電力線的角度看,電力線始于正電荷,終于負電荷,當電場中的閉合曲面內不含有電荷時,電力線僅穿過此閉合曲面,這些進入閉合曲面的電力線總條數(shù)與穿出閉合曲面的電力線總條數(shù)相等,故通過整個閉合曲面的電場強度通量為零.所以∮sE∮sE外·dS=0故∮sE?dS=∮sE∮sE?dS=∮sE內·dS=Σq/ε0即:高斯定理對高斯面內的電荷產生的場而言,也成立.2閉合曲面上的電場強度在對高斯定理的理解上常常出現(xiàn)不注意物理量的矢量性問題.有些人認為當Σq=0時,由于dS≠0,所以必有E=0.實際上,Σq=0,表明始于閉合曲面內正電荷的電力線與終于閉合曲面內負電荷的電力線數(shù)相等,則穿出閉合曲面的電力線數(shù)與進入閉合曲面的電力線數(shù)相等,即通過整個閉合面的電場強度通量為零.但這并不意味著閉合曲面上電場強度處處為零.因為:(1)高斯面上某處的場強是高斯面內、外電荷在該處產生的場強的矢量和,所以,即便高斯面內的Σq=0,也無法完全確定E=0;(2)由于E和dS在式中是矢量的標積關系,因此存在二者的方向問題,如果E≠0,而它與dS的方向垂直,仍有E·dS=0.故不能由Σq=0來判斷E是否為零.3高斯面內無荷Σq是高斯面內正、負電荷電量的代數(shù)和.當通過高斯面的電通量為零時,Σq=0.這個結論既可表明高斯面內有電量相等的正、負電荷,也可表明高斯面內無電荷.因此,不能肯定高斯面內一定無電荷.4e內+0時,并不一定有些人在對高斯定理的數(shù)學表達式的理解上常出現(xiàn)“數(shù)學負遷移”問題,得出這樣的錯誤結論:當閉合曲面上E處處為零時,不一定有曲面內電量的代數(shù)和Σq=0.∮sE?dS=∮s(E∮sE?dS=∮s(E內+E外)·dS=∮sE內·dS+∮sE外·dS=Σq/ε0當E=0時,并不一定分別有E內=0和E外=0.由于始終有∮sE外·dS=0,而E內不一定為零,所以,∮sE?dS=∮sE內·dS=Σq/ε0不一定為零,即當閉合曲面上的E處處為零時,Σq不一定為零.這顯然與高斯定理相悖.因為當E處處為零時必有∮sE?dS=0,即通過整個高斯面的電通量為零,而高斯面外的電荷激發(fā)的電場通過整個高斯面的電通量為零:∮sE外·dS=0,所以必有高斯面內電荷的電通量為零:∮sE內·dS=0.這里可以有兩種情況:一是E內=0;二是E內≠0,但∮sE內·dS=0.無論是哪種情況,都有Σq=0.從數(shù)學上講:E=0時或E≠0但E·dS=0,必有Σq=0,而Σq=0時,E不一定在高斯面上處處為零,即數(shù)學上描述的是E通量而不是E,它完全是由高斯面內的電荷代數(shù)和Σq確定的.從物理上講,高斯面上各點的E是由所有電荷(面內面外)所激發(fā)的.5高斯面是幾何面,還是物理點有些人提出這樣的問題:如果電荷既不在高斯面內,也不在高斯面外,而是在高斯面上,高斯面上的場強怎樣計算?實際上,高斯面是一個幾何面,它沒有厚薄之分,卻有內外之分,電荷要么在高斯面內(包括內表面),要么在高斯面外(包括外表面).也就是說,必須把高斯面作為幾何面,而把點電荷的點視為物理上的點.6點電荷作用力的建立由于高斯定理是由點電荷間相互作用的平方反比定律(庫侖定律)得出的,所以高斯定理是點電荷作用力的平方反比定律的必然結果.如果庫侖定律F=qq′4πε0r2中,r的指數(shù)不是2,而是n,則點電荷的場強的大小應表示為:E=q4πε0rn以點電荷為中心,作半徑為r的球面為高斯面,則:∮sE?dS=∮sq4πε0rndS=∮sq4πε0rnr2dΩ=q4πε0rn-24π=qε0rn-2從而得不到高斯定理的結論.所以,只有在點電荷作用力服從平方反比定律的條件之下,高斯定理才成立,否則不成立.但到目前為止,理論和實驗表明點電荷作用力的平方反比定律是相當精確的.7高斯面的處理由于∮sE?dS=Σq/ε0中的E是dS處的場強,而不是整個高斯面上的場強.所以,一般來說高斯面上的場強并非一定處處相等,即E并不一定是恒矢量,故無法從積分號內提出,因此難以用高斯定理計算出場強來.但若選擇合適的高斯面,能使電場強度E從積分號中提出來,就能用高斯定理求解場強E了.為此,作高斯面時應注意:(1)需求場強的場點要在高斯面上;(2)高斯面上各部分或者與場強E垂直,或者與場強E平行,或者與場強E有恒定的夾角;(3)各部分高斯面上垂直于高斯面的場強的大小應各自為一常值;(4)高斯面的形狀應比較簡單.為此,當電場具有球對稱時,高斯面選為同心球面;具有很強的軸對稱時,選為同軸柱面;具有面對稱時,選為柱面,并使兩底與E垂直,側面與E平行.由于作高斯面有如上限制,因此用高斯定理只能求某些對稱分布電場的場強.用高斯定理求場強的步驟可歸納為:(1)分析帶電體所產生的電場是否具有對稱分布的特點;(2)選取合適的高斯面;(3)再由高斯定理求電場的場強分布.8靜電場的性質從嚴格意義上,高斯定理表為∮sE?dS=Σq/ε0僅為場強對閉合曲面S通量的積累效應,為凈余通量,數(shù)學上稱積分形式,不能算作方程.因此,在理解它所描述的靜電性質上有一定難度.如果我們將任意曲面縮小,并讓它趨于零,即:limΔV→0∮sE?dSΔV其中,s是以體積ΔV為邊界的閉合曲面,顯然上式描述的是電場中某點的電場特征,定義為某點電場強度的