廣州市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

廣州市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若某商店將進(jìn)貨單價(jià)為6元的商品按每件10元出售，則每天可銷(xiāo)售100件.現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)、減少進(jìn)貨量的方法來(lái)增加利潤(rùn).已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量就要減少10件，那么要保證該商品每天的利潤(rùn)在450元以上，售價(jià)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.4．下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖象是（）A B.C. D.5．下列函數(shù)中最小值為6的是（）A. B.C D.6．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A.30° B.45°C.60° D.90°7．已知函數(shù)，則A. B.0C.1 D.8．若，則的最小值為A.-1 B.3C.-3 D.19．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上為增函數(shù)的函數(shù)是（）A. B.C. D.10．函數(shù)的圖象大致（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．扇形的半徑為2，弧長(zhǎng)為2，則該扇形的面積為_(kāi)_____12．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________13．函數(shù)的圖像與直線y＝a在(0，)上有三個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，則的取值范圍為_(kāi)______.14．化簡(jiǎn)：=____________15．計(jì)算：__________.16．已知函數(shù)，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域18．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希P(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示.（1）求函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.20．已知函數(shù)，它的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.21．某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開(kāi)學(xué)以來(lái)（60天）的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間（單位：時(shí)）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在[30，40）小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；（2）從課外閱讀時(shí)間不足10小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2個(gè)初中生的概率；（3）國(guó)家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時(shí)間不少于半個(gè)小時(shí).若該校初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間小于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時(shí)間，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生的課外閱讀時(shí)間？并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，建立不等式求解即可.【題目詳解】設(shè)售價(jià)為，利潤(rùn)為，則，由題意，即，解得，即售價(jià)應(yīng)定為元到元之間，故選：B.2、B【解題分析】由充分條件、必要條件的定義及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，和不一定有意義，所以“”推不出“”；反之，，則，即，所以“”可推出“”.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3、A【解題分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，求得弧長(zhǎng)和半徑，即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為.由題意：，解得，所以扇形的周長(zhǎng)為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，屬基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】根據(jù)函數(shù)中每一個(gè)自變量有且只有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷符合函數(shù)定義的圖象即可.【題目詳解】由函數(shù)定義：定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，A、B、D選項(xiàng)中的圖象都符合；C項(xiàng)中對(duì)于大于零的x而言，有兩個(gè)不同的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)定義.故選：C5、B【解題分析】利用基本不等式逐項(xiàng)分析即得.【題目詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)不能成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B.6、C【解題分析】首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【題目詳解】連接因?yàn)闉檎襟w，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.7、C【解題分析】根據(jù)自變量所在的范圍先求出，然后再求出【題目詳解】由題意得，∴故選C【題目點(diǎn)撥】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值時(shí)，首先要分清自變量所屬的范圍，然后再代入解析式后可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題8、A【解題分析】分析：代數(shù)式可以配湊成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.詳解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選A.點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”，有時(shí)題設(shè)給定的代數(shù)式中沒(méi)有和為定值或積為定值的形式，我們需要對(duì)代數(shù)式變形，使得變形后的代數(shù)式有和為定值或者積為定值.特別要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足.9、B【解題分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷最小正周期及單調(diào)區(qū)間,即可判斷.【題目詳解】對(duì)于A,,最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)不單調(diào),所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以B正確;對(duì)于C,的最小正周期為,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的最小正周期為,所以D錯(cuò)誤.綜上可知,正確的為B故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的判斷,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象直接得出.【題目詳解】因?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得A正確.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，弧長(zhǎng)為2，所以該扇形的面積為，故答案為：2.12、【解題分析】真數(shù)大于0求定義域.【題目詳解】由題意得：，解得：，所以定義域?yàn)?故答案為：13、【解題分析】由x∈(0，)求出，然后，畫(huà)出正弦函數(shù)的大致圖像，利用圖像求解即可【題目詳解】由題意因?yàn)閤∈(0，)，則，可畫(huà)出函數(shù)大致的圖則由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，由解得，解得，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故由圖得，令，當(dāng)為x∈(0，)時(shí)，解得或，所以，，，解得，，則，即.故答案為：【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用x∈(0，)，則畫(huà)出圖像，并利用對(duì)稱性求出答案14、【解題分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，化簡(jiǎn)求解即可【題目詳解】===又，所以，所以=，故填：【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力15、【解題分析】直接利用二倍角公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故答案為：.16、3【解題分析】三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)對(duì)稱中心為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解題分析】(1)由倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心以及單調(diào)遞減區(qū)間求出函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的解析式，再由，得到，求出函數(shù)在區(qū)間的值域，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的值域【題目詳解】解（1）令，得：，∴的對(duì)稱中心為，由，得：，∴的單調(diào)區(qū)間為（2）由題意：∵∴∴∴的值域?yàn)椤绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)對(duì)稱中心、單調(diào)性以及在給定區(qū)間的值域，屬于中檔題.18、.【解題分析】對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，所以，解得.為增函數(shù)，所以.由于是的子集，所以.試題解析：要使有意義，則，解得，即由，解得，即∴解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：分式不等式，子集的概念.【方法點(diǎn)晴】注意一元二次方程、二次函數(shù)、二次不等式的聯(lián)系，解二次不等式應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來(lái)解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力；當(dāng)時(shí)，需要計(jì)算相應(yīng)二次方程的根，其解集是用根表示，對(duì)于含參數(shù)的二次不等式，需要針對(duì)開(kāi)口方向、判別式的符號(hào)、根的大小分類討論.解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來(lái)求解.19、（1），遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】（1）由三角函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）由三角函數(shù)的圖象變換，求得，根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求得的值，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】（1）由圖象可知，，所以，所以，由圖可求出最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由，可?所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知，函數(shù)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，因?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，，可得，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法：1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式；2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.20、(1);(2).【解題分析】（1）依題意，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得，故，函數(shù)解析式為.（2）由題意可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域?yàn)?試題解析：（1）依題意，，故.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得，則，，故，故函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，，所以函數(shù)的值域?yàn)?點(diǎn)睛：求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在區(qū)間[a，b]上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式第二步：由x的取值范圍確定ωx＋φ的取值范圍，再確定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范圍第三步：求出所求函數(shù)的值域(或最值)21、（1）720人（2）（3）需要增加，理由見(jiàn)解析【解題分析】（1）由分層抽樣的特點(diǎn)可分別求得抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知初中生、高中生課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率，然后由頻數(shù)樣本容量頻率可分別得初中生、高中生課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的樣本學(xué)生數(shù)，最后將兩者相加即可（2）記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少有2個(gè)初中生”為事件，由頻數(shù)樣本容量頻率組距頻率可分別得初中生、高中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，然后用列舉法表示出隨機(jī)抽取3人的所有可能結(jié)果以及事件的結(jié)果，從而得（3）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表來(lái)計(jì)算樣本中的所有初中生平均每天閱讀時(shí)間，并與30小時(shí)比較大小，若小于30小時(shí)，則需要增加，否則不需要增加【小問(wèn)1詳解】由分層抽樣知，抽取的初中生有人，高中生有人初中生中，課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)為人高中生中，課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)約有人，全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間