安徽省宿州市時村中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題含解析

安徽省宿州市時村中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數(shù)滿足且的最小值為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為A. B.C. D.2．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則（）A. B.0C.2 D.43．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知，則的最小值為（）A. B.2C. D.45．設是兩個單位向量，且，那么它們的夾角等于（）A. B.C. D.6．關于，，下列敘述正確的是（）A.若，則是的整數(shù)倍B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)的圖象關于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).7．已知直線ax+by+c=0的圖象如圖，則()A.若c>0，則a>0，b>0B.若c>0，則a<0，b>0C.若c<0，則a>0，b<0D.若c<0，則a>0，b>08．已知函數(shù)，則下列結論錯誤的是（）A.的一個周期為 B.的圖象關于直線對稱C.的一個零點為 D.在區(qū)間上單調遞減9．的定義域為（）A. B.C. D.10．已知向量，若，則（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且滿足條件，則實數(shù)的取值范圍是___12．已知函數(shù)，其所有的零點依次記為，則_________.13．已知，，且，則的最小值為___________.14．函數(shù)，若為偶函數(shù)，則最小的正數(shù)的值為______15．已知tanα=3，則sin16．如果滿足對任意實數(shù)，都有成立，那么a的取值范圍是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)(且)的圖象恒過點A，且點A在函數(shù)的圖象上.（1）求的最小值；（2）若，當時，求的值域.18．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）用函數(shù)單調性的定義證明在上是減函數(shù).19．已知函數(shù)（其中），函數(shù)（其中）.（1）若且函數(shù)存在零點，求的取值范圍；（2）若是偶函數(shù)且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.20．已知直線及點.（1）證明直線過某定點，并求該定點的坐標；（2）當點到直線的距離最大時，求直線的方程.21．已知全集,集合(1)求;(2)若,且,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】分析：首先根據(jù)誘導公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，之后應用題的條件求得函數(shù)的最小正周期，求得的值，從而求得函數(shù)解析式，之后利用整體思維，借助于正弦型函數(shù)的解題思路，求得函數(shù)的單調增區(qū)間.詳解：，根據(jù)題中條件滿足且的最小值為，所以有，所以，從而有，令，整理得，從而求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，故選D.點睛：該題考查的是有關三角函數(shù)的綜合問題，涉及到的知識點有誘導公式、輔助角公式、函數(shù)的周期以及正弦型函數(shù)的單調區(qū)間的求法，在結題的過程中，需要對各個知識點要熟記，解題方法要明確.2、D【解題分析】由偶函數(shù)定義可得，代入可求得結果.【題目詳解】為偶函數(shù)，，，故選：D3、B【解題分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.【題目詳解】若，則成立，即必要性成立，反之若，則不成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4、C【解題分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計算作答.【題目詳解】因為，則，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：C5、C【解題分析】由條件兩邊平方可得，代入夾角公式即可得到結果.【題目詳解】由，可得：，又是兩個單位向量，∴∴∴它們的夾角等于故選C【題目點撥】本題考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運算及其計算公式，向量夾角余弦的計算公式，以及已知三角函數(shù)求角，清楚向量夾角的范圍6、B【解題分析】由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質，逐一判斷各個結論是否正確，從而得出結論.【題目詳解】對于A，的周期為,若，則是的整數(shù)倍,故A錯誤；對于B,當時，，則函數(shù)的圖象關于點中心對稱，B正確；對于C,當時，，不是函數(shù)最值，函數(shù)的圖象不關于直線對稱，C錯誤；對于D，，，則不單調，D錯誤故選：B.7、D【解題分析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直線在x，y軸上的截距分別為-，-.如圖，k<0，即-<0，所以ab>0，因為->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，則a>0，b>0；若c>0，則a<0，b<0;故選D.8、B【解題分析】根據(jù)周期求出f(x)最小正周期即可判斷A；判斷是否等于1或－1即可判斷是否是其對稱軸，由此判斷B；判斷否為0即可判斷C；，根據(jù)復合函數(shù)單調性即可判斷f(x)單調性，由此判斷D.【題目詳解】函數(shù)，最小正周期為故A正確；，故直線不是f(x)的對稱軸，故B錯誤；，則，∴C正確；，∴f(x)在上單調遞減，故D正確.故選：B.9、C【解題分析】由對數(shù)函數(shù)的性質及分式的性質解不等式即可得解.【題目詳解】由題意得，解得，所以的定義域為.故選：C.【題目點撥】本題考查了具體函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.10、B【解題分析】根據(jù)向量的坐標表示，以及向量垂直的條件列出方程，即可求解.【題目詳解】由題意，向量，可得，因為，則，解得或.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】首先求得函數(shù)的解析式，然后求解實數(shù)的取值范圍即可.【題目詳解】設冪函數(shù)的解析式為，由題意可得：，即冪函數(shù)的解析式為：，則即：，據(jù)此有：，求解不等式組可得實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查冪函數(shù)的定義及其應用，屬于基礎題.12、16【解題分析】由零點定義,可得關于的方程.去絕對值分類討論化簡.將對數(shù)式化為指數(shù)式,再去絕對值可得四個方程.結合韋達定理,求得各自方程兩根的乘積,即可得所有根的積.【題目詳解】函數(shù)的零點即所以去絕對值可得或即或去絕對值可得或,或當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得綜上可得所有零點的乘積為故答案為:【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點定義,含絕對值方程的解法,分類討論思想的應用,由韋達定理研究方程根的關系,屬于難題.13、【解題分析】由已知湊配出積為定值，然后由基本不等式求得最小值【題目詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時等號成立故答案為：14、【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性知應可用誘導公式化為余弦函數(shù)【題目詳解】，其為偶函數(shù)，則，，，其中最小的正數(shù)為故答案【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的奇偶性，解題時直接利用誘導公式分析即可15、3【解題分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得要求式子的值【題目詳解】∵tanα=3，∴sinα?cosα=sin故答案為310【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題16、【解題分析】根據(jù)題中條件先確定函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性求解參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由對任意實數(shù)都成立可知，函數(shù)為實數(shù)集上的單調減函數(shù).所以解得.故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)恒過定點(1，0)求出m和n的關系：，則利用轉化為基本不等式求最小值；(2)利用換元法令，將問題轉化為二次函數(shù)求值域問題即可.【小問1詳解】∵，∴函數(shù)的圖象恒過點.∵在函數(shù)圖象上，∴.∵，∴，，∴，，∴，當且僅當時等號成立，∴的最小值為4.【小問2詳解】當時，，∵在上單調遞增，∴當時，，令，則，，在上單調遞增，∴當時，；當時，.故所求函數(shù)的值域為.18、（1）（2）詳見解析【解題分析】（1）既可以利用奇函數(shù)的定義求得的值，也可以利用在處有意義的奇函數(shù)的性質求，但要注意證明該值使得函數(shù)是奇函數(shù).（2）按照函數(shù)單調性定義法證明步驟證明即可.【題目詳解】解：（1）解法一：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，整理得，所以，所以.解法二：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得.當時，.因為，所以當時，函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).（2）由（1）得.對于任意的，且，則.因為，所以，則，而，所以，即.所以函數(shù)在上是減函數(shù).【題目點撥】已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的方法有：（1）利用定義（偶函數(shù)）或（奇函數(shù)）求解.（2）利用性質：如果為奇函數(shù)，且在處有意義，則有；（3）結合定義利用特殊值法，求出參數(shù)值.定義法證明單調性：（1）取值；（2）作差（作商）；（3）變形；（4）定號（與1比較）；（5）下結論.19、（1）；（2）或.【解題分析】（1）根據(jù)題意，分離參數(shù)且利用對數(shù)型復合函數(shù)的單調性求得的值域，即可求得參數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)是偶函數(shù)求得參數(shù)，再根據(jù)題意，求解指數(shù)方程即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意知函數(shù)存零點，即有解.又，易知在上是減函數(shù)，又，，即，所以，所以的取值范圍是.【小問2詳解】的定義域為，若是偶函數(shù)，則，即解得.此時，，所以即為偶函數(shù).又因為函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，故方程只有一解，即方程有且只有一個實根令，則方程有且只有一個正根①當時，，不合題意，②當時，方程有兩相等正根，則，且，解得，滿足題意；③若一個正根和一個負根，則，即時，滿足題意，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為或.【題目點撥】本題考察利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值，以及對數(shù)方程的求解，對數(shù)型復合函數(shù)值域的求解，解決問題的關鍵是熟練的掌握對數(shù)函數(shù)的性質，屬綜合困難題.20、(1)證明見解析，定點坐標為；(2)15x＋24y＋2＝0.【解題分析】（1）直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定點；（2）由（1）知直線l恒過定點A，當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大，利用點斜式求直線方程即可.試題解析：（1）證明：直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直線l恒過定點.（2）由（1）知直線l恒過定點A，當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大.又直線PA的斜率，所以直線l的斜率kl＝－.故直線l的方