數(shù)字圖像處理4

數(shù)字圖像處理第4章圖像變換(ImageTransform)

4.1連續(xù)傅里葉變換4.2離散傅里葉變換4.3快速傅里葉變換4.4傅里葉變換的性質(zhì)4.5圖像傅里葉變換實例4.6

其他離散變換一、圖像變換的引入1.方法：對圖像信息進行變換，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、處理[濾除不必要信息(如噪聲)，加強/提取感興趣的部分或特征]。二、方法分類可分離、正交變換:2D-DFT,2D-DCT,1．提取圖象特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目標物邊緣：F（u,v）高頻分量。2．圖像壓縮：正交變換能量集中，對集中（?。┎糠诌M行編碼。

3．圖象增強：低通濾波，平滑噪聲；高通濾波，銳化邊緣。三、用途2D-DHT,2D-DWT。1、一維傅立葉變換及其反變換4.1連續(xù)傅里葉變換（ContinuousFourierTransform）

4.1.1連續(xù)傅里葉變換的定義

(DefinitionofContinuousFourierTransform)這里是實函數(shù)，它的傅里葉變換通常是復函數(shù)。的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：實部（4.3）虛部（4.4）振幅（4.5）4.1.1連續(xù)傅里葉變換的定義

(DefinitionofContinuousFourierTransform)能量（4.6）相位（4.7）

傅里葉變換可以很容易推廣到二維的情形。設(shè)函數(shù)是連續(xù)可積的，且可積，則存在如下的傅里葉變換對：4.1連續(xù)傅里葉變換的定義

(DefinitionofContinuousFourierTransform)

（4.8）

（4.9）式中是頻率變量。與一維的情況一樣，二維函數(shù)的傅里葉譜、能量和相位譜為:4.1連續(xù)傅里葉變換的定義

(DefinitionofContinuousFourierTransform)傅里葉頻譜：（4.10）相位：（4.11）能量譜：（4.12）

4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）函數(shù)的一維離散傅里葉變換由下式定義：

（4.13）其中，。的傅里葉反變換定義為：

（4.14）傅里葉頻譜：

相位:能量譜4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

同連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換一樣，離散函數(shù)的傅里葉變換也可推廣到二維的情形，其二維離散傅里葉變換定義為：

（4.16）式中，。二維離散傅里葉反變換定義為

（4.17）4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

式中，式中是頻率變量。與一維的情況一樣，二維函數(shù)的離散傅里葉譜、能量和相位譜為:傅里葉頻譜：相位：能量譜：4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

例4.1一個簡單二維函數(shù)的中心譜。圖4.1（a）顯示了在像素尺寸的黑色背景上疊加一個像素尺寸的白色矩形。4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

圖4.1（a）此圖像在進行傅里葉變換的計算之前被乘以，從而可以使頻率譜關(guān)于中心對稱，如圖4.1（b）所示。在圖4.1（b）中，方向譜的零點分割恰好是方向零點分隔的兩倍。4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

（a）（b）圖4.1（a）在大小為黑色背景上疊加一個尺寸為的白色矩形的圖像，（b）應用了對數(shù)變換后顯示的中心傅里葉譜

符合圖像中的矩形尺寸比例（遵照傅里葉變換4.4.6節(jié)的尺度變換性質(zhì)）。在顯示之前頻率譜用式（對數(shù)處理見前章3.2.2）中的對數(shù)變換處理以增強灰度級細節(jié)。變換中使用的值可以降低整體強度。在本章顯示的多數(shù)傅里葉頻率譜都用對數(shù)變換進行了相似的處理。4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

例4.2圖象的二維離散傅立葉頻譜。％讀入原始圖象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求離散傅立葉頻譜J=fftshift(fft2(I));

%對原始圖象進行二維傅立葉變換，并將其坐標原點移到頻譜圖中央位置figure（2）; imshow(log(1+abs(J)),[8,10])其結(jié)果如圖4.2所示4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

（a）原始圖像（b）離散傅里葉頻譜圖4.2二維圖像及其離散傅里葉頻譜的顯示4.2離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）

快速傅里葉變換(FFT)并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換(DFT)的一種算法。這種方法是在分析離散傅里葉變換(DFT)中的多余運算的基礎(chǔ)上，進而消除這些重復工作的思想指導下得到的，所以在運算中大大節(jié)省了工作量，達到了快速的目的。4.3快速傅里葉變換(FastFourierTransform)

對于一個有限長序列，它的傅里葉變換由下式表示:（4.18）令因此，傅里葉變換對可寫成下式

（4.19）4.3快速傅里葉變換(FastFourierTransform)

從上面的運算顯然可以看出要得到每一個頻率分量，需進行次乘法和次加法運算。要完成整個變換需要次乘法和次加法運算。當序列較長時，必然要花費大量的時間。觀察上述系數(shù)矩陣，發(fā)現(xiàn)是以為周期的，即（4.21）

4.3快速傅里葉變換(FastFourierTransform)

4.4.1可分離性（Separability）4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)每1列求變換再乘以再對每1行求傅里葉變換可分離性（Divisibility）

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

F(x,?v)圖4.5由2步1-D變換計算2-D變換4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

4.4.2平移性質(zhì)（Translation）與一個指數(shù)相乘等于將變換后的頻率域中心移到新的位置。的平移將不改變頻譜的幅值（amplitude）。例

I=imread('i_peppers_gray.bmp');I=rgb2gray(I);subplot(1,3,1);imshow(I)K=fft2(I);J=fftshift(K);K1=0.5*log(1+abs(K));J1=0.5*log(1+abs(J));subplot(1,3,2);imshow(K1,[0,10])subplot(1,3,3);imshow(J1,[0,10])傅里葉變換和反變換均以為周期，即

（4.29）上式可通過將右邊幾項分別代入式（4.16）來驗證。它表明，盡管有無窮多個和的值重復出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的個值就可以從得到。

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

4.4.3周期性和共軛對稱性（PeriodicityandConjugateSymmetry）如果是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對成性（4.30）（4.31）

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)4.4.4旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（Rotation）

上式表明，對旋轉(zhuǎn)一個角度對應于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度例4.4二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性（具體程序參見書）。

（a）原始圖像（b）原圖像的傅（c）旋轉(zhuǎn)后的圖像（d）旋轉(zhuǎn)后圖像的里葉頻譜傅里葉頻譜上例表明，對旋轉(zhuǎn)一個角度對應于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度。4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

I=zeros(256,256);I(28:228,108:148)=1;subplot(1,4,1);imshow(I)%求原始圖像的傅里葉頻譜J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);subplot(1,4,2);imshow(J1,[550])%對原始圖像進行旋轉(zhuǎn)J=imrotate(I,315,'bilinear','crop');subplot(1,4,3);imshow(J)%求旋轉(zhuǎn)后圖像的傅里葉頻譜J1=fft2(J);F=abs(J1);J2=fftshift(F);subplot(1,4,4);imshow(J2,[550])分配律(DistributionLaw)根據(jù)傅里葉變換對的定義可得到：

（4.33）上式表明傅里葉變換和反變換對加法滿足分配律，但需注意對乘法則不滿足，一般有：

（4.34）

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

4.4.5分配律（DistributionLaw）4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)4.4.6尺度變換（Scaling）

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

【例4.5】比例尺度展寬。（a）原始圖像（b）比例尺度展寬前的頻譜（c）比例尺度a=0.1，b=1，展寬后的頻譜

I=zeros(256,256);I(8:248,110:136)=5;figure(1);imshow(I)%原始圖像的傅里葉頻譜J3=fft2(I);F2=abs(J3);J4=fftshift(F2);figure(2);imshow(J4,[530])%乘以比例尺度a=0.1;fori=1:256forj=1:256I(i,j)=I(i,j)*a;endend%比例尺度展寬后的傅里葉頻譜J2=fft2(I);F1=abs(J2);J3=fftshift(F1);figure(3);imshow(J3,[530])figure(4);imshow(I)例4.8I=imread('i_peppers_gray.bmp');figure(1);imshow(I)I=rgb2gray(I);%如果是灰度圖就不用先變換P=I*exp(-1);figure(2);imshow(P)P1=fftshift(fft2(P));figure(3);imshow(log(abs(P1)),[8,10])對一個2-D離散函數(shù)，其平均值可用下式表示：

（4.37）當正反變換采用相同的標度數(shù)時，傅里葉變換域原點的頻譜分量為：

4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

4.4.7平均值（AverageValue）兩式比較可得：（4.39）也就是說，頻譜的直流成分倍于圖像平面的亮度平均值。在使用諸如高通濾波器的場合，其值會衰減，因為圖像的亮度在很大程度上受到影響，采用對比度拉伸的方法可以緩和這種衰減。4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

4.4.8

卷積定理(ConvolutionTheorem)卷積定理是線性系統(tǒng)分析中最重要的一條定理。下面先考慮一維傅里葉變換：

（4.40）同樣二維情況也是如此

（4.41）4.4傅里葉變換的性質(zhì)(CharacteristicsofFourierTransform)

例4.9f=[8,1,6;3,5,7;4,9,2];g=[1,1,1;1,1,1;1,1,1];f(8,8)=0;g(8,8)=0;c=ifft2(fft2(f).*fft2(g));c1=c(1:5,1:5)%利用conv2(二維卷積函數(shù))校驗a=[8,1,6;3,5,7;4,9,2];b=[1,1,1;1,1,1;1,1,1];c2=conv2(a,b)例4.6對一副圖進行傅里葉變換，求出其頻譜圖，然后利用平移性質(zhì)，在原圖的基礎(chǔ)上乘以求傅里葉變換的頻譜圖（程序參照例4.2）。

（a）原圖（b）頻譜圖（c）中心移到零點的頻譜圖圖4.8二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖（結(jié)果看下）4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

圖4.8（a）為原圖，對其求傅里葉變換得到圖4.8（b）傅里葉變換的頻譜圖，觀察頻譜圖可知，在未平移前，圖（b）坐標原點在窗口的左上角，即變換后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低頻成分。對原圖乘以后進行傅里葉變換，觀察頻譜圖（c）可知，變換后的坐標原點移至頻譜圖窗口中央，因而圍繞坐標原點是低頻，向外是高頻。4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

通過例4.6可知，圖像的能量主要集中在低頻區(qū)，即圖像的中央位置，而相對的高頻區(qū)（左上、右上、左下、右下四個角）的幅值很小或接近于0。以后傅里葉變換都進行相似平移處理，將不再重復敘述。4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

例4.7：圖4.8（a）乘以一指數(shù)，將圖像亮度整體變暗，并求其中心移到零點的頻譜圖（詳細程序參加書）。（a）變暗后的圖（b）變暗后中心移到零點的頻譜圖圖4.9二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

將原圖（a）函數(shù)乘以，結(jié)果如圖4.9（a）所示。對其亮度平均變暗后的圖像進行傅里葉變換，并將坐標原點移到頻譜圖中央位置，結(jié)果如圖4.9（b）所示。對比圖4.8（c）和4.9（b）后，可以看出當圖片亮度變暗后，中央低頻成分變小。故從中可知，中央低頻成分代表了圖片的平均亮度，當圖片亮度平均值發(fā)生變化時，對應的頻譜圖中央的低頻成分也發(fā)生改變。4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

例4.8：圖4.8（a）加入高斯噪聲，得出一個有顆粒噪音的圖，并求其中心移到零點的頻譜圖（程序如例4.7）。（a）有顆粒噪音（b）有顆粒噪音中心移到零點的頻譜圖圖4.10二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

例4.9：對中心為一小正方形和以斜長方形求其傅里葉變換的譜分布（程序見例4.4）。（a）正方形原圖（b）正方形的譜分布（c）長方形的原始（d）長方形的譜分圖像布圖4.11傅氏變換譜分布實例4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)圖4.11示出兩幅圖像經(jīng)傅氏變換后的頻譜分布例子。左邊均為原始圖像，右邊分別是他們變換后的譜分布。圖（a）是中心為一小正方形，周邊為空；圖(c)是中心為斜置的小矩形。譜分布中，最亮區(qū)域表示其變換后的幅值最大。對（c）傅里葉變換后中心移到零點后的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)當長方形旋轉(zhuǎn)了時，頻譜也跟著旋轉(zhuǎn)，此實例驗證了傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性。4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

例4.10:對一副圖片如圖4.12（a）求其幅值譜和相位譜，并對幅值譜和相位譜分別進行圖像構(gòu)，對比其所求結(jié)果(詳細程序參加書)。（a）原圖4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)

（b）幅值譜（c）相位譜（d）幅值譜重構(gòu)圖像（e）相位譜重構(gòu)圖像圖4.12傅里葉圖像及其傅里葉變換

I=imread('i_peppers_gray.bmp');figure(1);imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI);RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2);imshow(real(a));b=angle(fftI);figure(3);imshow(real(b));theta=30;RR1=a*cos(theta);II1=a*sin(theta);fftI1=RR1+i.*II1;C=ifft2(fftI1)*255;figure(4);imshow(real(C));MM=150;RR2=MM*cos(angle(fftI));II2=MM*sin(angle(fftI));fftI2=RR2+i.*II2;D=ifft2(fftI2);figure(5);imshow(real(D));4.5圖像傅里葉變換實例(ExamplesofFourierTransformImages)對圖4.12（a）進行離散傅里葉變換，得出幅值譜圖（b），相位譜圖（d）及幅值譜重構(gòu)圖像圖（c），相位譜重構(gòu)圖像圖（e）。從實驗結(jié)果可以看出，從幅值譜圖像中得到的信息比在相位譜圖像中得到的信息多，但對幅值譜圖像重構(gòu)后，即忽略相位信息，將其設(shè)為0，所得到的圖像與原始圖像相比，結(jié)果差別很大；而對相位譜圖像重構(gòu)后，及忽略幅值信息，將其設(shè)為常數(shù)，可以從中看出圖像的基本輪廓來。例4.12

I1=imread('lena2.jpg');J1=imread('boy1.jpg');J1=rgb2gray(J1);%如果是灰度圖就不用先變換I1=rgb2gray(I1);%如果是灰度圖就不用先變換If=fft2(I1);Jf=fft2(J1);%分別求幅度譜和相位譜FAi=abs(If);FPi=angle(If);FAj=abs(Jf);FPj=angle(Jf);%交換相位譜并重建復數(shù)矩陣IR=FAi.*cos(FPj)+FAi.*sin(FPj).*i;JR=FAj.*cos(FPi)+FAj.*sin(FPi).*i;%傅立葉反變換IR1=abs(ifft2(IR));JR1=abs(ifft2(JR));%顯示圖像subplot(2,2,1);imshow(J1);title('男孩原圖像');subplot(2,2,2);imshow(I1);title('美女原圖像');subplot(2,2,3);imshow(IR1,[]);title('男孩的幅度譜和美女的相位譜組合');subplot(2,2,4);imshow(JR1,[]);title('美女的幅度譜和男孩的相位譜組合');

圖像處理中常用的正交變換除了傅里葉變換外，還有其它變換。在圖像處理中常用到的有離散余弦變換、沃爾什等。4.6其他離散變換（OtherDiscreteTransform）

一維離散余弦變換的定義由下式表示

（4.43）

（4.44）4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

式中是第個余弦變換系數(shù)，是廣義頻率變量，;是時域點實序列.一維離散余弦反變換由下式表示

（4.45）4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

顯然，式（4.43）、式（4.44）和式（4.45）構(gòu)成了一維離散余弦變換。

由一維離散余弦變換（1-DDCT）可以很容易推廣到二維余弦離散變換，由下式表示：

4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

(4.46)4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)式（4.46）是正變換公式。其中是空間域二維向量之元素。,是變換系數(shù)陣列之元素。式中表示的陣列為二維離散余弦反變換由下式表示:

（4.47）4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)式中的符號意義同正變換式一樣。式（4.46）和式（4.47）是離散余弦變換的解析式定義。更為簡潔的定義方法是采用矩陣式定義，則一維離散余弦變換的矩陣定義式可寫成如下形式

（4.48）

同理，可得到反變換展開式（4.49）

4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)類似地，二維離散余弦變換也可以寫成矩陣式

（4.50）4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

式中是空間域數(shù)據(jù)陣列，是變換系數(shù)陣列，是系數(shù)陣列，變換矩陣是的轉(zhuǎn)置。例4.11:說明二維余弦正反變換在Matlab中的實現(xiàn)（詳細程序參見書）。4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

RGB=imread('lena2.jpg');figure(1);subplot(131);imshow(RGB);I=rgb2gray(RGB);J=dct2(I);figure(1),subplot(132);imshow(log(abs(J)),[]);%余弦變換K=idct2(J)/255;%余弦反變換figure(1),subplot(133);imshow(K);例13（a）原始圖像（b）余弦變換系數(shù)（c）余弦反變換恢復圖像圖4.13二維離散余弦變換

4.6.1離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

由圖4.13(b)可知，離散余弦變換具有很強的“能量集中”特性，能量主要集中在左角處