靜電場電勢零點(diǎn)選擇的任意性

靜電場電勢零點(diǎn)選擇的任意性

電勢是描述場中“能量屬性”的變量。定義靜態(tài)電場中點(diǎn)的電勢，對應(yīng)于單位的電勢能，或單位的正電梁在點(diǎn)的移動(dòng)能力?；蛘邔挝坏恼娏簭狞c(diǎn)移動(dòng)到任何路徑，這意味著電勢作用。其定義式為:顯然電勢是一個(gè)相對量,靜電場中某點(diǎn)的電勢總是相對某一特定的參考點(diǎn),即對電勢零點(diǎn)而言的。孤立地談電勢的值或電勢函數(shù)的分布是沒有意義的,因此,在計(jì)算電勢時(shí)必須首先確定電勢零點(diǎn)。很多電磁學(xué)論著中提到,電勢零點(diǎn)的選擇是任意的,但在一些具體問題中,電勢零點(diǎn)的選擇卻受到一定的限制,下面就針對這一問題展開討論。首先來說明靜電場中電勢零點(diǎn)選擇的任意性。1電勢零選擇的任意性1.1靜電場各點(diǎn)電勢的選取從物理學(xué)的角度看,靜電場與重力場相似,都是保守力場,可以引入勢能的概念,電勢能是相互作用的電荷系統(tǒng)才具有的,孤立地談?wù)撾姾稍谀骋稽c(diǎn)的電勢能或電勢的高低和正負(fù)是沒有意義的。為了確定電場中各點(diǎn)的電勢,就要選定參考點(diǎn),也就是電勢零點(diǎn),它的選擇必須滿足一個(gè)條件,那就是電勢零點(diǎn)選定后,空間各點(diǎn)的電勢必須有確定的值。選擇不同的參考點(diǎn),靜電場中各點(diǎn)的電勢值雖有所不同,但兩點(diǎn)之間的電勢差仍然相同,描述的仍然是同一個(gè)靜電場。這就是電勢零點(diǎn)的選擇在原則上具有任意性的物理原因。1.2場強(qiáng)分布的影響從數(shù)學(xué)的角度看,電勢從單位正電荷在靜電場中各點(diǎn)所蘊(yùn)含的能量來描述場,電勢是描述靜電場的標(biāo)量位置函數(shù)。根據(jù)定義有當(dāng)參考點(diǎn)由P01變?yōu)镻02時(shí),各點(diǎn)的電勢只改變一個(gè)常量根據(jù)場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系不影響場強(qiáng)分布。反映在幾何圖像上(如圖1所示),電勢零點(diǎn)選擇不同,只是橫坐標(biāo)的位置不同,不會(huì)影響曲線上各點(diǎn)的斜率。而各點(diǎn)的斜率決定曲線的形狀,所以電勢零點(diǎn)不同,只影響電勢分布曲線相對于橫坐標(biāo)的位置,它的形狀、間隔、等勢面法線方向的空間變化率都不改變,即場強(qiáng)的空間分布并不改變,描述的仍然是同一個(gè)靜電場。這就是靜電場電勢零點(diǎn)的選擇具有任意性的數(shù)學(xué)原因。2電勢零選擇限制前面分別從物理學(xué)和數(shù)學(xué)的角度討論了電勢零點(diǎn)選擇的任意性,但在一些具體問題中,電勢零點(diǎn)的選擇又受到一定的限制,下面舉例說明。2.1各點(diǎn)電勢各點(diǎn)的電勢比對對于點(diǎn)電荷Q激發(fā)的靜電場,場強(qiáng)的分布為根據(jù)電勢的定義式,電場中距點(diǎn)電荷r處點(diǎn)P的電勢為式中P0為電勢零點(diǎn),距Q為r0。若選取點(diǎn)電荷所在處即r0=0為電勢零點(diǎn),則有就是說電場中其他各點(diǎn)的電勢均為無窮大,這樣電場中各點(diǎn)的電勢就無從區(qū)分和比較,用它來描述的性質(zhì)也就毫無意義了。因此,在點(diǎn)電荷激發(fā)的電場中,不能選點(diǎn)電荷所在處為電勢零點(diǎn)。2.2帶線帶平面邊強(qiáng)對于無限大均勻帶電平面(設(shè)電荷面密度為+σ)所激發(fā)的電場,應(yīng)用高斯定理可得帶電平面兩邊的場強(qiáng)分布為根據(jù)電勢的定義式,可得距平面r處點(diǎn)P的電勢為式中P0為電勢零點(diǎn),距帶電平面為r0。若選擇無限遠(yuǎn)處,即r0→∞處為電勢零點(diǎn),得UP→∞,則電場中各點(diǎn)的電勢無從區(qū)分和比較,故不能選取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。2.3無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢對于無限長均勻帶電直線(設(shè)電荷線密度為+λ)所激發(fā)的電場,同樣可以應(yīng)用高斯定理求得場強(qiáng)分布為根據(jù)電勢的定義式,距直線r處點(diǎn)P的電勢為式中P0為電勢零點(diǎn),距帶電直線為r0。若選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)即r0→∞處為電勢零點(diǎn),得UF→∞,電場中各點(diǎn)的電勢無從區(qū)分和比較,故不能選取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。若選擇帶電直線處即r0=0處為電勢零點(diǎn),得ln0沒有意義,無法計(jì)算出各場點(diǎn)的電勢,故也不能選取帶電直線處為電勢零點(diǎn)。3無限大均勻帶由前面的討論可知,點(diǎn)電荷激發(fā)的電場不能選擇點(diǎn)電荷所在處為電勢零點(diǎn);無限大均勻帶電平面激發(fā)的電場不能選取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn);而無限長均勻帶電直線激發(fā)的電場既不能選擇帶電直線處為電勢零點(diǎn),也不能選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)?？梢?電勢零點(diǎn)選擇的限制性都出現(xiàn)在理想化的情形中。3.1荷密度、場強(qiáng)、電勢均有對比我們知道,點(diǎn)電荷是理想模型,對于實(shí)際的帶電體,只有研究的場點(diǎn)到帶電體的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于帶電體本身的幾何線度時(shí),才能把實(shí)際的帶電體看作是點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷把有限的電量集中在無窮小的空間范圍(一點(diǎn))之內(nèi),這就必然導(dǎo)致點(diǎn)電荷所在處電荷密度為無窮大!場強(qiáng)為無窮大!電勢無限增長,使得空間各點(diǎn)的電勢都趨于無窮大,從而無從區(qū)分和比較。顯然,對于任何實(shí)際的帶電體,電荷分布都不會(huì)出現(xiàn)這種情況。因此,出現(xiàn)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場不能選點(diǎn)電荷所在處為電勢零點(diǎn)的原因在于,當(dāng)場點(diǎn)無限接近點(diǎn)電荷時(shí),點(diǎn)電荷的理想模型已經(jīng)失效,此時(shí)的點(diǎn)電荷反過來可以用帶電球面代替,其電勢零點(diǎn)就可以選在電荷所在處了,證明如下。對于半徑為R、電量為Q的均勻帶電球面所激發(fā)的電場,其場強(qiáng)分布為若選擇球面球心為電勢零點(diǎn),根據(jù)電勢的定義式,可得距帶電球面r處點(diǎn)P的電勢為可見帶電球面激發(fā)的電場可以選擇電荷所在處為電勢零點(diǎn)(如圖2所示),點(diǎn)電荷激發(fā)的電場之所以不能選擇電荷所在處為電勢零點(diǎn),完全是因?yàn)辄c(diǎn)電荷這個(gè)理想模型有一定適用范圍造成的。3.2“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的電勢恒實(shí)際的帶電體電荷總是分布在有限區(qū)域。大致來說,帶電體附近電場較強(qiáng),電勢變化劇烈,而遠(yuǎn)處的電場較弱,電勢變化和緩,當(dāng)距離帶電體足夠遠(yuǎn)時(shí),可以近似地認(rèn)為該區(qū)域場強(qiáng)為零,電勢恒定,這些區(qū)域就是物理上稱的“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。對于實(shí)際靜電場問題,都存在著具有上述特點(diǎn)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),這是它們普遍的共同點(diǎn)。因此,對于分布在有限區(qū)域的帶電體所產(chǎn)生的靜電場,把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)選為電勢零點(diǎn),既普遍適用又方便自然。無限大帶電平面也是一個(gè)理想模型,對于實(shí)際的帶電平面,只有研究的場點(diǎn)距離帶電體很近且不靠近端點(diǎn),才能將其視為無限大。無限大帶電平面激發(fā)的電場,已經(jīng)不存在比帶電平面伸展的范圍遠(yuǎn)得多的場強(qiáng)為零、電勢恒定,被稱為“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的廣大空間了,所以如果堅(jiān)持帶電平面無限大就不能再選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)了。3.3無限長均勻帶頭可能不太遠(yuǎn)無限長均勻帶電直線同樣是一個(gè)理想模型,適用條件是研究的場點(diǎn)既不能離帶電體太近(否則不能視作帶電直線)也不能離帶電體太遠(yuǎn)(否則不能視作無限長)。所以,無限長均勻帶電直線激發(fā)的電場既不能選直線所在處為電勢零點(diǎn),也不能選擇無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。由此可見,存在于理想化情形中電勢零點(diǎn)選擇的限制性,完全是因?yàn)槔硐肽Ｐ妥陨碛幸欢ǖ倪m用條件造成的,不能因此從原則上否定電勢零點(diǎn)選擇的任意性。4靜電場物理規(guī)律點(diǎn)電荷、無限大均勻帶電平面、無限長均勻帶電直線都是理想模型,是實(shí)際模型的近似和抽象,它們不