第三講復(fù)數(shù)講義解析版

第三講：復(fù)數(shù)【考點(diǎn)梳理】1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1）形如()的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中分別是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部．若，則為實(shí)數(shù)；若，則為虛數(shù)；若且，則為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：()．(3)的共軛復(fù)數(shù)為()．(4)復(fù)數(shù)()與復(fù)平面的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．(5)復(fù)數(shù)()的模注意：任意兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)能比較大小，其他情況不能比較大?。?、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義（1）.復(fù)平面（2）復(fù)數(shù)的幾何意義①?gòu)?fù)數(shù)()復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn).②復(fù)數(shù)()平面向量.（3）復(fù)數(shù)的模：①定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)()的?；蚪^對(duì)值.②記法：復(fù)數(shù)i的模記為或③公式：（3）共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).2.表示：的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若()，則3、復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則（1）設(shè)，()是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則①；②（2）對(duì)任意，有①；②.4、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖，設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)向量分別為，，四邊形為平行四邊形，向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng).5、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律（1）復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)，()是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)，有交換律結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律6、復(fù)數(shù)除法的法則設(shè)，(，且)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則7、方程的虛數(shù)根對(duì)所有的實(shí)系數(shù)一元二次方程，若，則此方程沒(méi)有實(shí)根，但有兩個(gè)虛根，且兩根，故實(shí)系數(shù)方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)．8、常用結(jié)論①②③【典型題型講解】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的相關(guān)概念【典例例題】例1.已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若是虛數(shù)，則都是虛數(shù).A．①④ B．② C．②③ D．①②③【答案】C【解析】為復(fù)數(shù)，①若，因?yàn)闆](méi)有大?。ㄌ摬繛?，即為實(shí)數(shù)時(shí)除外），故是錯(cuò)誤的，②若，設(shè)，則，由，得，所以，正確，③若，則，正確，④若是虛數(shù)，不一定都是虛數(shù)，比如，而是虛數(shù)，故錯(cuò)誤，故②③正確，故選：C.例2.已知，（，為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】，，，，.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠?，所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．【變式訓(xùn)練】1.已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，復(fù)數(shù)和是實(shí)數(shù)，成立，當(dāng)時(shí)，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.已知，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．0或 D．【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得，解得.故選：D.3.若，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【詳解】若，則，所以則是的充要條件.故選：C考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算【典例例題】例1．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A． B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為【答案】ABD【詳解】由復(fù)數(shù)，則，所以A正確；因?yàn)?，所以B正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以C不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念可得，復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：ABD.例2．（2022·廣東東莞·高三期末）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】．ABC【詳解】對(duì)于A：若，則，故，所以A正確；對(duì)于B：若，則，所以B正確；對(duì)于C：設(shè)，則，故，所以C正確；對(duì)于D：如下圖所示，若，，則，，故，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC【方法技巧與總結(jié)】設(shè)，則（1）（2）（3）【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東汕尾·高三期末）若復(fù)數(shù)z滿足其中（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D．2．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B3．（2021·廣東汕頭·高三期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足：z(1-i)=4-3i，則z=（

）A． B． C． D．【答案】．A【詳解】由題意可得：．故選：A4.復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋虼耍?故選：C.5.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實(shí)系數(shù)方程的一根，則（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，，且，故選：C6．若（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A7．若復(fù)數(shù)的虛部小于0，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，因?yàn)?，所?又z的虛部小于0，所以，.故選：C考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義【典例例題】例1.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B例2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限【答案】D【解析】，故位于第四象限，故選:D.3．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋深}意可得z為實(shí)數(shù)，所以，所以．故選：C.4．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【解析】由題意得，所以，在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，故選：A6．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，，解得.故選：A.7．已知復(fù)數(shù)z滿足，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二或第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題，，故，解得，故選：A.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，的虛部?故選：C2．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即的共軛?fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3．已知，且，其中，為實(shí)數(shù)，則（

）A．1 B．3 C． D．5【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以由可得，解得，所以，故選：C4．復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，則.故選：C.5．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限．故選：C．6．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）．A．5 B． C．22 D．2【答案】A【解析】，，.故選：A7．已知復(fù)數(shù)滿足，若為純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以設(shè)，則由，得，即，所以，解得.故選：C.8．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】，所以.故選：A9．歐拉公式（其中，為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的實(shí)部為 B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】C【解析】對(duì)于A，，則實(shí)部為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，則其共軛復(fù)數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題10．（2022·河北·高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓C．若，滿足，則的取值范圍為D．若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，，，依次循環(huán)，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，，則有，可知在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)有，解得，所以的取值范圍為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，，若，則有，令，則.令，可得，所以，于是得，故D正確.故選：ABD11．（2022·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) D．復(fù)數(shù)的?！敬鸢浮緽CD【解析】，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故A錯(cuò)誤；虛部為，故B正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；復(fù)數(shù)的模，故D正確；故選：BCD.三、填空題12．己知，則_______