二項(xiàng)分布為背景的概率模型（解析版）

二項(xiàng)分布為背景的概率模型思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)求二項(xiàng)分布為背景的概率模型的解題思路：第一步：根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量.第二步：分析隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.第三步：找到參數(shù)n，p.第四步：寫出二項(xiàng)分布的概率表達(dá)式.第五步：求解相關(guān)概率.【易錯(cuò)提醒】二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布．區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布如本例(3)母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】（2022·陜西高三模擬）每年3月20日是國(guó)際幸福日,某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．【解題指導(dǎo)】(Ⅰ)先計(jì)算人都認(rèn)為不很幸福的概率→再有對(duì)立事件就概率；(Ⅱ)確定二項(xiàng)分步→的可能的取值→列出分布列→求出期望．【解析】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡?，則表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機(jī)變量，的可能的取值為；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的期望方法總結(jié)方法總結(jié)二項(xiàng)分布的均值與方差.(1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b).模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．【與五育并舉融合】2023年亞運(yùn)會(huì)在中國(guó)杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預(yù)定，亞奧理事會(huì)規(guī)定：開幕式門票分為A、B兩檔，當(dāng)預(yù)定A檔未成功時(shí)，系統(tǒng)自動(dòng)進(jìn)入B檔預(yù)定，已知獲得A檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得B檔門票的機(jī)會(huì)；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲預(yù)定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預(yù)定了兩張賽事門票．(1)求甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率；(2)求乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)甲、乙獲得的門票數(shù)分別為、，分別求、的分布列，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）“乙獲得的門票數(shù)比甲多”有3種可能、和，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：預(yù)定一張開幕式門票不成功的概率，成功的概率為，設(shè)甲獲得的門票數(shù)為，則的可能取值為，故，故的分布列為：012設(shè)乙獲得的門票數(shù)為，則，故，故的分布列為：012故甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率.（2）由（1）可得：乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率.2．【與頻率分布直方圖融合】為了響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，某校實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級(jí)進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.(1)根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取3個(gè)人，記抽取的3人成績(jī)?cè)赱100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的頻率，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1可求出數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110，120）的頻率；根據(jù)中位數(shù)公式可求出中位數(shù)；（2）先求出數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，再根據(jù)二項(xiàng)分布可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由直方圖可知，數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為,所以數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110，120）的頻率為，數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[70，100）的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為.（2）由（1）知，數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，由題意可知，，的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望.3．【決策問題】某學(xué)校在50年校慶到來之際，舉行了一次趣味運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目比賽，比賽由傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目組成，每位參賽運(yùn)動(dòng)員共需要完成3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．對(duì)于每一個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若沒有完成，得0分，若完成了，得30分．對(duì)于新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若沒有完成，得0分，若只完成了1個(gè)，得40分，若完成了2個(gè)，得90分．最后得分越多者，獲得的資金越多．現(xiàn)有兩種參賽的方案供運(yùn)動(dòng)員選擇．方案一：只參加3個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．方案二：先參加1個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，再參加2個(gè)新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．已知甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員能完成每個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目的概率為，能完成每個(gè)新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率均為，且甲、乙參加的每個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目是否能完成相互獨(dú)立．(1)若運(yùn)動(dòng)員甲選擇方案一，求甲得分不低于60分的概率．(2)若以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)問運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)該選擇方案一還是方案二？說明你的理由．【答案】(1)；(2)運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)該選擇方案一；理由見解析【分析】（1）甲得分不低于60分等價(jià)甲至少要完成2項(xiàng)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目；（2）方案一服從二項(xiàng)分布從而可求數(shù)學(xué)期望，再由方案二得分的分布列求得數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小.【詳解】（1）運(yùn)動(dòng)員甲選擇方案一，若甲得分不低于60分，則甲至少要完成2項(xiàng)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，故甲得分不低于60分的概率．（2）若乙選擇方案一，則乙完成的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，所以乙最后得分的數(shù)學(xué)期望為．若乙選擇方案二，則乙得分Y的可能為取值為0，30，40，70，90，120，，，，，，．所以Y的數(shù)學(xué)期，因?yàn)椋赃\(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)該選擇方案一．4．【與數(shù)列融合】近兩年因?yàn)橐咔榈脑?，線上教學(xué)越來越普遍了．為了提升同學(xué)們的聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進(jìn)行專注度監(jiān)測(cè)，即要求同學(xué)們?cè)?0秒鐘內(nèi)在軟件平臺(tái)上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在認(rèn)真聽課，否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了．經(jīng)過一個(gè)月對(duì)全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計(jì)，平均每次專注度監(jiān)測(cè)有的同學(xué)能夠正常完成簽到．為了能夠進(jìn)一步研究同學(xué)們上課的專注度情況，我們做如下兩個(gè)約定：①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測(cè)中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；②約定每次專注度監(jiān)測(cè)中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分．請(qǐng)回答如下兩個(gè)問題：(1)若一節(jié)課老師會(huì)進(jìn)行3次專注度監(jiān)測(cè)，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中的總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？(2)記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測(cè)中累計(jì)得分恰為分的概率為（比如：表示累計(jì)得分為分的概率，表示累計(jì)得分為的概率），求：①的通項(xiàng)公式；②的通項(xiàng)公式．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求解，求得三次監(jiān)測(cè)中完成簽到次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再求結(jié)果即可；（2）求得的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得；再結(jié)合累加法，以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求得.【詳解】（1）設(shè)某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中完成簽到的次數(shù)為，由題可知，，故，設(shè)某班同學(xué)3次專注度監(jiān)測(cè)的總得分為，根據(jù)題意，故.故某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中的總得分的數(shù)學(xué)期望是.（2）①由題可知，根據(jù)題意，，故可得故數(shù)列為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則.②根據(jù)上式可得，則，故的通項(xiàng)公式.5．【與獨(dú)立性檢驗(yàn)融合】某核酸檢測(cè)機(jī)構(gòu)為了提高核酸檢測(cè)效率，對(duì)核酸檢測(cè)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造，為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：小時(shí)）數(shù)據(jù)，整理如下：改造前：141，140，146，127，147，159，136，162，140，126，178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.(1)完成下面的列聯(lián)表，并判是否有90%以上的把握認(rèn)為判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異?技術(shù)改造設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行小時(shí)合計(jì)超過144不超過144改造前改造后合計(jì)(2)核酸檢測(cè)機(jī)構(gòu)的檢測(cè)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù)，核酸檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)檢測(cè)設(shè)備的維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)和額外維護(hù)費(fèi)兩種，對(duì)檢測(cè)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為144小時(shí)（開機(jī)運(yùn)行144小時(shí)內(nèi)檢測(cè)一次）進(jìn)行維護(hù)，檢測(cè)設(shè)備在一個(gè)月內(nèi)（720小時(shí)）設(shè)5個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，若檢測(cè)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)，而不會(huì)產(chǎn)生額外維護(hù)費(fèi)；若檢測(cè)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外，還產(chǎn)生額外維護(hù)費(fèi)，經(jīng)測(cè)算，正常維護(hù)費(fèi)為0.56萬元/次，額外維護(hù)費(fèi)第一次為0.22萬元/周期，此后每增加一次則額外維護(hù)費(fèi)增加0.22萬元.已知檢測(cè)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的概率為，求一個(gè)月內(nèi)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（其中）【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，有以上的把握認(rèn)為判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.(2)分布列答案見解析，均值為萬元【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，代入公式計(jì)算結(jié)果，對(duì)照表格，判斷得答案；（2）首先判斷一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，檢測(cè)設(shè)備需要額外維護(hù)費(fèi)的概率為，設(shè)一個(gè)月內(nèi)需額外維護(hù)的次數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)題意找到與一個(gè)月的維護(hù)費(fèi)的關(guān)系，計(jì)算的可能取值，依次計(jì)算其概率得分布列，計(jì)算分布列的期望，得答案.【詳解】（1）列聯(lián)表為：技術(shù)改造設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行小時(shí)合計(jì)超過144不超過144改造前14620改造后81220合計(jì)221840易知：，所以有以上的把握認(rèn)為判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.（2）已知，一個(gè)月內(nèi)設(shè)有個(gè)維護(hù)周期，一個(gè)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的概率為，即需要額外維護(hù)費(fèi)的概率為，設(shè)一個(gè)月內(nèi)需額外維護(hù)的次數(shù)為，則，一個(gè)月內(nèi)的正常維護(hù)費(fèi)為，額外維護(hù)費(fèi)為萬元.所以一個(gè)月內(nèi)需額外維護(hù)次數(shù)為時(shí)需要的維護(hù)費(fèi)為萬元，設(shè)一個(gè)月內(nèi)的維護(hù)費(fèi)為，則的所有可能取值為，，，，，，；；；；；；所以，的分布列為2.83.023.464.1256.1.一個(gè)月內(nèi)維護(hù)費(fèi)的均值為萬元.6．【結(jié)構(gòu)不良問題】甲?乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，互不影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，互不影響.(1)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)在①甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次，②乙擊中目標(biāo)的次數(shù)不超過2次，③甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)2次這三個(gè)條件中任取一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答問題.求___________事件的概率.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)分布列見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）確定X的可能取值，利用二項(xiàng)分布求X的分布列；（2）根據(jù)所選的條件，利用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加法公式及對(duì)立事件概率求法求概率.【解析】（1）由題意知：X的取值范圍是，，，，.故X的分布列為：X0123P（2）選擇①：設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)0次為事件，甲恰好擊中目標(biāo)3次且乙恰好擊中目標(biāo)1次為事件，則，又和為互斥事件，則.所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為.選擇②：記乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y，而的對(duì)立事件為，由，故.選擇③：甲擊中目標(biāo)與乙擊中目標(biāo)為相互獨(dú)立事件，所以甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)2次的概率為.7．【與條形圖融合】第屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．某校寒假期間組織部分滑雪愛好者參加冬令營(yíng)集訓(xùn)．訓(xùn)練期間，冬令營(yíng)的同學(xué)們都參加了“單板滑雪”這個(gè)項(xiàng)目相同次數(shù)的訓(xùn)練測(cè)試，成績(jī)分別為、、、、五個(gè)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)為、、、、．甲、乙兩位同學(xué)在這個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．(1)根據(jù)上圖判斷，甲、乙兩位同學(xué)哪位同學(xué)的單板滑雪成績(jī)更穩(wěn)定？（結(jié)論不需要證明）(2)求甲單板滑雪項(xiàng)目各次測(cè)試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)；(3)若甲、乙再同時(shí)參加兩次測(cè)試，設(shè)甲的成績(jī)?yōu)榉植⑶乙业某煽?jī)?yōu)榉只蚍值拇螖?shù)為，求的分布列（頻率當(dāng)作概率使用）．【答案】(1)乙比甲的單板滑雪成績(jī)更穩(wěn)定；(2)眾數(shù)為3分，平均數(shù)為2.9分；(3)分布列答案見解析【分析】（1）根據(jù)條形圖判斷可得出結(jié)論；（2）根據(jù)條形圖可得出眾數(shù)，將每組值乘以對(duì)應(yīng)組的頻率，將所得結(jié)果全部相加可得平均數(shù)；（3）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】（1）解：由圖可知，乙比甲的單板滑雪成績(jī)更穩(wěn)定.（2）解：因?yàn)榧讍伟寤╉?xiàng)目測(cè)試中分和分成績(jī)的頻率之和為，分成績(jī)的頻率為，所以，甲單板滑雪項(xiàng)目各次測(cè)試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為分，測(cè)試成績(jī)分的頻率為，所以，甲單板滑雪項(xiàng)目各次測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為.（3）解：由題意可知，在每次測(cè)試中，甲的成績(jī)?yōu)榉?，并且乙的成?jī)?yōu)榉只蚍值母怕蕿椋李}意，，所以，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：8．【與分層抽樣融合】今年上海疫情牽動(dòng)人心，大量醫(yī)務(wù)人員馳援上海．現(xiàn)從這些醫(yī)務(wù)人員中隨機(jī)選取了年齡（單位：歲）在內(nèi)的男、女醫(yī)務(wù)人員各100人，以他們的年齡作為樣本，得出女醫(yī)務(wù)人員的年齡頻率分布直方圖和男醫(yī)務(wù)人員的年齡頻數(shù)分布表如下：年齡（單位：歲）頻數(shù)3020251510(1)求頻率分布直方圖中a的值：(2)在上述樣本中用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的女醫(yī)務(wù)人員中抽取8人，從年齡在內(nèi)的男醫(yī)務(wù)人員中抽取5人．記這13人中年齡在內(nèi)的醫(yī)務(wù)人員有m人，再?gòu)倪@m人中隨機(jī)抽取2人，求這2人是異性的概率：(3)將上述樣本頻率視為概率，從所有馳援上海的年齡在內(nèi)的男醫(yī)務(wù)人員中隨機(jī)抽取8人，用表示抽到年齡在內(nèi)的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望及方差．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可；（2）首先按照分層抽樣求出男、女年齡在、內(nèi)的人數(shù)，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得；（3）依題意可得年齡在內(nèi)的概率為，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差公式計(jì)算可得；【解析】（1）由題意，解得：（2）由已知得8名女醫(yī)務(wù)人員中，年齡在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人5名男醫(yī)務(wù)人員中，年齡在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人∴這13人中，年齡在內(nèi)的有8人，其中女醫(yī)務(wù)人員有6人，男醫(yī)務(wù)人員有2人．設(shè)從這8人中抽取2人，這2人是異性為事件A，則（3）由題意，在男醫(yī)務(wù)人員中，年齡在內(nèi)與年齡在內(nèi)的人數(shù)比為，故在年齡在內(nèi)的男醫(yī)務(wù)人員中隨機(jī)抽取1人，其年齡在內(nèi)的概率為，∴∴的數(shù)學(xué)期望為，的方差為9．【與對(duì)立事件融合】已知某機(jī)床的控制芯片由個(gè)相同的單元組成，每個(gè)單元正常工作的概率為，且每個(gè)單元正常工作與否相互獨(dú)立.（1）若，求至少有3個(gè)單元正常工作的概率；（2）若，并且個(gè)單元里有一半及其以上的正常工作，這個(gè)芯片就能控制機(jī)床，其概率記為.①求的值；②若，求的值.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】(1)至少有3個(gè)單元正常工作的概率,即求3個(gè)單元和4個(gè)單元正常工作的概率之和；(2)①的值，即時(shí)，至少有4個(gè)單元正常工作的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求解即可；②對(duì)分奇偶討論，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)至少有3個(gè)單元正常工作的概率為，則.（2）①時(shí)，至少有4個(gè)單元正常工作芯片就能控制機(jī)床，所以，由，而，所以.②若，則，頁(yè)所以，符合題意.若，則，而對(duì)立事件，且，則，所以，故：.10．【與折線圖融合】2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京勝利舉行，北京也成為了第一個(gè)同時(shí)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市.為推廣普及冰雪運(yùn)動(dòng)，深入了解湖北某地中小學(xué)學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下圖數(shù)據(jù)：(1)在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學(xué)校至少有一個(gè)參與“自由式滑雪”超過4