1-有限單元法簡介

有限元法基礎(chǔ)

FiniteElementMethod桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationIMEA學(xué)習(xí)目的及方法InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation目的

了解FEM數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)；把握FEM求解具體問題的基本過程；應(yīng)用FEM，特別是運(yùn)用已有的通用或?qū)Ｓ密浖蠼鈱?shí)際工程技術(shù)問題；方法

注重深入理解FEM思想的建立，數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ);

運(yùn)用通用或?qū)Ｓ糜邢拊绦蜻M(jìn)行工程問題分析；2023/10/6有限單元法簡介2一、數(shù)值模擬方法概述二、有限單元法簡介三、有限單元法分析步驟四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析五、結(jié)后語一、數(shù)值模擬方法概述

工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多力學(xué)問題和場問題，如固體力學(xué)中的位移場、應(yīng)力場分析；電磁學(xué)中的電磁分析、振動特性分析；熱力學(xué)中的溫度場分析；流體力學(xué)中的流場分析等，都可以歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。雖然人們能夠得到它們的基本方程和邊界條件，但是能夠用解析法求解的只是少數(shù)性質(zhì)比較簡單和邊界比較規(guī)則的問題，實(shí)際結(jié)構(gòu)的形狀和所受到的載荷往往比較復(fù)雜，按解析法求解是非常困難的。2023/10/6有限單元法簡介4一、數(shù)值模擬方法概述

解決這類復(fù)雜問題主要有兩種方法：1、引入簡化假設(shè)，使其達(dá)到能用解析法求解的狀態(tài)，然后求其近似解（未必可行，容易導(dǎo)致不正確的解答）2、保留問題的復(fù)雜性，利用數(shù)值模擬方法求得問題的近似解（較多采用）數(shù)值模擬技術(shù)（即CAE技術(shù)，Computer-aidedEngineering）是人們在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，借助于計(jì)算機(jī)技術(shù)來獲得滿足工程要求的數(shù)值近似解，是現(xiàn)代工程仿真學(xué)發(fā)展的重要推動力之一。2023/10/6有限單元法簡介5一、數(shù)值模擬方法概述

目前在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有：

1、有限單元法FEM（FiniteElementMethod）

2、邊界元法BEM（BoundaryElementMethod）

3、有限差分法FDM（FiniteDifferenceMethod）

4、離散單元法DEM（DiscreteElementMethod）其中有限單元法是最具實(shí)用性和應(yīng)用最廣泛的。2023/10/6有限單元法簡介6一、數(shù)值模擬方法概述

數(shù)值模擬結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)形成的應(yīng)用軟件在工程中得到廣泛的應(yīng)用，國際上著名的有限元通用軟件有：ANSYS,ABAQUS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC,ADINA,FLAC等它們大多采用FORTRAN語言編寫，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且?guī)в袕?qiáng)大的前處理和后處理程序。大多數(shù)有限元通用軟件擁有良好的用戶界面、使用方便，功能強(qiáng)大。2023/10/6有限單元法簡介7[FEM求解工程問題思路]

工程中的問題本構(gòu)關(guān)系線性的、邊界規(guī)則的問題數(shù)值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規(guī)則的問題解析法圖1工程問題的求解思路

FEM猶如萬能鑰匙，是解決工程問題的主流數(shù)值分析方法只能解決極少的方程求解，而且解答復(fù)雜。工程問題的求解基本過程InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation二、有限單元法簡介2023/10/6有限單元法簡介81.有限元法定義

是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成線性代數(shù)方程組求解。分析指導(dǎo)思想

化整為零，裁彎取直，以簡馭繁，變難為易二、有限單元法簡介2023/10/6有限單元法簡介92023/10/6有限單元法簡介10是在當(dāng)今工程分析中獲得最廣泛應(yīng)用的數(shù)值計(jì)算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技術(shù)界的高度重視。伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)已成為：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)——

Computer

Aided

Design計(jì)算機(jī)輔助制造(CAM)——

Computer

Aided

Manufacture的重要組成部分.有限單元法(或稱有限元法，F(xiàn)EM)——

Finite

Element

Method2.發(fā)展簡史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀(jì)60年代，我國數(shù)學(xué)家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都可用FEM求解20世紀(jì)60年代以后，由于數(shù)學(xué)界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴(kuò)大了應(yīng)用二、有限單元法簡介2023/10/6有限單元法簡介113.發(fā)展方向新型單元的研究有限元的數(shù)學(xué)理論向新領(lǐng)域擴(kuò)展應(yīng)用大型通用程序的編制和設(shè)計(jì)

ANSYS,NASTRAN,ABAQUS開發(fā)微機(jī)用版本設(shè)計(jì)自動化及優(yōu)化設(shè)計(jì)（CAD,CAE,CAM）二、有限單元法簡介2023/10/6有限單元法簡介124.有限元法的分類

以方程中未知數(shù)代表的意義分類

有限元位移法：未知數(shù)為位移有限元力法：未知數(shù)為力有限元混合法：未知數(shù)為力和位移

以推導(dǎo)方法分類

直接法變分法加權(quán)余數(shù)法二、有限單元法簡介2023/10/6有限單元法簡介13有限單元法的常用術(shù)語：二、有限單元法簡介真實(shí)系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義2023/10/6有限單元法簡介14節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn):

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。單元:

一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷2023/10/6有限單元法簡介15自由度（DOFs－degreeoffreedoms）自由度(DOFs)

用于描述一個物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs

結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

物理場 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ2023/10/6有限單元法簡介16節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ2023/10/6有限單元法簡介17二、有限單元法簡介有限單元法的基本思想：1、將一個連續(xù)域離散化為有限個單元，并通過有限個節(jié)點(diǎn)相連接的等效集合體。由于單元能按照不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。2、有限元法利用在每一個單元內(nèi)假設(shè)的的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在單元的各個節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來表達(dá)。3、一個問題的有限元分析中，未知場函數(shù)在各個節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量，從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。4、一經(jīng)求解出這些未知量，就可以通過插值函數(shù)計(jì)算出各個單元內(nèi)場函數(shù)的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。顯然，隨著單元數(shù)目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加以及插值函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷改進(jìn)，如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后將收斂于精確解。2023/10/6有限單元法簡介18三、有限單元法分析步驟有限元法分析問題的基本步驟：1、結(jié)構(gòu)的離散化

離散化就是將要分析的結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體，并在單元的指定位置設(shè)置節(jié)點(diǎn)，使相鄰單元的有關(guān)參數(shù)具有一定的連續(xù)性，構(gòu)成單元的集合體代替原來的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散化時，劃分的單元大小和數(shù)目應(yīng)根據(jù)計(jì)算精度的要求和計(jì)算機(jī)的容量來決定

選取坐標(biāo)（右手法則）選擇合適的單元，離散結(jié)構(gòu)物為有限個單元，并對單元、節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號2023/10/6有限單元法簡介19三、有限單元法分析步驟2、選擇位移插值函數(shù)

為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析連續(xù)體問題時，必須對單元中位移的分布做出一定的假設(shè)，一般假定位移是坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法中的關(guān)鍵。

{f}—單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列矩陣

[N]—單元形函數(shù)矩陣

—單元節(jié)點(diǎn)位移的列矩陣2023/10/6有限單元法簡介20三、有限單元法分析步驟3、分析單元的力學(xué)特性

利用幾何方程、本構(gòu)方程和變分原理得到單元的剛度矩陣和載荷矩陣

{R}e=[K]e

{δ}e{R}e

—單元節(jié)點(diǎn)力

[K]e

—單元剛度矩陣2023/10/6有限單元法簡介21三、有限單元法分析步驟4、集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程

先將各個單元剛度矩陣集合成整體剛度矩陣[K]，然后將各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣集合成總的載荷列陣[K]=Σ[K]e

5、由平衡方程求解未知節(jié)點(diǎn)位移{δ}

按照問題的邊界條件修改總的平衡方程，并進(jìn)行求解。2023/10/6有限單元法簡介22三、有限單元法分析步驟6、單元應(yīng)變和應(yīng)力的計(jì)算

根據(jù)已知結(jié)點(diǎn)的位移利用彈性力學(xué)方程和位移插值函數(shù)算出單元的應(yīng)變和應(yīng)力。2023/10/6有限單元法簡介232023/10/6有限單元法簡介24

有限元法的要點(diǎn)在工程或物理問題的數(shù)學(xué)模型:基本變量;基本方程;求解域和邊界條件等確定以后，有限元法作為對其進(jìn)行分析的數(shù)值計(jì)算方法的要點(diǎn)可歸納如下：2023/10/6有限單元法簡介25(1)將一個表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個子域(單元)，并通過它們邊界上的節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成為組合體。下圖表示將一個二維多連通求解域離散為若干個單元的組合體。圖(a)和(b)分別表示采用四邊形和三角形單元離散的圖形。各個單元通過它們的角節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)。(2)用每個單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場變量。每個單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)(或其導(dǎo)數(shù))在單元各個節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值和與其對應(yīng)的插值函數(shù)來表達(dá)(此表達(dá)式通常表示為矩陣形式)。由于在聯(lián)結(jié)相鄰單元的節(jié)點(diǎn)上，場函數(shù)應(yīng)具有相同的數(shù)值，因而將它們用作數(shù)值求解的基本未知量。

轉(zhuǎn)換為求解原來待求場函數(shù)的無窮多自由度問題求解場函數(shù)節(jié)點(diǎn)值的有限自由度問題(3)通過和原問題數(shù)學(xué)模型(基本方程、邊界條件)等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量(場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值)的代數(shù)方程組或常微分方程組。此方程組稱為有限元求解方程，并表示成規(guī)范化的矩陣形式。接著用數(shù)值方法求解此方程，從而得到問題的解答。四、

有限元法分類

線彈性有限元法非線性有限元法線彈性有限元一般包括:

線彈性靜力分析線彈性動力分析學(xué)習(xí)這些內(nèi)容問題需具備：材料力學(xué)、彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、數(shù)值方法、矩陣代數(shù)、算法語言、振動力學(xué)、彈性動力學(xué)等方面的知識。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法，也有助于降低有限元分析的時間。線彈性有限元法研究對象:理想彈性體分析基礎(chǔ):小變形假設(shè)材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系,滿足廣義胡克定律應(yīng)變與位移也是線性關(guān)系線彈性有限元問題歸結(jié)為求解線性方程組問題，只需較少的計(jì)算時間。

非線性有限元問題與線彈性有限元問題有很大不同，主要表現(xiàn)在如下三個方面：

(1)非線性問題的方程是非線性的，因此一般需要迭代求解；

(2)非線性問題不能采用疊加原理；

(3)非線性問題不總有一致解，有時甚至沒有解。以上三方面的因素使非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復(fù)雜、費(fèi)用更高和更具有不可預(yù)知性。非線性有限元法以結(jié)構(gòu)上彈性力學(xué)為例：1.材料非線性問題材料的應(yīng)力與應(yīng)變是非線性關(guān)系；但應(yīng)變與位移卻很微小，此時應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系；材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有時非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總是有它們的局限在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性性。問題有：非線性彈性(包括分段線彈性)；彈塑性；粘塑性及蠕變等。有限元法非線性問題可以分為如下三類：當(dāng)物體的位移較大時，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系，這意味著結(jié)構(gòu)本身會產(chǎn)生大位移或大轉(zhuǎn)動，而單元中的應(yīng)變卻可大可小。研究這類問題時一般都假定材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系。這類問題包括：大位移大應(yīng)變問題

如：橡膠部件成形過程大位移小應(yīng)變問題

如：如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題

2．幾何非線性問題

在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時遇到一些接觸問題，如：齒輪傳動；沖壓成型；軋制成型；橡膠減振器；緊配合裝配等當(dāng)一個結(jié)構(gòu)與另一個結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。實(shí)際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。3．非線性邊界(邊界條件)五、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析

所有的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個有邏輯順序的模塊。在進(jìn)行實(shí)際工程分析時，也該按照以上三個模塊來進(jìn)行。進(jìn)入求解器進(jìn)行求解（設(shè)定分析步驟，輸出變量）前處理（建模、材料特性、單元選擇及網(wǎng)格劃分）進(jìn)入后處理（變形圖、等值線圖，列表顯示等等后處理）2023/10/6有限單元法簡介34四、利用有限元軟件進(jìn)行工程分析利用有限元軟件進(jìn)行工程問題的分析，一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行：（一）、制訂分析方案需考慮以下幾個方面：important2023/10/6有限單元法簡介351、分析領(lǐng)域

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁2023/10/6有限單元法簡介362、分析目標(biāo)力？位移？溫度？還是其他？2023/10/6有限單元法簡介373、線性/非線性分析“我的物理系統(tǒng)是在線性還是非線性狀態(tài)下工作？線性求解能滿足我的需要嗎？如果不能，必須考慮哪種非線性特性？”許多情況和物理現(xiàn)象都要求進(jìn)行非線性計(jì)算。(a)訂書釘t0t1t2t3Fu

(b)木制書架b1b2

(c)氣動帶FuFu2023/10/6有限單元法簡介384、靜力/動力分析靜力求解能否滿足你的分析要求？如果不能，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行哪種動力分析？動力分析的所有載荷都是隨時間變化的，但在許多情況下動力影響可以忽略不計(jì)。一般情況下，激勵頻率低于結(jié)構(gòu)最小固有頻率的1/3時靜力求解就足夠了。慣性力是動力問題不同于靜力問題的關(guān)鍵之處。2023/10/6有限單元法簡介395、分析細(xì)節(jié)的考慮在建立分析模型之前必須制訂好建模方案：必須考慮哪些細(xì)節(jié)問題？對稱/反對稱/軸對稱？模型中存在應(yīng)力奇異？選用那種類型的單元？線單元?dú)卧猉－Y平面單元平面應(yīng)力或應(yīng)變單元軸對稱單元諧單元實(shí)體單元專用單元線性單元/高階單元/P單元四邊形單元/三角形單元，塊單元/四面體單元2023/10/6有限單元法簡介406、充分利用結(jié)構(gòu)的對稱性PPPPP2023/10/6有限單元法簡介417、網(wǎng)格密度相鄰單元的尺寸盡可能接近應(yīng)力變化大處單元應(yīng)密集一些。結(jié)點(diǎn)的多少與疏密要考慮計(jì)算機(jī)的容量和計(jì)算精度結(jié)點(diǎn)所連接的單元個數(shù)盡可能一致宜不宜2023/10/6有限單元法簡介428、單位制注意：ANSYS和ABAQUS大型有限元軟件中，沒有固定的單位制，大家在使用的過程中，可以自己選用前后一致的一套單位制，則最后所得結(jié)果的單位即為即為所選單位制對應(yīng)的單位。建議：盡量采用國際單位制2023/10/6有限單元法簡介439、材料特性材料特性是有限元分析必須提供的數(shù)據(jù)，其準(zhǔn)確與否直接影響到計(jì)算的精度；必要的時候需通過試驗(yàn)提供；一個復(fù)雜分析中可能包含很多種性質(zhì)截然不同的材料，建模的時候應(yīng)以足夠的關(guān)鍵字以識別；很多有限元軟件中，都提供