福建福州市第一高級中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

福建福州市第一高級中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．方程的解所在的區(qū)間是A. B.C. D.2．方程的實數(shù)根大約所在的區(qū)間是A. B.C. D.3．在實數(shù)的原有運算法則中，補充定義新運算“”如下：當時，；當時，，已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.4．已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A. B.0C.1 D.26．已知直線和互相平行，則實數(shù)的取值為（）A.或3 B.C. D.1或7．我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.8．從800件產(chǎn)品中抽取6件進行質檢，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將800件產(chǎn)品按001，002，…，800進行編號．如果從隨機數(shù)表第8行第8列的數(shù)開始往右讀數(shù)（隨機數(shù)表第7行至第9行的數(shù)如下），則抽取的6件產(chǎn)品的編號的75%分位數(shù)是（）……844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671169105671751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A.105 B.556C.671 D.1699．下列函數(shù)中，最小正周期是且是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．設平面向量滿足，且，則的最大值為A.2 B.3C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中L表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當一條鮭魚以的速度游動時，它的耗氧量的單位數(shù)為___________.12．已知冪函數(shù)圖像過點，則該冪函數(shù)的解析式是______________13．已知，則函數(shù)的最大值是__________14．密位廣泛用于航海和軍事，我國采用“密位制”是6000密位制，即將一個圓圈分成6000等份，每一個等份是一個密位，那么600密位等于___________rad.15．奇函數(shù)f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù)，若f(2a+1)+f(4a-3)>0，則實數(shù)a的取值范圍是_______16．已知函數(shù)定義域是________（結果用集合表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在的單調性并證明；（3）解關于的x不等式：18．已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若直線與圓相交于兩點，且，求的值.19．新冠病毒怕什么？怕我們身體的抵抗力和免疫力！適當鍛煉，合理休息，能夠提高我們身體的免疫力，抵抗各種病毒．某小區(qū)為了調查居民的鍛煉身體情況，從該小區(qū)隨機抽取了100為居民，記錄了他們某天的平均鍛煉時間，其頻率分別直方圖如下：（1）求圖中的值和平均鍛煉時間超過40分鐘的人數(shù)；（2）估計這100位居民鍛煉時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）和中位數(shù)20．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.（1）求出函數(shù)在上解析式；（2）若與有3個交點，求實數(shù)的取值范圍.21．（1）已知：，若是第四象限角，求，的值；（2）已知，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】根據(jù)零點存在性定理判定即可.【題目詳解】設，，根據(jù)零點存在性定理可知方程的解所在的區(qū)間是.故選：C【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在的區(qū)間,屬于基礎題.2、C【解題分析】方程的根轉化為函數(shù)的零點，判斷函數(shù)的連續(xù)性以及單調性，然后利用零點存在性定理推出結果即可【題目詳解】方程的根就是的零點，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，是增函數(shù)，又，，所以，方程根屬于故選C【題目點撥】本題考查函數(shù)零點存在性定理的應用，考查計算能力3、C【解題分析】當時，；當時，；所以，易知，在單調遞增，在單調遞增，且時，，時，，則在上單調遞增，所以得：，解得，故選C點睛：新定義的題關鍵是讀懂題意，根據(jù)條件，得到，通過單調性分析，得到在上單調遞增，解不等式，要符合定義域和單調性的雙重要求，則，解得答案4、D【解題分析】對A，B，C，利用特殊值即可判斷，對D，利用不等式的性質即可判斷.【題目詳解】解：對A，令，，此時滿足，但，故A錯；對B，令，，此時滿足，但，故B錯；對C，若，，則，故C錯；對D，，則，故D正確.故選：D.5、C【解題分析】首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達式的值.【題目詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎題.6、B【解題分析】利用兩直線平行等價條件求得實數(shù)m的值.【題目詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【題目點撥】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結論，可避免討論：已知，，則，7、B【解題分析】由題，根據(jù)向量加減數(shù)乘運算得，進而得.【題目詳解】解：因為在“趙爽弦圖”中，若，所以，所以，所以，所以.故選：B8、C【解題分析】由隨機表及編號規(guī)則確定抽取的6件產(chǎn)品編號，再從小到大排序，應用百分位數(shù)的求法求75%分位數(shù).【題目詳解】由題設，依次讀取的編號為，根據(jù)編號規(guī)則易知：抽取的6件產(chǎn)品編號為，所以將它們從小到大排序為，故，所以75%分位數(shù)為.故選：C9、A【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性和奇偶性對選項逐一分析，由此確定正確選項.【題目詳解】A選項，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，A正確.B選項，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，B錯誤.C選項，的最小正周期為，且是奇函數(shù)，C錯誤.D選項，的最小正周期是，且是偶函數(shù)，D錯誤.故選：A10、C【解題分析】設，∵，且，∴∵，當且僅當與共線同向時等號成立，∴的最大值為．選C點睛：由于向量，且，因此向量確定，這是解題的基礎也是關鍵．然后在此基礎上根據(jù)向量模的三角不等式可得的范圍，解題時要注意等號成立的條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8100【解題分析】將代入，化簡即可得答案.【題目詳解】因為鮭魚的游速v（單位：）可以表示為：，所以，當一條鮭魚以的速度游動時，，∴，∴故答案為：8100.12、【解題分析】設出冪函數(shù)的函數(shù)表達，然后代點計算即可.【題目詳解】設，因為，所以，所以函數(shù)的解析式是故答案為：.13、【解題分析】由函數(shù)變形為，再由基本不等式求得，從而有，即可得到答案.【題目詳解】∵函數(shù)∴由基本不等式得，當且僅當，即時取等號.∴函數(shù)的最大值是故答案為.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及基本不等式的應用，.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.14、【解題分析】根據(jù)周角為，結合新定義計算即可【題目詳解】解：∵圓周角為，∴1密位，∴600密位，故答案為：15、[【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調性去掉不等式中的符號“f”，可轉化為具體不等式，注意函數(shù)定義域【題目詳解】解：由f(2a+1)+f(4a-3)>0得f(2a+1)>-f(4a-3)，又f(x)為奇函數(shù)，得-f(4a-3)=f(3-4a)，∴f(2a+1)>f(3-4a)，又f(x)是定義在[-2，2]上的減函數(shù)，∴解得：1即a∈故答案為：1【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性的綜合應用，考查轉化思想，解決本題的關鍵是利用性質去掉符號“f”16、【解題分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.【題目詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）在上單調遞增，證明見解析；（3）.【解題分析】（1）由奇函數(shù)的定義有，可求得的值，又由，可得的值，從而即可得函數(shù)的解析式；（2）任取，，且，由函數(shù)單調性的定義即可證明函數(shù)在上單調遞增；（3）由（2）知在上單調遞增，因為為奇函數(shù)，所以在上也單調遞增，又，從而利用單調性即可求解.【小問1詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以，即，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】解：在上單調遞增，證明如下：任取，，且，則，又，，且，所以，，，所以，即，所以在上單調遞增；【小問3詳解】解：由（2）知在上單調遞增，因為為奇函數(shù)，所以在上也單調遞增，令，解得或因為，且，所以，所以，解得，又，所以原不等式的解集為.18、（1）；（2）或.【解題分析】（1）由解得P的坐標，再求出直線斜率，即可求直線的方程；（2）若直線與圓：相交由垂徑定理列方程求解即可.【題目詳解】（1）由得所以.因為，所以，所以直線的方程為，即.（2）由已知可得：圓心到直線的距離為，因為，所以，所以，所以或.【題目點撥】直線與圓的位置關系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時要利用圓心與切點連線垂直，構建直角三角形，進而利用勾股定理可以建立等量關系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構建直角三角形；（３）直線與圓相離時，當過圓心作直線垂線時長度最小19、（1），平均鍛煉時間超過40分鐘的人數(shù)為18人（2）100位居民鍛煉時間的平均數(shù)為分鐘，中位數(shù)約為分鐘【解題分析】（1）由頻率和為1，列方程求解出的值，由頻率分布直方圖求出平均鍛煉時間超過40分鐘的頻率，再由頻率乘以100可得結果，（2）利用平均數(shù)定義直接求解，由頻率分直方圖判斷出中位數(shù)在30-40分鐘這一組，然后列方程求解即可【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得，由頻率分布直方圖求出平均鍛煉時間超過40分鐘的頻率為，所以平均鍛煉時間超過40分鐘的人數(shù)為人，【小問2詳解】這100位居民鍛煉時間的平均數(shù)為（分鐘），因為，，所以中位數(shù)在鍛煉時間為30-40分鐘這一組，設中位數(shù)為，則，解得