河北省承德市隆化縣存瑞中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

河北省承德市隆化縣存瑞中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.2．已知集合，，則（）A. B.C. D.3．下列區(qū)間包含函數(shù)零點的為（）A. B.C. D.4．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則滿足的x取值范圍是A. B.C D.5．函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖像大致是A. B.C. D.7．從3名男同學，2名女同學中任選2人參加體能測試，則選到的2名同學中至少有一名男同學的概率是（）A. B.C. D.8．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，此函數(shù)的解析式可以是（）A. B.C. D.9．已知集合，且，則的值可能為（）A. B.C.0 D.110．如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且滿足條件，則實數(shù)的取值范圍是___12．若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是______13．過正方體的頂點作直線，使與棱、、所成的角都相等，這樣的直線可以作_________條.14．若m，n滿足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，則的值為___________.15．給出以下四個結(jié)論：①若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是；②函數(shù)（其中，且）圖象過定點；③當時，冪函數(shù)的圖象是一條直線；④若，則的取值范圍是；⑤若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.16．第24屆冬季奧林匹克運動會簡稱“北京—張家口冬奧會”，將于2022.2.4～2022.2.20在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行.某公司為迎接冬奧會的到來，設(shè)計了一款扇形的紀念品，扇形圓心角為2，弧長為12cm，則扇形的面積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．閱讀材料：我們研究了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，但是這些還不能夠準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，圖象在上都是上升的，但是卻有著顯著的不同.如圖1所示，函數(shù)的圖象是向下凸的，在上任意取兩個點，函數(shù)的圖象總是在線段的下方，此時函數(shù)稱為下凸函數(shù)；函數(shù)的圖象是向上凸的，在上任意取兩個點，函數(shù)的圖象總是在線段的上方，則函數(shù)稱為上凸函數(shù).具有這樣特征的函數(shù)通常稱做凸函數(shù).定義1：設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若，都有，則稱為區(qū)間I上的下凸函數(shù).如圖2.下凸函數(shù)的形狀特征：曲線上任意兩點之間的部分位于線段的下方.定義2：設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若，都有，則稱為區(qū)間I上的上凸函數(shù).如圖3.上凸函數(shù)的形狀特征：曲線上任意兩點之間的部分位于線段的上方.上凸（下凸）函數(shù)與函數(shù)的定義域密切相關(guān)的.例如，函數(shù)在為上凸函數(shù)，在上為下凸函數(shù).函數(shù)的奇偶性和周期性分別反映的是函數(shù)圖象的對稱性和循環(huán)往復，屬于整體性質(zhì)；而函數(shù)的單調(diào)性和凸性分別刻畫的是函數(shù)圖象的升降和彎曲方向，屬于局部性質(zhì).關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的探索，對我們的啟示是：在認識事物和研究問題時，只有從多角度、全方位加以考查，才能使認識和研究更加準確.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：（1）請嘗試列舉一個下凸函數(shù)：___________；（2）求證：二次函數(shù)是上凸函數(shù)；（3）已知函數(shù)，若對任意，恒有，嘗試數(shù)形結(jié)合探究實數(shù)a的取值范圍.18．如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知.求證：（1）直線平面；（2）平面平面.19．計算：（1）（2）20．已知函數(shù)，.（1）當時，解關(guān)于的方程；（2）當時，函數(shù)在有零點，求實數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)，（a為常數(shù)，且），若（1）求a的值；（2）解不等式

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【題目詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【題目點撥】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應(yīng)用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.2、B【解題分析】直接利用交集運算法則得到答案.【題目詳解】，，則故選：【題目點撥】本題考查了交集的運算，屬于簡單題.3、C【解題分析】根據(jù)零點存在定理，分別判斷選項區(qū)間的端點值的正負可得答案.【題目詳解】，，，，，又為上單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)故選：C.4、D【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得，解不等式可得x的取值范圍，即可得答案【題目詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，則，解可得：，即x的取值范圍是；故選D【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用，注意將轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，屬于基礎(chǔ)題5、A【解題分析】通過判斷函數(shù)的奇偶性排除CD,通過取特殊點排除B，由此可得正確答案.【題目詳解】∵∴函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，∴排除CD選項；又時，，∴，排除B，故選.6、A【解題分析】依題意，，函數(shù)為減函數(shù)，且由向右平移了一個單位，故選.點睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查圖像的平移變換.對于對數(shù)函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，圖像過，當時，函數(shù)為增函數(shù)，圖像過.函數(shù)與函數(shù)的圖像可以通過平移得到，口訣是“左加右減”.在平移過程中要注意原來圖像的邊界.7、A【解題分析】先計算一名男同學都沒有的概率，再求至少有一名男同學的概率即可.【題目詳解】兩名同學中一名男同學都沒有的概率為，則2名同學中至少有一名男同學的概率是.故選：A.8、A【解題分析】根據(jù)圖象，先確定以及周期，進而得出，再由求出，即可得到函數(shù)解析式.【題目詳解】顯然，因為，所以，所以，由得，所以，即，，因為，所以，所以.故選：A9、C【解題分析】化簡集合得范圍，結(jié)合判斷四個選項即可【題目詳解】集合，四個選項中，只有，故選：C【題目點撥】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題10、D【解題分析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運算得出，從而可求出答案.【題目詳解】因為點C為的中點，，所以，所以，因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，所以的取值范圍是,故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】首先求得函數(shù)的解析式，然后求解實數(shù)的取值范圍即可.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由題意可得：，即冪函數(shù)的解析式為：，則即：，據(jù)此有：，求解不等式組可得實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查冪函數(shù)的定義及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】根據(jù)角的終邊與角的終邊相同,得到,再得到,然后由列式,根據(jù),可得整數(shù)的值,從而可得.【題目詳解】∵（），∴（）依題意，得（），解得（），∴，∴在內(nèi)與角的終邊相同的角為故答案為【題目點撥】本題考查了終邊相同的角的表示,屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】將小正方體擴展成4個小正方體，根據(jù)直線夾角的定義即可判斷出符合條件的條數(shù)【題目詳解】解：設(shè)ABCD﹣A1B1C1D1邊長為1第一條：AC1是滿足條件的直線；第二條：延長C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是滿足條件的直線；第三條：延長C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是滿足條件的直線；第四條：延長C1A1到C4且C4A1，AC4是滿足條件的直線故答案為4【題目點撥】本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，考查分類與整合思想，是基礎(chǔ)題14、【解題分析】由題可知是方程的兩個不同實根，根據(jù)韋達定理可求出.【題目詳解】由題可知是方程的兩個不同實根，則，.故答案為：.15、①④⑤【解題分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的定義、對數(shù)不等式的求解方法，以及復合函數(shù)單調(diào)性的討論，對每一項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【題目詳解】對①：因為，，所以的定義域為，令，故，即的定義域為，故①正確；對②：當，，圖象恒過定點，故②錯誤；對③：若，則的圖象是兩條射線，故③錯誤；對④：原不等式等價于，故（無解）或，解得，故④正確；對⑤：實數(shù)應(yīng)滿足，解得，故⑤正確；綜上所述：正確結(jié)論的序號為①④⑤.【題目點撥】（1）抽象函數(shù)的定義域是一個難點，一般地，如果已知的定義域為，的定義域為，那么的定義域為；如果已知的定義域為，那么的定義域可取為.（2）形如的復合函數(shù)，如果已知其在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，我們不僅要考慮在給定區(qū)間上單調(diào)性，還要考慮到其在給定區(qū)間上總有成立.16、36【解題分析】首先根據(jù)弧長公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計算可得；【題目詳解】解：依題意、cm，所以，即cm，所以；故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】（1）根據(jù)下凸函數(shù)的定義舉例即可；（2）利用上凸函數(shù)定義證明即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，結(jié)合條件，函數(shù)滿足上凸函數(shù)定義，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求得參數(shù)取值范圍.【小問1詳解】，；【小問2詳解】對于二次函數(shù)，，滿足，即，滿足上凸函數(shù)定義，二次函數(shù)是上凸函數(shù).【小問3詳解】由（2）知二次函數(shù)是上凸函數(shù)，同理易得二次函數(shù)為下凸函數(shù)，對于函數(shù)，其圖像可以由兩個二次函數(shù)的部分圖像組成，如圖所示，若對任意，恒有，則函數(shù)滿足上凸函數(shù)定義，即，即.18、(1)證明見解析；（2）證明見解析【解題分析】（1）本題證明線面平行，根據(jù)其判定定理，需要在平面內(nèi)找到一條與平行的直線，由于題中中點較多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面內(nèi)，即可證得結(jié)論；（2）要證兩平面垂直，一般要證明一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直，由（1）可得，因此考慮能否證明與平面內(nèi)的另一條與相交的直線垂直，由已知三條線段的長度，可用勾股定理證明，因此要找的兩條相交直線就是，由此可得線面垂直.【題目詳解】（1）由于分別是的中點，則有，又平面，平面，所以平面（2）由（1），又，所以，又是中點，所以，，又，所以，所以，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面【考點】線面平行與面面垂直19、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；（2