42分離對(duì)稱性宇稱或空間反演課件

§4.2分離對(duì)稱性，宇稱或空間反演上面討論的是連續(xù)性對(duì)稱操作，即對(duì)稱操作可由相繼無窮小對(duì)稱算符所得。量子力學(xué)中有用的對(duì)稱操作并不限于此種形式，可有分立而非連續(xù)的對(duì)稱操作，如宇稱，晶格平移和時(shí)間反演。宇稱或空間反演操作將r變?yōu)?r，而右手坐標(biāo)系變?yōu)樽笫肿鴺?biāo)系。量子力學(xué)中我們討論的常是作用于態(tài)矢而不是坐標(biāo)系的變換。對(duì)稱操作的兩種等價(jià)方式：主動(dòng)與被動(dòng)§4.2分離對(duì)稱性，宇稱或空間反演上面討論的是連續(xù)性對(duì)稱一、宇稱算符的基本性質(zhì)對(duì)|α>，用幺正算符π表示宇稱算符，|α>

π|α>。

要求位置算符的期望值變號(hào)，即則有位置本征態(tài)|x’>在宇稱作用下變?yōu)楸菊髦禐?x’的態(tài)：故由于用π作用兩次體系必恢復(fù)原狀，故π2=1π=π-1=π+，π是厄米的。對(duì)π的本征態(tài)|β>,因ππ|β>=β2|β>，知β=±1一、宇稱算符的基本性質(zhì)對(duì)|α>，用幺正算符π表示宇稱算符，|二、算符在宇稱操作下的變換由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：有或{p,π}=0.該關(guān)系與p=dx/dt的預(yù)期相同。對(duì)軌道角動(dòng)量L=xxp，可預(yù)期[L,π]=0.對(duì)一般角動(dòng)量，考慮到R(宇稱)=-I，宇稱和轉(zhuǎn)動(dòng)操作對(duì)易，故量子力學(xué)中的相應(yīng)幺正算符也對(duì)易：

πD(R)=D(R)π[π,J]=0.二、算符在宇稱操作下的變換由于先平移后反演等同于先反演后在相三、矢量和贗矢量在轉(zhuǎn)動(dòng)下x和J以相同方式變換，兩者都是矢量，或一階球張量，但x和p與π反對(duì)易，而J與對(duì)易。與宇稱反對(duì)易的矢量稱為極性矢量，而與宇稱對(duì)易的矢量叫做軸矢量或贗矢量。類似的有標(biāo)量算符（與宇稱算符對(duì)易）和贗標(biāo)量算符（與宇稱算符反對(duì)易）。L?S、x?p是標(biāo)量：π+

L?Sπ=L?S贗標(biāo)量的例子包括S?x、L?x等：三、矢量和贗矢量在轉(zhuǎn)動(dòng)下x和J以相同方式變換，兩者都是矢量，四、波函數(shù)在宇稱操作下的變換若|α>為宇稱本征態(tài)，π|α>=±|α>,則<x’|π|α>=±<x’|α>,

故有“+”對(duì)應(yīng)偶宇稱，“-”對(duì)應(yīng)奇宇稱。當(dāng)然，只有與π對(duì)易的算符之本征態(tài)才可能有確定的宇稱。如動(dòng)量算符不與π對(duì)易，其本征態(tài)即平面波并非π的本征態(tài)，而軌道角動(dòng)量的本征態(tài)則可為π的本征態(tài)：四、波函數(shù)在宇稱操作下的變換五、能量本征態(tài)與宇稱若[H,π]=0,而|n>是H的本征值為En的非簡(jiǎn)并本征態(tài)，則|n>是宇稱本征態(tài)。證：Hπ|n>=Enπ|n>,由非簡(jiǎn)并性得π|n>=eiδ|n>.作為應(yīng)用，考慮簡(jiǎn)諧振子本征態(tài)。由于基態(tài)為高斯函數(shù)，π|0>=|0>,而π|1>=πa+|0>=-|1>。類似可推得π|n>=(-)n|n>注意:非簡(jiǎn)并性對(duì)得出|n>是π的本征態(tài)是非常重要的。若有簡(jiǎn)并，如氫原子體系，Cp|2p>+Cs|2s>是H本征態(tài)，但并非π的本征態(tài)。又如動(dòng)量本征態(tài)也是自由粒子H本征態(tài)，但|p’>和|-p’>簡(jiǎn)并,|p’>并非π的本征態(tài).當(dāng)然，我們可以通過組合H的簡(jiǎn)并本征態(tài)而得到π的本征態(tài)，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的共同本征態(tài)(1+π)|n>和(1-π)|n>總是宇稱本征態(tài)五、能量本征態(tài)與宇稱若[H,π]=0,而|n>是H的本征值為六、對(duì)稱雙勢(shì)阱H與π對(duì)易，EA=H|A>>ES=H|S>，EA-ES隨勢(shì)壘增高而減少。取|R>~|S>+|A>，|L>~|S>-|A>,在π作用下|R>和|L>對(duì)調(diào).|R>和|L>不是π或H的本征態(tài)，但有相同能量期望值.|R>和|L>是非定態(tài),若t0=0處于|R>，則t時(shí)狀態(tài)為該態(tài)在|R>和|L>間震蕩，震蕩角頻率為該震蕩可看成量子力學(xué)的隧道貫穿，粒子在經(jīng)典物理禁止的區(qū)域隧穿而震蕩于兩態(tài)間。如勢(shì)壘無窮高，則EA=ES，從而ω=0，不再震蕩。注：對(duì)無窮高勢(shì)壘，|R>和|L>均是H的本征態(tài)，但非π的本征態(tài)。即H所具有的宇稱不一定反映在其本征態(tài)上，這是簡(jiǎn)并與對(duì)稱破缺的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。該現(xiàn)象在自然界相當(dāng)普遍(鐵磁、糖與氨基酸的手性等)。六、對(duì)稱雙勢(shì)阱七、宇稱選擇定則若即奇宇稱的x將相反宇稱的態(tài)相聯(lián)系。該討論可推廣到其他算符。如算符為奇宇稱，則其只有在不同宇稱的狀態(tài)間有不為零的矩陣元。偶宇稱算符則在同宇稱態(tài)間矩陣元才可能不為零。如果[H,π]=0，能量非簡(jiǎn)并態(tài)必?zé)o偶極矩：<n|x|n>=0當(dāng)然，對(duì)簡(jiǎn)并態(tài)，則<n|x|n>不一定為零。宇稱不守恒：若H與π對(duì)易，則宇稱守恒，否則宇稱不守恒?；玖Ｗ娱g的弱作用H與宇稱不對(duì)易，故過程宇稱不守恒。李楊最早發(fā)現(xiàn)弱相互作用宇稱不守恒而獲諾獎(jiǎng)。七、宇稱選擇定則若§4.3分立對(duì)稱性：晶格平移晶格平移這一分立對(duì)稱性在固體物理中有重要的應(yīng)用。對(duì)一維周期勢(shì)，τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x),a為晶格常數(shù)。[H,τ(a)]=0,τ(a)和H可同時(shí)對(duì)角化.在H和τ(a)的共同本征矢中，由于τ幺正而非厄米，τ的期待值為復(fù)數(shù)且模為1。為求出τ(a)的本征態(tài)，先考慮無限高勢(shì)壘的情形。此時(shí)電子只能局域于某格點(diǎn)附近。設(shè)相應(yīng)能量本征態(tài)為|n>,H|n>=En|n>,n表示格點(diǎn)位置,不同|n>簡(jiǎn)并。雖然|n>是H的本征態(tài),且H與τ(a)對(duì)易，|n>不是τ(a)的本征態(tài)。將不同|n>線性疊加,可得到τ(a)的本征態(tài):§4.3分立對(duì)稱性：晶格平移晶格平移這一分立對(duì)稱性在固體有限高勢(shì)壘時(shí)，|n>并不完全局域于格點(diǎn)n，而是主要集中于格點(diǎn)n而隨與n的距離而衰減。以|n>為基構(gòu)造|θ>，|θ>仍為本征值為e-iθ的本征態(tài)由于設(shè)，有取k=θ/a，則可見晶格平移算符的本征態(tài)|θ>之波函數(shù)可寫成平面波與具有晶格周期性的函數(shù)之乘：

且，k空間范圍稱為(第一)BrillouinZoneBloch定理有限高勢(shì)壘時(shí)，|n>并不完全局域于格點(diǎn)n，而是主要集中于格點(diǎn)能量本征值可見不同k=θ/a的態(tài)能量本征值不同.能量本征值能量本征值緊束縛近似:<0|H|0>=E0,原來簡(jiǎn)并的能級(jí)被消簡(jiǎn)并，形成能量范圍為E0-2Δ到E0+2Δ的能帶。非緊束縛：能帶概念相似，形狀復(fù)雜些多電子、多原子晶胞：不同能帶原則上可交叉能量本征值緊束縛近似:<0|H|0>=E0,§4.4時(shí)間反演分立對(duì)稱性一、牛頓力學(xué)的時(shí)間反演變換經(jīng)典力學(xué)情形：一受保守力場(chǎng)作用的粒子其軌跡如圖若x(t)是牛頓方程的解，令t’=-t,有x(-t)也是牛頓方程的解(時(shí)間反演:x

x,dx/dt-dx/dt)可見時(shí)間反演應(yīng)更確切地稱為運(yùn)動(dòng)反演或運(yùn)動(dòng)的倒轉(zhuǎn)?！?.4時(shí)間反演分立對(duì)稱性一、牛頓力學(xué)的時(shí)間反演變換二、電動(dòng)力學(xué)的時(shí)間反演變換Maxwell方程：Lorentz力：對(duì)t

-t變換,若則Maxwell方程和Lorentz力形式不變。即若上述討論表明，經(jīng)典物理中的時(shí)間變換為：t

-t，x

x,v-v(p-p),ρ

ρ,EE,

j-j,B-B二、電動(dòng)力學(xué)的時(shí)間反演變換Maxwell方程：三、薛定諤方程的時(shí)間反演變換對(duì)薛定諤方程，，作時(shí)間反演：可見Ψ(x,-t)與Ψ(x,t)滿足不同的方程對(duì)上式取復(fù)共軛，得：可見對(duì)解Ψ(x,t)

，有相應(yīng)解Ψ*(x,-t)因Ψ(x)=<x|α>，時(shí)間反演波函數(shù)由<x|α>*給出三、薛定諤方程的時(shí)間反演變換對(duì)薛定諤方程，四、反幺正算符若一對(duì)稱操作使，從前遇到的情況為內(nèi)積不變，相應(yīng)對(duì)稱操作以幺正算符表征對(duì)時(shí)間反演,波函數(shù)變?yōu)閺?fù)共軛,應(yīng)有定義：對(duì)變換,如果稱θ為反幺正算符后一式所定義的算符稱為反線性算符。四、反幺正算符若一對(duì)稱操作使一般而言，反幺正算符可寫成θ=UK，U為幺正算符，K為復(fù)共軛算符。K對(duì)右矢的疊加系數(shù)作用，即

若|α>不是基矢,可展開為以|a’>為基矢的矢量:K的作用效果依賴于基矢的選?。ㄒ蚨鳸也必與基矢的選取有關(guān)）θ是反幺正的說明：

θ是反線性的

θ是反幺正的一般而言，反幺正算符可寫成θ=UK，U為幺正算符，K為復(fù)共軛五、時(shí)間反演算符Θ時(shí)間反演態(tài)（運(yùn)動(dòng)反演態(tài)）：

Θ

|α>如由上面討論知,動(dòng)量本征態(tài)|p>的時(shí)間反演態(tài):Θ|p>=|-p>時(shí)間反演算符的基本性質(zhì)假設(shè)態(tài)矢具有時(shí)間反演對(duì)稱性：

得：-iHΘ=ΘiH，Θ應(yīng)為反幺正算符

HΘ=ΘH五、時(shí)間反演算符Θ時(shí)間反演態(tài)（運(yùn)動(dòng)反演態(tài)）：Θ|α>六、時(shí)間反演算符Θ的運(yùn)算僅考慮Θ從左邊作用于右矢，和利用

及左右矢的對(duì)偶對(duì)應(yīng)關(guān)系重要等式：這是因?yàn)閷?duì)有故六、時(shí)間反演算符Θ的運(yùn)算僅考慮Θ從左邊作用于右矢，和利用對(duì)厄米算符A，有若ΘAΘ-1=±A，稱A在時(shí)間反演下具有偶(奇)對(duì)稱由此，可得A在時(shí)間反演態(tài)的期望值：由，知ΘpΘ-1=-p類似地,ΘxΘ-1=x,

Θ|x’>=|x’>從可知ΘJΘ-1=-J七、厄米算符的時(shí)間反演對(duì)稱性對(duì)厄米算符A，有七、厄米算符的時(shí)間反演對(duì)稱性八、波函數(shù)的變化由知：對(duì)球諧函數(shù)：可見：定理：若H在時(shí)間反演下不變，且能量本征態(tài)非簡(jiǎn)并，則相應(yīng)波函數(shù)是實(shí)的。證:HΘ|n>=ΘH|n>=EnΘ|n>,Θ|n>與|n>相同,故<x’|n>=<x’|n>*注意：時(shí)間反演態(tài)的動(dòng)量空間波函數(shù)為Φ*(-p)八、波函數(shù)的變化由九、自旋1/2體系的時(shí)間反演因

(時(shí)間反演的效果)得由于有所以：對(duì)無自旋體系Θ2=1兩者很不相同！九、自旋1/2體系的時(shí)間反演因十、一般角動(dòng)量體系的時(shí)間反演由,得而故對(duì)任意|α>:此外：一般地可有：需要指出：最方便的相位約定依所處理的物理問題而定，但Θ2=±1與相位約定無關(guān)。十、一般角動(dòng)量體系的時(shí)間反演由十一、球張量的時(shí)間反演性質(zhì)對(duì)若A是的分量，由于Wigner-Eckart定理只要考慮q=0的分量即可。對(duì)厄米球張量，其時(shí)間反演奇偶性由q=0