基于空氣動(dòng)力學(xué)的淺水控制方程的數(shù)值模擬

基于空氣動(dòng)力學(xué)的淺水控制方程的數(shù)值模擬

20世紀(jì)90年代初，李ou和steffen提出了aus格式（advagestreammet骨骼）。aus格式是laser格式的發(fā)展?；鞠敕ㄊ菍o粘量劃分為流通量項(xiàng)和壓力檢測(cè)點(diǎn)。AUSM現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)一步發(fā)展為AUSMDV,HUS,AUSM+等。并且已經(jīng)推廣到了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。在計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域,AUSM及其繁衍格式已經(jīng)被廣泛驗(yàn)證和應(yīng)用,但是在淺水問題中應(yīng)用的相關(guān)討論還很少。本文嘗試把該格式應(yīng)用到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的二維淺水方程的數(shù)值求解中去,并針對(duì)淺水計(jì)算中的底坡源項(xiàng)和露灘等問題進(jìn)行了特殊處理,保持了該格式的通量求解簡(jiǎn)單、間斷高分辨率和迎風(fēng)等優(yōu)點(diǎn);由實(shí)例驗(yàn)證了在淺水方程中應(yīng)用該格式的可行性和可靠性。1u3000酸,h,hv,hvt,ghsoy-sfyt,ft,ghsoyt,hvt,hvt,hvt,hv3.t,hv2.t,hv2.t,f3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3平面二維淺水波控制方程向量形式:Ut+f(U)x+g(U)y=s(U)(1)Ut+f(U)x+g(U)y=s(U)(1)這里U=(h,hu,hv)T,f=(hu,hu2+0.5gh2,huv)T,g=(hv,huv,hv2+0.5gh2)T,s=(0,gh(sox-sfx),gh(soy-sfy))T。g為重力加速度,h、u、v分別為水深、x和y方向的流速,so、sf分別為底坡和摩阻項(xiàng)。2ausm格式的特點(diǎn)為方便處理底坡,把f(U)x寫成非守恒形式:?f?x=??x(huhuuhvu)+h??x(0h0)=?f(c)?x+h?p?x(2)?f?x=??x???huhuuhvu???+h??x???0h0???=?f(c)?x+h?p?x(2)AUSM格式的特點(diǎn)就是把f中的非線性項(xiàng)f(c)和線性項(xiàng)p分開處理。處理非線性項(xiàng)時(shí),把相鄰兩個(gè)單元(單元L和R)交界處的f(c)表述為如下形式:f(c)1/2=Fr(1/2)(hchuchvc)L/R(3)f(c)1/2=Fr(1/2)???hchuchvc???L/R(3)式中Fr(1/2)為交界面弗勞德數(shù),處理線性項(xiàng)時(shí),界面處p的形式為p1/2=p+L+p-R(4)AUSM格式通過在界面上特殊構(gòu)造的馬赫數(shù)判斷獲得“上風(fēng)”特性,并統(tǒng)一相鄰單元的聲速c′,以捕捉激波,應(yīng)用到淺水計(jì)算中,弗勞德數(shù)取代了原格式中馬赫數(shù),且引入波速c?c=√gh。g(U)項(xiàng)的求解同理可知。以上由AUSM格式得到的通量求解格式簡(jiǎn)單,程序編制方便,具有較高的計(jì)算效率,并具有間斷高分辨率和數(shù)值耗散較小的優(yōu)點(diǎn)。2.1控制單元的線性重構(gòu)上述格式的空間精度取決于界面兩側(cè)值的插值精度,如果界面兩側(cè)值為格心的值,并假設(shè)控制體內(nèi)變量為常數(shù),則只具有一階精度。為了取得更高的精度和計(jì)算效果,通常假設(shè),控制內(nèi)變量為線性分布,并進(jìn)行網(wǎng)格的變量線性重構(gòu)。同時(shí),為了得到一個(gè)高階、穩(wěn)定的格式,通常要用到限制器,進(jìn)行數(shù)值方法的數(shù)值耗散性和色散性效應(yīng)調(diào)節(jié)和控制。本文采用文獻(xiàn)推薦的方法,對(duì)控制單元進(jìn)行線性重構(gòu),并利用Barth限制器,對(duì)重構(gòu)過程實(shí)施嚴(yán)格的保單調(diào)措施,保證重構(gòu)過程不出現(xiàn)新的極值,以防止數(shù)值解的振蕩。如圖1所示4個(gè)控制體,單元A的線性重構(gòu)可表示為Q(x?y)=QA+ΔQA?→r(5)式中→r是格心A到任一點(diǎn)的位移向量;QA是格心值;而ΔQA是梯度向量,按格林-高斯定理計(jì)算:ΔQA=1ΩA∫?Ω?Q?nds(6)Barth限制器對(duì)控制單元梯度乘上系數(shù)Φ,其取值規(guī)則描述如下:Φ=min(Φ1?Φ2?Φ3)(7)Φi={min(1?QmaxA-QAQi-QA)Qi-QA＞0min(1?QminA-QAQi-QA)Qi-QA＜01Qi-QA=0i=1?2?3(8)式中QmaxA=max(QA,QB,QC,QD),QminA=min(QA,QB,QC,QD),Qi為第i條邊利用梯度ΔQA的計(jì)算值。2.2-kutta型時(shí)間離散格式在時(shí)間方向的二階精度離散,采用利用二階TVD的Rounge-Kutta型時(shí)間離散格式:u(1)=un+Δt×L(un)un+1=12un+12u(1)+12Δt×L(u(1))(9)式中L(*)為空間離散后的右端項(xiàng);(*)(1)為中間變量。3深水流動(dòng)模擬的最佳模型如果不考慮底坡和摩阻,對(duì)于淺水方程可直接移植空氣動(dòng)力學(xué)中的AUSM格式進(jìn)行求解,但事實(shí)上,淺水流動(dòng)因?yàn)榈灼潞湍ψ璧仍错?xiàng)的存在而變得復(fù)雜,并且淺水流動(dòng)的模擬地形變化起著重要的作用。因此需要對(duì)底坡及干灘進(jìn)行處理,以滿足淺水方程求解計(jì)算的需要。3.1界面符合界面使用要求的水力模型淺水流動(dòng)在非平底坡條件下,通常需要對(duì)底坡源項(xiàng)進(jìn)行和諧處理,避免由地形起伏產(chǎn)生不合理的水面波動(dòng)。本文在應(yīng)用AUSM格式處理時(shí),采用了較為特殊的處理方法,即取界面兩側(cè)的總水位分別減去界面中點(diǎn)的水底高程,得到左右兩側(cè)的水深值h+和h-,界面中點(diǎn)水底的高程取其兩側(cè)高程的線性插值,單元水力模型示意于圖2,利用得到的界面兩側(cè)的水深,再應(yīng)用AUSM格式對(duì)線性項(xiàng)p的分解方法,可得到界面處水深。采用上述方法,可實(shí)現(xiàn)在一個(gè)平底上,對(duì)單元交界面處的水深進(jìn)行計(jì)算。該方法很好地解決了空氣動(dòng)力學(xué)中壓力項(xiàng)的處理方法應(yīng)用到淺水流動(dòng)中的問題,對(duì)有地形起伏的靜水狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算,可得到靜止水位,無不合理的水面波動(dòng)。3.2干法灘的計(jì)算方法當(dāng)計(jì)算中出現(xiàn)干灘情況時(shí),應(yīng)用AUSM求解格式,可以結(jié)合上述的底坡處理方法,并采用類似最小水深法的方法來處理動(dòng)邊界。假設(shè)干灘的計(jì)算單元有一極薄水層,并設(shè)流速為零,然后可以用類似處理非干灘單元的方法一樣,用AUSM格式對(duì)界面通量進(jìn)行計(jì)算,使得干灘單元也參與計(jì)算。這是一種近似的計(jì)算方法。當(dāng)出現(xiàn)干灘時(shí),界面兩側(cè)的值降為一階精度,并且,當(dāng)單元外側(cè)考慮為固壁時(shí),設(shè)單元該邊的通量為零。各種情況下的干濕灘處理方法見圖3,圖中q為單寬流量,u為流速向量,L和R分別表示界面左右兩側(cè)單元,h為單元水深,hmin為假設(shè)最小水深,Z為單元高程,Z′為界面插值高程。該方法的實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算格式有一定的要求,即在較小水深的情況下,不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算的不穩(wěn)定,這里采用的AUSM格式,表現(xiàn)良好。顯式計(jì)算格式,應(yīng)用到地形比較復(fù)雜的計(jì)算域時(shí),對(duì)于干濕邊界的判斷間隔也相對(duì)較短,模擬的效果較好。為了增加計(jì)算的穩(wěn)定性,對(duì)摩阻源項(xiàng)的計(jì)算采用了常用的半隱式計(jì)算方法,同時(shí)使得計(jì)算效率得到一定提高。相應(yīng)的動(dòng)量方程如下式(hu)t+Fx+Gy=-ghSf-m(hu)n+1(10)式中m為糙率源項(xiàng)計(jì)算系數(shù)。糙率源項(xiàng)為顯式,只保留下一時(shí)刻的單寬流量,即(hu)n+1,進(jìn)行半隱式計(jì)算。上述處理方法可增強(qiáng)計(jì)算穩(wěn)定性,增加時(shí)間步長(zhǎng),提高計(jì)算效率,而且對(duì)于露灘計(jì)算的不穩(wěn)定性有抑制作用。4計(jì)算與評(píng)論的結(jié)果和討論4.1滅壩問題的計(jì)算結(jié)果取二維計(jì)算常用的一個(gè)潰壩算例,計(jì)算域?yàn)?00m×200m。計(jì)算條件為平底坡及糙率為零,初始時(shí)刻閘門上游水深10m,下游5m,當(dāng)閘門突然開啟,形成潰壩問題,潰壩后7.2s時(shí)的計(jì)算結(jié)果分別如圖4～圖6所示;計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)中的算例結(jié)果基本一致。取AB斷面處(圖5中虛線位置)水深和流速的計(jì)算結(jié)果,與文獻(xiàn)中采用vanLeer矢通量分裂法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,見圖7、圖8,其具有二階計(jì)算精度。本文格式和文獻(xiàn)資料的計(jì)算結(jié)果基本一致。其中,AUSM的一階格式耗散較大,二階格式則較小。而且,同樣是二階精度條件下,AUSM格式的高分辨率性能要優(yōu)于vanLeer分裂格式,這一結(jié)論和文獻(xiàn)中的數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果一致。4.2濕地洪水增滯與優(yōu)化以扎龍自然保護(hù)區(qū)流域洪水演進(jìn)的數(shù)值模擬為實(shí)際應(yīng)用算例。扎龍自然保護(hù)區(qū)位于松嫩平原,嫩江左岸、烏裕爾河和雙陽河下游湖沼葦草地帶,由于自然因素影響,使本區(qū)呈現(xiàn)河道溪流縱橫、湖泊泡沼密布的低平原和湖泊交錯(cuò)的地貌,總面積約2100km2。扎龍地區(qū)地貌和植被分布復(fù)雜,為了較好確定扎龍地區(qū)糙率取值,需要對(duì)扎龍濕地植被分布情況全面了解,這里以2002年9月22日的沼澤濕地衛(wèi)星圖片為樣本,對(duì)濕地植被分布情況進(jìn)行解譯。遙感解譯的類別主要設(shè)為蘆葦沼澤和明水沼澤,草地及旱地鹽堿地等幾部分。其中,蘆葦沼澤以蘆葦為主,該類別區(qū)域內(nèi)的水較淺或無水,蘆葦生長(zhǎng)茂盛,面積約6.3億m2。蘆葦糙率取值采用模型試驗(yàn)率定的經(jīng)驗(yàn)曲線,如圖9所示。計(jì)算條件采用上游測(cè)站龍安橋站提供的1998年的月流量資料,根據(jù)龍安橋多年觀測(cè)的數(shù)據(jù)資料得到的統(tǒng)計(jì)曲線,插補(bǔ)出的1998年大洪水前后5個(gè)月的逐日平均上游入口的流量時(shí)間曲線作為入口條件。計(jì)算初始假設(shè)濕地處于無水的狀態(tài),檢驗(yàn)洪水漫灘的模擬效果。圖10為截取的兩個(gè)計(jì)算時(shí)刻的洪水淹沒范圍及水深圖。從圖10可以看出,隨著上游洪水逐漸流入,濕地中洪水隨著溪流縱橫、湖泊泡沼蔓延的形態(tài)被很好地模擬出來,這也檢驗(yàn)了本文采用的干濕處理方法和底坡源項(xiàng)處理方法,即本文選用的處理方法對(duì)于濕地行洪這樣的復(fù)雜工況比較適用,計(jì)算效果較好。由于濕地下游河道溪流縱橫,無明顯出口,從而缺少實(shí)測(cè)資料進(jìn)行驗(yàn)證。但松遼水利委員會(huì)通過長(zhǎng)期觀測(cè)資料,整理了濕地淹沒面積和蓄水量的擬合關(guān)系曲線,這里的計(jì)算結(jié)果和由擬合關(guān)系曲線的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,見表1。兩者的結(jié)果基本一致,即計(jì)算結(jié)果基本反映實(shí)際情況,說明這里采用的AUSM格式模擬這種濕地行洪的情況具有較高的適應(yīng)性和精度,是可行和可靠的,因而可為濕地水資源的利用進(jìn)行決策管理提供有價(jià)值的輔助信息。最后,假設(shè)一出口,位置見圖10,通過繪制出口流量過程線(圖11),比較有、無蘆葦時(shí),濕地實(shí)現(xiàn)削減洪峰及蓄、滯洪作用的能力。從圖11比較可知,濕地?zé)o蘆葦時(shí),由于其本身復(fù)雜地形和低矮植被的作用也具有一定的削減洪峰的