2024屆北師大長(zhǎng)春附屬學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆北師大長(zhǎng)春附屬學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，．則（）A. B.C. D.2．.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則|x1﹣x2|的最小值是（）A.4π B.2πC.π D.4．某地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生視力情況有較大差異，而男、女生視力情況差異不大，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，最合理的抽樣方法是（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層隨機(jī)抽樣C.按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣 D.其他抽樣方法5．若是圓上動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)到直線距離的最大值A(chǔ).3 B.4C.5 D.66．已知的值為A.3 B.8C.4 D.7．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.8．若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑r的取值范圍是A.(4,6) B.[4,6]C.(4,5) D.(4,5]9．下列圖象是函數(shù)圖象的是A. B.C. D.10．已知，則三者的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知且，若，則的值為_(kāi)__________.12．東方設(shè)計(jì)中的“白銀比例”是，它的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”，傳達(dá)出一種獨(dú)特的東方審美觀．折扇紙面可看作是從一個(gè)扇形紙面中剪下小扇形紙面制作而成（如圖）．設(shè)制作折扇時(shí)剪下小扇形紙面面積為，折扇紙面面積為，當(dāng)時(shí)，扇面看上去較為美觀，那么原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比的平方為_(kāi)_______13．圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.14．等于_______.15．不等式對(duì)于任意的x，y∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______16．若，記，，，則P、Q、R的大小關(guān)系為_(kāi)_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（1）指出的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性；（2）設(shè)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍18．已知對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2）（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）如果f（x+1）＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍19．已知集合，集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍20．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)最小正周期以及函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．已知，，全集.（1）求和；（2）已知非空集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】直接利用交集的運(yùn)算法則即可.【題目詳解】∵，，∴.故選：.2、A【解題分析】先將分別變形，然后根據(jù)數(shù)值的奇偶判斷出的關(guān)系，由此求解出的結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以；又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)楸硎舅械钠鏀?shù)，表示部分奇數(shù)，所以；所以，故選：A.3、C【解題分析】首先得出f（x1）是最小值，f（x2）是最大值，可得|x1﹣x2|的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，根據(jù)周期公式可得答案【題目詳解】函數(shù)，∵對(duì)任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值；∴|x1﹣x2|的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，∵T＝2π，∴|x1﹣x2|的最小值為π，故選：C.4、C【解題分析】若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣.【題目詳解】因?yàn)槟车貐^(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，男、女生視力情況差異不大，然而學(xué)段的視力情況有較大差異，則應(yīng)按學(xué)段分層抽樣，故選：.5、C【解題分析】圓的圓心為(0,3)，半徑為1.是圓上動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離加上半徑即可.又直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以.所以點(diǎn)到直線距離的最大值為4+1=5.故選C.6、A【解題分析】主要考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化和對(duì)數(shù)運(yùn)算解：7、C【解題分析】由題可列出，可求出【題目詳解】的定義域是，在中，，解得，故的定義域?yàn)?故選：C.8、A【解題分析】由圓，可得圓心的坐標(biāo)為圓心到直線的距離為：由得所以的取值范圍是故答案選點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解“圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1”，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合題意計(jì)算求得結(jié)果9、D【解題分析】由題意結(jié)合函數(shù)的定義確定所給圖象是否是函數(shù)圖象即可.【題目詳解】由函數(shù)的定義可知，函數(shù)的每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值，選項(xiàng)A,B中，當(dāng)時(shí)，一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不合題意，選項(xiàng)C中，當(dāng)時(shí)，一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不合題意，只有選項(xiàng)D符合題意.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的定義及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】a=log30.2＜0，b=30.2＞1，c=0.30.2∈（0，1），∴a＜c＜b故選C點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是比較指數(shù)和對(duì)數(shù)值的大小；一般比較大小的題目，常用的方法有：先估算一下每個(gè)數(shù)值，看能否根據(jù)估算值直接比大??；估算不行的話再找中間量，經(jīng)常和0，1，-1比較；還可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解題分析】根據(jù)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)椋?，所?故答案為：.12、##【解題分析】設(shè)原扇形半徑為，剪下小扇形半徑為，，由已知利用扇形的面積公式即可求解原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比【題目詳解】解：由題意，如圖所示，設(shè)原扇形半徑為，剪下小扇形半徑為，，則小扇形紙面面積，折扇紙面面積，由于時(shí)，可得，可得，原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比的平方為：故答案為：13、【解題分析】?jī)蓤A關(guān)于直線對(duì)稱,則兩圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱,且兩圓半徑相同,由此求解即可【題目詳解】由題,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,即圓心,半徑為,設(shè)對(duì)稱圓的圓心為,則,解得,所以對(duì)稱圓的方程為,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓,屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】直接利用誘導(dǎo)公式即可求解.【題目詳解】由誘導(dǎo)公式得：.故答案為：.15、【解題分析】根據(jù)給定條件將命題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次不等式恒成立，再利用關(guān)于y的不等式恒成立即可計(jì)算作答.【題目詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的x，y∈R恒成立，于是得關(guān)于x的一元二次不等式對(duì)于任意的x，y∈R恒成立，因此，對(duì)于任意的y∈R恒成立，故有，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：16、【解題分析】利用平方差公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得P、R的關(guān)系，然后作差，因式分解，結(jié)合已知可判斷P、Q的大小關(guān)系.【題目詳解】又因?yàn)椋运?，即所以P、Q、R的大小關(guān)系為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式特點(diǎn)可寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明其單調(diào)性；（2）寫(xiě)出的表達(dá)式，將整理為即關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，，即，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，然后數(shù)形結(jié)合解得答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；任取，不妨令，則，因?yàn)?，，故，所以，即，所以函?shù)在時(shí)為單調(diào)減函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】，則即，也即，，因此關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，，即，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，作出函數(shù)的圖象如圖示：故要滿足，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，需有，即.18、(1)a＝2．(2){x|﹣1＜x＜0}【解題分析】（1）將點(diǎn)（4，2）代入函數(shù)計(jì)算得到答案.（2）解不等式log2（x+1）＜log21得到答案【題目詳解】（1）因?yàn)閘oga4＝2，所以a2＝4，因?yàn)閍＞0，所以a＝2（2）因?yàn)閒（x+1）＜0，也就是log2（x+1）＜0，所以log2（x+1）＜log21，所以，即﹣1＜x＜0，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|﹣1＜x＜0}【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)解析式，解不等式，忽略定義域是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用集合的交運(yùn)算求即可.（2）根據(jù)已知，由集合的交集結(jié)果可得，即可求m的取值范圍【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，而，∴.【小問(wèn)2詳解】由，顯然，∴，可得.20、（1）；最大值為，最小值；（2）.【解題分析】（1）由題可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即求；（2）由題可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，即得.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，∴函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，，∴，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值；【小問(wèn)2詳解】由題可得，由，可得，故在上單調(diào)遞增，又，，由可得，，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、（1）（2）【解題分析】（1）求得集