邊界層流動(dòng)課件

第四章邊界層流動(dòng)

第四章邊界層流動(dòng)

第4章邊界層理論及其近似4.1、邊界層近似及其特征4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程4.3、平板層流邊界層的相似解4.4、邊界層動(dòng)量積分方程4.5、無(wú)壓強(qiáng)梯度平板邊界層近似計(jì)算4.6、邊界層的分離現(xiàn)象4.7、繞流物體的阻力2第4章邊界層理論及其近似4.1、邊界層近似及其特征2

4.1、邊界層近似及其特征

1、邊界層概念的提出流動(dòng)雷諾數(shù)(Re數(shù))（O.Reynolds，1883年，英國(guó)流體力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對(duì)比關(guān)系的。根據(jù)量級(jí)分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:慣性力：粘性力：雷諾數(shù)慣性力/粘性力：34.1、邊界層近似及其特征

1、邊界層概念的提出3

4.1、邊界層近似及其特征

們熟悉的大多數(shù)外流均屬Re>>1的流動(dòng)。一般物體的特征長(zhǎng)度在l=0.01－10m范圍，當(dāng)物體在空氣或水中以速度U=0.1－100m/s運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的雷諾數(shù)約在100－109之間。普通汽車(chē)和船舶以正常速度行駛時(shí)，空氣和水的雷諾數(shù)均在106以上。飛機(jī)繞流的雷諾數(shù)則更高。管內(nèi)流層流轉(zhuǎn)紊流的臨界雷諾數(shù)：~2300因此大Re數(shù)流動(dòng)是普遍存在的現(xiàn)象。在高Re數(shù)下，流體運(yùn)動(dòng)的慣性力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性力。這樣研究忽略粘性力的流動(dòng)問(wèn)題是有實(shí)際意義的。這也是早期發(fā)展理想流體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實(shí)較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系列流動(dòng)問(wèn)題，諸如繞流物體的升力、波動(dòng)等問(wèn)題。但對(duì)繞流物體阻力、渦的擴(kuò)散等問(wèn)題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，且甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無(wú)阻力的D’Alembert疑題就是一個(gè)典型的例子。（D’Alembert，法國(guó)力學(xué)家，1717-1783）44.1、邊界層近似及其特征

們熟悉的大多數(shù)外流均屬Re>>4.1、邊界層近似及其特征達(dá)朗貝爾佯謬：在流體質(zhì)點(diǎn)繞過(guò)圓柱的過(guò)程中，只有動(dòng)能、壓能的相互轉(zhuǎn)換，而無(wú)機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓強(qiáng)分布對(duì)稱(chēng)，無(wú)阻力存在。錯(cuò)誤的假設(shè)推導(dǎo)得到不符合實(shí)際結(jié)果的結(jié)論54.1、邊界層近似及其特征達(dá)朗貝爾佯謬：5

4.1、邊界層近似及其特征

那么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決繞流物體的阻力問(wèn)題？這是一個(gè)阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題。直到1904年國(guó)際流體力學(xué)大師德國(guó)學(xué)者普朗特（L.Prandtl）通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然整體流動(dòng)的Re數(shù)很大，但在靠近物面的薄層流體內(nèi)，流場(chǎng)的特征與理想流動(dòng)相差甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無(wú)法忽略。實(shí)際流體在流過(guò)固壁時(shí)粘附于固壁上，在固壁附近形成一個(gè)從固壁速度為零到外流速度的速度梯度區(qū)。Prandtl把這一物面近區(qū)粘性力起重要作用的薄層稱(chēng)為邊界層（Boundarylayer）。邊界層內(nèi)為粘性剪切流，邊界層外則近似為無(wú)粘性流場(chǎng)。64.1、邊界層近似及其特征

那么，如何考慮流體的粘性，怎LudwigPrandtl介紹

普朗特重視觀察和分析力學(xué)現(xiàn)象，養(yǎng)成了非凡的直觀洞察能力，善于抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說(shuō)：“我只是在相信自己對(duì)物理本質(zhì)已經(jīng)有深入了解以后，才想到數(shù)學(xué)方程。方程的用處是說(shuō)出量的大小，這是直觀得不到的，同時(shí)它也證明結(jié)論是否正確?！逼绽侍刂笇?dǎo)過(guò)81名博士生，學(xué)者Blasius、VonKarman是其中最著名的。我國(guó)著名的空氣動(dòng)力學(xué)專(zhuān)家、北航流體力學(xué)教授陸士嘉（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中國(guó)學(xué)生，唯一的女學(xué)生。陸士嘉7LudwigPrandtl介紹

普朗特重視觀察和分析力學(xué)現(xiàn)

4.1、邊界層近似及其特征

Prandtl的邊界層概念，為人們?nèi)绾斡?jì)入粘性的作用開(kāi)辟了劃時(shí)代的途徑，因此稱(chēng)其為粘性流體力學(xué)之父。對(duì)整個(gè)流場(chǎng)提出的基本分區(qū)是：（1）整個(gè)流動(dòng)區(qū)域可分成理想流體的流動(dòng)區(qū)域（勢(shì)流區(qū)）和粘性流體的流動(dòng)區(qū)域（粘流區(qū)）。（2）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動(dòng)區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢(shì)流理論處理。（3）粘性流動(dòng)區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱(chēng)為邊界層。既然是粘流區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級(jí)，流體質(zhì)點(diǎn)作有旋運(yùn)動(dòng)。84.1、邊界層近似及其特征

Prandtl的邊界層概念，

4.1、邊界層近似及其特征

2、邊界層的特征（1）邊界層定義嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無(wú)明顯界線，通常以速度達(dá)到主流區(qū)速度的0.99U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣（0.99U）到物面的垂直距離稱(chēng)為邊界層名義厚度。94.1、邊界層近似及其特征

2、邊界層的特征9

4.1、邊界層近似及其特征

（2）邊界層名義厚度的量級(jí)估計(jì)根據(jù)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級(jí)的條件，可估算邊界層的厚度。以平板繞流為例說(shuō)明。設(shè)來(lái)流的速度為U，在x方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，邊界層厚度為。慣性力：粘性力：普朗特理論：邊界層內(nèi)慣性力與粘性力量級(jí)相等104.1、邊界層近似及其特征

（2）邊界層名義厚度的量級(jí)估計(jì)

4.1、邊界層近似及其特征

由慣性力與粘性力同量級(jí)得到當(dāng) ,由此可見(jiàn)，在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長(zhǎng)度。114.1、邊界層近似及其特征

由慣性力與粘性力同量級(jí)得到1邊界層厚度增長(zhǎng)（當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)

）邊界層內(nèi)流態(tài)：

實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明邊界層內(nèi)層流態(tài)向湍流態(tài)轉(zhuǎn)捩的雷諾數(shù)為：

4.1、邊界層近似及其特征

12邊界層厚度增長(zhǎng)（當(dāng)?shù)乩字Z數(shù) ）4.1、邊界層近似及其特邊界層各種厚度定義1.名義厚度δ：定義為速度達(dá)到外流速度99%的厚度。對(duì)平板層流邊界層2.位移（排擠）厚度將由于不滑移條件造成的質(zhì)量虧損折算成無(wú)粘性流體的流量相應(yīng)的厚度

。又稱(chēng)為質(zhì)量流量虧損厚度以x為特征長(zhǎng)度的雷諾數(shù)13邊界層各種厚度定義1.名義厚度δ：定義為速度達(dá)到外流速度9邊界層位移（排擠）厚度相對(duì)于無(wú)粘流體，邊界層排擠厚度（displacementthickness）代表了由于邊界層的存在（粘流）而減少的質(zhì)量流量。14邊界層位移（排擠）厚度相對(duì)于無(wú)粘流體，邊界層排擠厚度選取邊界層上勢(shì)流區(qū)中任一點(diǎn)y1

，

則0-y1間的實(shí)際質(zhì)量流量為，0-y1間的無(wú)粘質(zhì)量流量為，由于邊界層的存在減少的質(zhì)量流量為，（2）（3）（4）15選取邊界層上勢(shì)流區(qū)中任一點(diǎn)y1減少的質(zhì)量流量用表示，上式表明，正比于減少的質(zhì)量流量。該質(zhì)量流量等價(jià)于

為常數(shù)，高度為的假想流管。（5）16減少的質(zhì)量流量用表示，（5）16排擠厚度的物理意義邊界層內(nèi)減速的流動(dòng)可以視作自由來(lái)流受到阻礙，使得邊界層外通過(guò)y1點(diǎn)的流線向上偏移了距離。無(wú)粘流（無(wú)邊界層）粘性流（有邊界層）17排擠厚度的物理意義邊界層內(nèi)減速的流動(dòng)可以視作自由來(lái)流受到阻礙位置①處的質(zhì)量流量，位置②處的流量流量，位置①和②為同一流管的兩個(gè)截面，因此流量相等，18位置①處的質(zhì)量流量，18由（6）式得，比較（7）式（5）式，兩者完全相同。因此，物理上表示由于邊界層的存在，無(wú)粘流體被排開(kāi)的距離。（7）19由（6）式得，（7）19

4.1、邊界層近似及其特征

（3）邊界層各種厚度定義（a）邊界層排移厚度在邊界層內(nèi)，理想流體的質(zhì)量流量為

其中，ue為邊界層外緣速度。204.1、邊界層近似及其特征

（3）邊界層各種厚度定義20

4.1、邊界層近似及其特征

由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的質(zhì)量流量為

上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的流量，這部分流量被排擠到主流場(chǎng)中，相當(dāng)于主流區(qū)增加了一層流體。214.1、邊界層近似及其特征

由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的

4.1、邊界層近似及其特征

主流區(qū)所增加的厚度為這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成的。因此，稱(chēng)其為排移厚度。224.1、邊界層近似及其特征

主流區(qū)所增加的厚度為22

4.1、邊界層近似及其特征

（b）

邊界層動(dòng)量損失厚度在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，理想流體通過(guò)的動(dòng)量為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)量為234.1、邊界層近似及其特征

（b）邊界層動(dòng)量損失厚度23

4.1、邊界層近似及其特征

上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)量，這部分動(dòng)量損失用外流流速u(mài)e（理想流體）折算的動(dòng)量損失厚度為244.1、邊界層近似及其特征

上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損

4.1、邊界層近似及其特征

（c）

邊界層能量損失厚度在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，以外流速度（理想流體）通過(guò)的動(dòng)能為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)能為254.1、邊界層近似及其特征

（c）邊界層能量損失厚度2

4.1、邊界層近似及其特征

上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)能，這部分動(dòng)能損失用主流流速u(mài)e（理想流體）折算的動(dòng)能損失厚度為：

上述各種厚度的計(jì)算公式，對(duì)于不可壓縮流體而言，變?yōu)椋?64.1、邊界層近似及其特征

上述兩項(xiàng)之差位移厚度與動(dòng)量厚度的比較[例C4.2.2]邊界層流動(dòng)：位移厚度與動(dòng)量厚度已知：設(shè)邊界層內(nèi)速度分布為上式中y為垂直坐標(biāo)，δ為邊界層名義厚度。求：（1）位移厚度δ*；（2）動(dòng)量厚度θ。（均用δ表示）解：按速度分布式，u(0)=0，u(δ)=U，符合邊界層流動(dòng)特點(diǎn)。（1）按位移厚度的定義（C4.2.6）式（2）按動(dòng)量厚度的定義(C4.2.8)式27位移厚度與動(dòng)量厚度的比較[例C4.2.2]邊界層流動(dòng)：位移厚

4.1、邊界層近似及其特征

（5）幾點(diǎn)說(shuō)明：（a）實(shí)際流動(dòng)中，邊界層流動(dòng)與理想流動(dòng)是漸近過(guò)渡的，邊界層的外邊界線實(shí)際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被流體所通過(guò)的，允許流體穿過(guò)邊界線流動(dòng)。在邊界層內(nèi)流線是向外偏的。（b）邊界層各種厚度的定義式，即適用于層流，也適用于湍流。（c）邊界層各種厚度的大小與邊界層內(nèi)流速分布有關(guān)。但各厚度的大小依次是:

邊界層名義厚度>邊界層排移厚度>邊界層動(dòng)量損失厚度284.1、邊界層近似及其特征

（5）幾點(diǎn)說(shuō)明：28

4.1、邊界層近似及其特征

2、邊界層的特征邊界層的有渦性：粘性流體運(yùn)動(dòng)總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。邊界層就是渦層，當(dāng)流體繞過(guò)物面時(shí)，無(wú)滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的連續(xù)分布的渦源。以二維流動(dòng)為例說(shuō)明之。此時(shí)，物面上的渦源強(qiáng)度為對(duì)于不可壓縮流體，二維流動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程為上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴(kuò)散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴(kuò)散速度與粘性有關(guān)，渦量的遷移速度取決于流動(dòng)速度。294.1、邊界層近似及其特征

2、邊界層的特征294.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

1、平壁面上邊界層方程

根據(jù)Prandtl邊界層概念，通過(guò)量級(jí)比較，可對(duì)N-S方程組進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到邊界層近似方程。對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，N-S方程為

選取長(zhǎng)度特征L，速度尺度ue，時(shí)間尺度t=L/ue，邊界層近似假定：304.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

1、平壁面上邊界層方4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

（1）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。（2）法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度。（3）邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比。將這些量級(jí)關(guān)系式代入到N-S方程中，得到314.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

（1）根據(jù)邊界層定義4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

N-S方程組與各項(xiàng)量級(jí)比較:324.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

N-S方程組與各項(xiàng)量4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

在高Re數(shù)情況下，忽略小量得到忽略質(zhì)量力，由第三個(gè)方程得到這說(shuō)明，在高Re數(shù)情況下，在邊界層內(nèi)壓力沿法向是不變的。334.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

在高Re數(shù)情況下，忽4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p與y無(wú)關(guān)，僅是x和t的函數(shù)。即忽略質(zhì)量力，Prandtl邊界層方程變?yōu)檫吔鐥l件：層流邊界層方程組344.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

邊界層內(nèi)的壓力分布層流邊界層方程組第二式中雖然仍保留有非線性對(duì)流項(xiàng)，但由于對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)消失，用計(jì)算機(jī)作數(shù)值計(jì)算更容易了。第三式表明，在邊界層內(nèi)壓強(qiáng)沿y方向保持不變，即邊界層外的壓強(qiáng)可以穿透邊界層作用到壁面上。壓強(qiáng)沿x方向的變化，完全由外部勢(shì)流決定，因此對(duì)邊界層內(nèi)流動(dòng)，壓強(qiáng)可看作已知量。35層流邊界層方程組第二式中雖然仍保留有非線性對(duì)流項(xiàng)，但由于對(duì)x4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢(shì)流方程確定壓強(qiáng)。即在定常流動(dòng)情況下，有364.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

在邊界層外邊界線上，4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

綜上所述，邊界層基本特性可歸納為374.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

綜上所述，邊界層基本4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

2、曲壁面上的邊界層方程

在實(shí)際流動(dòng)中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導(dǎo)曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。（邊界層厚度被放大顯示）384.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

2、曲壁面上的邊界層4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

2、曲壁面上的邊界層方程在推導(dǎo)中，使用曲壁面上的邊界層坐標(biāo)系。其中，x軸貼著壁面，y軸垂直于壁面。在邊界層內(nèi)任取一點(diǎn)M，其坐標(biāo)

x=ONy=NMM’為M的鄰點(diǎn)，MM’的弧長(zhǎng)為ds394.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

2、曲壁面上的邊界層4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

在x處，設(shè)曲壁的曲率半徑為R(x)，有則仍以u(píng)和v分別表示邊界層坐標(biāo)系中的x和y方向的速度分量，則由正交曲線坐標(biāo)系方程，得到連續(xù)方程404.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

在x處，設(shè)曲壁的曲4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

運(yùn)動(dòng)方程為:414.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

運(yùn)動(dòng)方程為:414.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

假定物面的曲率半徑R(x)與x向的特征長(zhǎng)度L同量級(jí)，y的量級(jí)與邊界層厚度同量級(jí)，故有量級(jí)比較，簡(jiǎn)化的邊界層方程為424.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

假定物面的曲率半徑4.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。為了和流動(dòng)彎曲所產(chǎn)生的離心力相平衡，必須有y方向的壓力梯度。以下估計(jì)這個(gè)壓力梯度的量級(jí)大小。初步假定邊界層內(nèi)速度分布為線性分布。從y=0到y(tǒng)=s積分，有在R>>s的情況下，此壓差是個(gè)小量，可忽略不計(jì)。由此仍得出在曲壁面的邊界層內(nèi)，法向壓力不變是個(gè)常數(shù)。這說(shuō)明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完全相同。434.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

這就是曲壁面上的邊界4.3、平板層流邊界層的相似解

1908年，Prandtl學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。444.3、平板層流邊界層的相似解

1908年，Prandt4.3、平板層流邊界層的相似解

對(duì)于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為相應(yīng)的邊界條件為Blasius假設(shè)，在平板上邊界層內(nèi)的速度分布具有相似性特征。即454.3、平板層流邊界層的相似解

對(duì)于零壓梯度、定常、不可4.3、平板層流邊界層的相似解

根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的量級(jí)為:引入流函數(shù)，可消掉一個(gè)連續(xù)方程。464.3、平板層流邊界層的相似解

根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的4.3、平板層流邊界層的相似解

由此得到代入方程中，得到474.3、平板層流邊界層的相似解

由此得到474.3、平板層流邊界層的相似解

化簡(jiǎn)后變?yōu)檫吔鐥l件為Blasius用無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了求解。假設(shè)：其中，為待定系數(shù)。484.3、平板層流邊界層的相似解

化簡(jiǎn)后變?yōu)?84.3、平板層流邊界層的相似解

由邊界條件，可得勃拉修斯采用級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法數(shù)值求解方程，與尼古拉茲實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合。494.3、平板層流邊界層的相似解

由邊界條件，可得49采用Runge-Kutta算法可數(shù)值求解方程（勃拉修斯采用級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法），可精確地得到數(shù)值解，繪制的無(wú)量綱速度廓線，50采用Runge-Kutta算法可數(shù)值求解方程（勃拉修斯采用級(jí)數(shù)值解數(shù)據(jù)（L.Howharth）51數(shù)值解數(shù)據(jù)（L.Howharth）51數(shù)值解數(shù)據(jù)（續(xù)）52數(shù)值解數(shù)據(jù)（續(xù)）524.3、平板層流邊界層的相似解

（1）邊界層名義厚度（其中

）（2）邊界層位移厚度

（3）邊界層動(dòng)量損失厚度534.3、平板層流邊界層的相似解

53利用牛頓粘性定律，可求得壁面切應(yīng)力為壁面摩擦系數(shù)阻力系數(shù)分別為由以上結(jié)果可看到，邊界層名義厚度δ與

x0.5成正比，即邊界層厚度以離前緣距離的二分之一次方律增長(zhǎng)（圖a）；壁面切應(yīng)力

與

成正比，即壁面切應(yīng)力以x的負(fù)二分之一次律減?。▓Db）。理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果一致54利用牛頓粘性定律，可求得壁面切應(yīng)力為理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果一4.3、平板層流邊界層的相似解

（4）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù)（6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù)郭永懷（1953年）對(duì)平板前緣點(diǎn)的修正，得到適用范圍：554.3、平板層流邊界層的相似解

（4）壁面切應(yīng)力554.4、邊界層動(dòng)量積分方程

邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由Karman于1921年導(dǎo)出的，對(duì)近似求解邊界層特性具有重要作用。適應(yīng)于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長(zhǎng)度為dx，控制面為Aab、Abc、Acd、Ada?，F(xiàn)對(duì)控制體應(yīng)用動(dòng)量定律，可得由Aab面流入控制體的質(zhì)量為由Acd面流出控制體的質(zhì)量為564.4、邊界層動(dòng)量積分方程

邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由K4.4、邊界層動(dòng)量積分方程

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過(guò)Abc流入控制體的質(zhì)量為由Aab面流入控制體的動(dòng)量為由Acd面流出控制體的動(dòng)量為通過(guò)Abc流入控制體的動(dòng)量在x方向的分量為574.4、邊界層動(dòng)量積分方程

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過(guò)Abc流4.4、邊界層動(dòng)量積分方程

在Aab面上的作用力為在Acd面上的作用力為在Abc面上的力為在Aad面上的切應(yīng)力為584.4、邊界層動(dòng)量積分方程

584.4、邊界層動(dòng)量積分方程

現(xiàn)對(duì)控制體建立x方向的動(dòng)量方程為整理后，得由于594.4、邊界層動(dòng)量積分方程

現(xiàn)對(duì)控制體建立x方向的動(dòng)量方程4.4、邊界層動(dòng)量積分方程由Bernoulli方程，可得這就是邊界層動(dòng)量積分方程。是一個(gè)一階常微分方程，適應(yīng)于層流和湍流邊界層。604.4、邊界層動(dòng)量積分方程由Bernoulli方程，可得604.4、邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分方程：動(dòng)量積分方程的特點(diǎn)是建立了阻力與動(dòng)量厚度（及位移厚度）的關(guān)系。由于動(dòng)量厚度是速度的二次表達(dá)式的積分，對(duì)速度廓線形狀不很敏感，可用近似的速度廓線代替準(zhǔn)確的速度廓線，使計(jì)算大為簡(jiǎn)化。應(yīng)當(dāng)指出，上式只能用于邊界層緊貼壁面的流動(dòng)，事實(shí)上在逆壓強(qiáng)梯度作用下，邊界層極可能脫離壁面形成分離流動(dòng)，此時(shí)方程不再適用。614.4、邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分方程：61邊界層動(dòng)量積分方程：方程（26）含有三個(gè)未知量，因而必須尋求補(bǔ)充關(guān)系，積分求解。三個(gè)未知量都取決于邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布就可以求解。該方法的精度取決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。4.4、邊界層動(dòng)量積分方程62邊界層動(dòng)量積分方程：4.4、邊界層動(dòng)量積分方程62對(duì)于零壓梯度（無(wú)壓強(qiáng)梯度）的平板邊界層流動(dòng)，該式可簡(jiǎn)化為，

無(wú)壓強(qiáng)梯度平板邊界層近似計(jì)算4.4、邊界層動(dòng)量積分方程63對(duì)于零壓梯度（無(wú)壓強(qiáng)梯度）的平板邊界層流動(dòng)，該式可簡(jiǎn)化為，44.5、無(wú)壓強(qiáng)梯度平板邊界層近似計(jì)算動(dòng)量積分方法的優(yōu)點(diǎn)是不要求了解邊界層內(nèi)的每一點(diǎn)流動(dòng)細(xì)節(jié)，在滿足壁面和外部的邊界條件下，只求整個(gè)邊界層流動(dòng)區(qū)域的積分值(整體效果)，這是符合工程實(shí)際需要的。由于采用積分方法，邊界層截面上的速度廓線形狀對(duì)動(dòng)量積分值不很敏感。因此可以用假設(shè)的速度廓線代替真實(shí)的速度廓線，使計(jì)算大為簡(jiǎn)化。無(wú)壓強(qiáng)梯度平板邊界層近似計(jì)算：4.5.1平板層流邊界層4.5.2平板湍流邊界層644.5、無(wú)壓強(qiáng)梯度平板邊界層近似計(jì)算動(dòng)量積分方法的優(yōu)點(diǎn)是不要4.5.1平板層流邊界層設(shè)邊界層縱向坐標(biāo)速度分布式為速度分布滿足條件壁面切應(yīng)力代入動(dòng)量方程后可得654.5.1平板層流邊界層設(shè)邊界層縱向坐標(biāo)654.5.1平板層流邊界層積分可得：上式中FD是平板總阻力，上述幾式表明不同速度分布具有不同的值，使

表達(dá)式中比例因子不同。664.5.1平板層流邊界層積分可得：664.5.1平板層流邊界層考慮平板邊界層問(wèn)題，，則假定邊界層內(nèi)速度分布具有三次曲線形式：674.5.1平板層流邊界層考慮平板邊界層問(wèn)題，上式中的4個(gè)待定系數(shù)a，b，c，d可通過(guò)下面的約束條件確定：其中，是根據(jù)平板邊界層在壁面滿足的條件確定的，68上式中的4個(gè)待定系數(shù)a，b，c，d可通過(guò)下面的約束條件確定：聯(lián)立前面兩個(gè)方程，得：則邊界層動(dòng)量厚度為，69聯(lián)立前面兩個(gè)方程，得：69對(duì)上式積分式，且，則，7070壁面局部阻力系數(shù)為，由前面兩個(gè)公式，可得：得到的結(jié)果與勃拉修斯的解析解非常接近。71壁面局部阻力系數(shù)為，714.5.1平板層流邊界層按近似的速度廓線計(jì)算的平板邊界層動(dòng)量積分結(jié)果724.5.1平板層流邊界層按近似的速度廓線計(jì)算的平板邊界層動(dòng)作業(yè)已知平板層流邊界層內(nèi)的速度分布具有如下形式，求：（1）邊界層名義厚度

，；（2）壁面局部阻力系數(shù)

，

73作業(yè)已知平板層流邊界層內(nèi)的速度分布具有如下形式，734.5.2平板湍流邊界層邊界層內(nèi)流態(tài)：

實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明邊界層內(nèi)層流態(tài)向湍流態(tài)轉(zhuǎn)捩的當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)為：邊界層內(nèi)局部的雷諾數(shù)為：744.5.2平板湍流邊界層邊界層內(nèi)流態(tài)：744.5.2平板湍流邊界層湍流邊界層的壁面切應(yīng)力與速度分布的關(guān)系比較復(fù)雜，還沒(méi)有成熟的理論。普朗特通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究認(rèn)為可以借鑒圓管湍流的某些結(jié)論，例如湍流邊界層內(nèi)的時(shí)均速度分布與圓管1/7指數(shù)律接近：平均速度為V=0.8167U(邊界層外速度U相當(dāng)于圓管軸線最大速度Vmax)。壁面切應(yīng)力則借鑒圓管湍流布拉修斯公式（4000≤Re≤105

）(C4.5.11)(C3.4.6)754.5.2平板湍流邊界層湍流邊界層的壁面切應(yīng)力與速度分布的4.5.2平板湍流邊界層運(yùn)用到邊界層中來(lái)時(shí)取δ=R=d/2。由(C3.6.9a)式由動(dòng)量厚度Θ的定義(C4.2.8)式將(C3.4.7)式和(C3.6.8)式代入動(dòng)量積分方程(C4.4.6)式,整理得積分可得(C3.4.7)(C3.6.8)764.5.2平板湍流邊界層運(yùn)用到邊界層中來(lái)時(shí)取δ=R=4.5.2平板湍流邊界層設(shè)湍流邊界層從平壁前緣開(kāi)始，x=0處δ=0，則可得c=0。湍流邊界層厚度在x方向的變化規(guī)律為或者：上式中Rex=ρUx/μ

由(C3.4.7)式可得壁面切應(yīng)力為壁面摩擦系數(shù)為(C3.6.8a)(C3.6.8b)(C3.6.9)(C3.4.10)774.5.2平板湍流邊界層設(shè)湍流邊界層從平壁前緣開(kāi)始，x=04.5.2平板湍流邊界層設(shè)平板長(zhǎng)為l,寬為b單面的摩擦阻力為摩擦阻力系數(shù)為實(shí)驗(yàn)表明在5×105<Rel<2.5×107

范圍內(nèi)(C3.4.12)式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好，并將其稱(chēng)為普朗特公式。將以上結(jié)果與層流邊界層結(jié)果相比較，層流邊界層厚度與

成正比，而湍流邊界層與

x4/5成正比，說(shuō)明湍流邊界層厚度增長(zhǎng)迅速。對(duì)相同的平板lxb

，相同的雷諾數(shù)Rel

，湍流邊界層的摩擦阻力系數(shù)比層流邊界層大得多，如Rel=106時(shí)湍流邊界層的摩擦阻力系數(shù)相當(dāng)于層流邊界層的3.5倍。(C3.4.11)(C3.4.12)784.5.2平板湍流邊界層設(shè)平板長(zhǎng)為l,寬為b單面的4.5.2平板湍流邊界層將光滑圓管湍流的結(jié)果移植到光滑平板上，速度分布用1/7指數(shù)式，壁面切應(yīng)力采用布拉修斯公式。取δ=R=d/2,由無(wú)壓強(qiáng)梯度平板邊界層動(dòng)量積分方程可得（與層流邊界層對(duì)照）

湍流邊界層

層流邊界層

比值邊界層厚度壁面摩擦系數(shù)摩擦阻力系數(shù)794.5.2平板湍流邊界層將光滑圓管湍流的結(jié)果移植到光滑平板4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

邊界層分離又稱(chēng)為流動(dòng)分離，是指原來(lái)緊貼壁面流動(dòng)的邊界層脫離壁面的現(xiàn)象。邊界層脫離壁面后的空間通常由后部的倒流流體來(lái)填充，形成渦旋，因此發(fā)生邊界層分離的部位一般有渦旋形成。當(dāng)流體繞曲壁流動(dòng)時(shí)最容易發(fā)生這種現(xiàn)象，圖C4.4.1為典型的例子，在圓柱后部發(fā)生的流動(dòng)分離形成一對(duì)渦旋，稱(chēng)為貓眼。下面以具有順壓和逆壓梯度的曲壁邊界層流動(dòng)為例說(shuō)明邊界層分離的原因和特點(diǎn)。804.6、邊界層的分離現(xiàn)象

邊界層分離又稱(chēng)為流動(dòng)分離，是指4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

814.6、邊界層的分離現(xiàn)象

814.6、邊界層的分離現(xiàn)象824.6、邊界層的分離現(xiàn)象824.6、邊界層的分離現(xiàn)象

1、邊界層分離現(xiàn)象

邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力的作用始終是阻滯流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，使流體質(zhì)點(diǎn)減速，失去動(dòng)能；壓力的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速前進(jìn)，而逆壓梯度阻礙流體運(yùn)動(dòng)。以圓柱繞流為例說(shuō)明邊界層的分離現(xiàn)象。

對(duì)于理想流體，流體微團(tuán)繞過(guò)圓柱時(shí)，在OM段為加速減壓區(qū)，壓能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。在MF段為減速增壓區(qū)，動(dòng)能減小壓能增加834.6、邊界層的分離現(xiàn)象

1、邊界層分離現(xiàn)象對(duì)于4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

對(duì)于粘性流體，在上述能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，由于粘性的作用，邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)將要克服粘性力作功而消耗機(jī)械能。因此微團(tuán)在逆壓區(qū)，不可能到達(dá)F點(diǎn)，而是在MF段中的某點(diǎn)處微團(tuán)速度降為零，以后來(lái)的質(zhì)點(diǎn)將改道進(jìn)入主流中，使來(lái)流邊界層與壁面分離。在分離點(diǎn)下游的區(qū)域，受逆壓梯度的作用而發(fā)生倒流。分離點(diǎn)定義為緊鄰壁面順流區(qū)與倒流區(qū)的分界點(diǎn)。

在分離點(diǎn)附近和分離區(qū)，由于邊界層厚度大大增加，邊界層假設(shè)不在成立。邊界層分離的必要條件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯作用結(jié)果。84僅有粘性的阻滯作用而無(wú)逆壓梯度，不會(huì)發(fā)生邊界層的分離，因?yàn)闊o(wú)反推力使邊界層流體進(jìn)入到外流區(qū)。這說(shuō)明，順壓梯度的流動(dòng)不可能發(fā)生邊界層分離。只有逆壓梯度而無(wú)粘性的阻滯作用，同樣也不會(huì)發(fā)生分離現(xiàn)象，因?yàn)闊o(wú)阻滯作用，運(yùn)動(dòng)流體不可能消耗動(dòng)能而滯止下來(lái)。4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

對(duì)于粘性流體，在上述能2.分離實(shí)例鈍體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)邊界層發(fā)展擴(kuò)張管流動(dòng)852.分離實(shí)例鈍體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)邊界層發(fā)展擴(kuò)張管流動(dòng)854.6、邊界層的分離現(xiàn)象氣流繞翼型的流動(dòng)與邊界層分離現(xiàn)象。

需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必要條件，但不是充分的，也就是說(shuō)只有在一定的逆壓梯度下，才有可能發(fā)生分離。864.6、邊界層的分離現(xiàn)象氣流繞翼型的流動(dòng)與邊界層分離現(xiàn)象。84.6、邊界層的分離現(xiàn)象分離的物理原因外流的壓強(qiáng)可透過(guò)邊界層，直接作用到壁面上。在順壓梯度區(qū)（圖中BC段）壁面附近的流體元將受到壓力的推動(dòng)前進(jìn)；在零壓強(qiáng)梯度區(qū)(C點(diǎn))流體微團(tuán)靠自身的動(dòng)能克服粘性阻力前進(jìn);在逆壓梯度區(qū)(CE段)流體元受到逆壓和粘性力雙重阻力逐漸減速，至S點(diǎn)時(shí)動(dòng)能耗盡，速度為零。在后部(SE段)倒流的流體擠壓下，脫離壁面流向內(nèi)部。S點(diǎn)稱(chēng)為分離點(diǎn)，SE稱(chēng)為脫體區(qū)。874.6、邊界層的分離現(xiàn)象分離的物理原因87根本原因：粘性1.分離的物理原因在順壓梯度區(qū)（BC段)：微團(tuán)加速在逆壓梯度區(qū)（CE段)：S點(diǎn)停止分離條件：逆壓梯度實(shí)際發(fā)生：微團(tuán)倒流CS段減速SE段倒流。邊界層分離的C4.6壓強(qiáng)梯度影響:邊界層分離4.6、邊界層的分離現(xiàn)象88根本原因：粘性1.分離的物理原因在順壓梯度區(qū)（BC段)：微團(tuán)4.6、邊界層的分離現(xiàn)象邊界層方程為，在壁面處邊界層方程簡(jiǎn)化為，邊界層外部勢(shì)流區(qū)，894.6、邊界層的分離現(xiàn)象邊界層方程為，894.6、邊界層的分離現(xiàn)象

2、在不同壓力梯度區(qū)邊界層的速度分布特征根據(jù)邊界層動(dòng)量方程，在壁面上壓力梯度對(duì)邊界層內(nèi)流動(dòng)速度分布產(chǎn)生一定的影響。對(duì)于順壓梯度的情況，有對(duì)于逆壓梯度的情況，有904.6、邊界層的分離現(xiàn)象

2、在不同壓力梯度區(qū)邊界層的速流動(dòng)加速段，（順壓梯度），由于速度剖面是光滑連續(xù)變化的，從靠近邊界層外緣下一點(diǎn)，由正值變?yōu)?，因而在該點(diǎn)處，，與壁面處的速度曲率符號(hào)相同。據(jù)此推測(cè)，整個(gè)邊界層內(nèi)的速度曲率小于0。4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

91流動(dòng)加速段，（順壓梯度），4流動(dòng)減速段，（逆壓梯度），由前面的分析可知，邊界層外緣下一點(diǎn)處的速度曲率，

，與壁面處的速度曲率符號(hào)相反。因此在壁面和邊界層外緣之間必存在一點(diǎn)，使得。該點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)。對(duì)于平板邊界層，拐點(diǎn)在壁面上。4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

92流動(dòng)減速段，（逆壓梯度），4在順壓梯度區(qū)，沿流動(dòng)方向的作用力有助于克服壁面摩擦阻力，對(duì)邊界層內(nèi)的流動(dòng)有增速作用，從而減小了邊界層厚度的增長(zhǎng)率。在逆壓梯度區(qū)，沿流動(dòng)反方向的作用力對(duì)邊界層內(nèi)的流動(dòng)有減速作用，從而增大了邊界層厚度的增長(zhǎng)率。如果逆壓梯度足夠大，邊界層內(nèi)的流動(dòng)速度會(huì)逐漸減速至0，最終導(dǎo)致邊界層在某處出現(xiàn)分離（或稱(chēng)脫體）。4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

93在順壓梯度區(qū)，沿流動(dòng)方向的作用力有助于克服壁面摩擦阻力，對(duì)邊4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

強(qiáng)逆壓梯作用下產(chǎn)生回流，并與來(lái)流在S點(diǎn)相遇，之后流向主流區(qū)。流動(dòng)分離點(diǎn)S處，切應(yīng)力為0，流動(dòng)分離944.6、邊界層的分離現(xiàn)象

流動(dòng)分離944.6、邊界層的分離現(xiàn)象

發(fā)生了回流，回流把主流推離壁面，邊界層假設(shè)失效。由上分析可見(jiàn)，逆壓梯度愈大，邊界層分離愈靠前。邊界層分離后，流動(dòng)特征發(fā)生了變化。如：（1）從分離點(diǎn)不斷脫離出旋渦，在分離點(diǎn)下游形成不穩(wěn)定的旋渦區(qū)，從而使得主流區(qū)由原來(lái)的無(wú)渦區(qū)變成有渦。（2）物面上壓力分布由原來(lái)的幾乎對(duì)稱(chēng)分布變成不對(duì)稱(chēng)分布，在分離點(diǎn)后出現(xiàn)低壓區(qū)（或負(fù)壓區(qū)），從而大大增加了繞流物體的阻力。954.6、邊界層的分離現(xiàn)象

發(fā)生了回流，回流把主流流動(dòng)分離機(jī)制流動(dòng)分離的必要條件：粘性和逆壓梯度。僅有粘性的阻滯作用而無(wú)逆壓梯度，不會(huì)發(fā)生邊界層的分離，因?yàn)闊o(wú)反推力使邊界層流體進(jìn)入到外流區(qū)。這說(shuō)明，順壓梯度的流動(dòng)不可能發(fā)生邊界層分離。只有逆壓梯度而無(wú)粘性的阻滯作用，同樣也不會(huì)發(fā)生分離現(xiàn)象，因?yàn)闊o(wú)阻滯作用，運(yùn)動(dòng)流體不可能消耗動(dòng)能而滯止下來(lái)。在強(qiáng)逆壓梯度下，流動(dòng)分離取決于流動(dòng)的幾何外形及流動(dòng)模式（層流、湍流）。96流動(dòng)分離機(jī)制流動(dòng)分離的必要條件：粘性和逆壓梯度。96思考題逆壓梯度的存在是邊界層發(fā)生分離的必要條件，而分離的真正產(chǎn)生要看邊界層內(nèi)流體是否發(fā)生倒流。在具有相同外流的逆壓梯度條件下，邊界層中哪種流態(tài)不容易發(fā)生分離：(A)層流邊界層；(B)湍流邊界層。按管道入口段流動(dòng)分析，管內(nèi)充分發(fā)展流動(dòng)是管壁四周的邊界層從管口開(kāi)始逐漸發(fā)展增厚，最后相遇的結(jié)果，從這個(gè)意義說(shuō)管內(nèi)充分發(fā)展流動(dòng)也屬于邊界層流動(dòng)。按邊界層分離原理，下列情況中哪種情況可能發(fā)生管內(nèi)分離：

(A)直管；

(B)漸縮管；

(C)漸擴(kuò)管。97思考題逆壓梯度的存在是邊界層發(fā)生分離的必要條件，而分離的真正4.6、邊界層的分離現(xiàn)象

984.6、邊界層的分離現(xiàn)象

98低速流動(dòng)中，阻力分為： 1）摩擦阻力 2）壓差阻力（形狀阻力）阻力系數(shù)：定義，Cd→繞流阻力系數(shù)

A→投影面積4.7、繞流物體的阻力Cd實(shí)驗(yàn)數(shù)值計(jì)算99低速流動(dòng)中，阻力分為：4.7、繞流物體的阻力Cd實(shí)驗(yàn)數(shù)值計(jì)算4.7、繞流物體的阻力1）摩擦阻力摩擦阻力是由流體作用在物面上的粘性切應(yīng)力產(chǎn)生。根據(jù)牛頓粘性定律，粘性切應(yīng)力與流體粘度系數(shù)和速度梯度成正比。對(duì)同一種流體，物面上不同速度分布產(chǎn)生的粘性切應(yīng)力不同。當(dāng)流體繞物體作大Re數(shù)流動(dòng)時(shí)，物面邊界層中的流態(tài)與摩擦阻力有關(guān)，上節(jié)的計(jì)算表明在相同條件下，湍流邊界層的摩擦阻力比層流邊界層的大。2）壓差阻力（形狀阻力）壓差阻力是流體作用在物面上的壓強(qiáng)合力引起的阻力。平面勢(shì)流理論指出無(wú)粘性流體繞圓柱流動(dòng)時(shí)，壓強(qiáng)分布是前后對(duì)稱(chēng)的，壓差阻力為零，與實(shí)際情況不符，稱(chēng)為達(dá)朗貝爾佯謬。如C4.6節(jié)所述，實(shí)際流體繞圓柱等凸壁流動(dòng)時(shí)，在背風(fēng)面容易發(fā)生邊界層分離開(kāi)成旋渦，后部的壓強(qiáng)不能恢復(fù)到與前部相對(duì)稱(chēng)的程度，因此圓柱前后產(chǎn)生壓強(qiáng)差，這就是壓差阻力。后部分離越嚴(yán)重，壓差阻力越大。由于逆壓梯度大小與物面形狀有關(guān)，壓差阻力又稱(chēng)為形狀阻力。1004.7、繞流物體的阻力1）摩擦阻力100C4.7.1兩種阻力摩擦阻力2)形狀阻力1.表面壓