2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量與垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（

）A． B． C．4 D．10【答案】A【分析】由向量垂直，數(shù)量積等于直接應(yīng)用空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式即可.【詳解】向量與垂直，解得故選：2．書(shū)架上有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本不同的物理書(shū)，圖書(shū)管理員從中任取2本，則不同的取法種數(shù)為（

）A．7 B．12 C．21 D．42【答案】C【分析】根據(jù)分類(lèi)加法原理以及組合數(shù)的概念，可得答案.【詳解】由題可知不同的取法的種數(shù)為.故選：C.3．口袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機(jī)變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由超幾何分布的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，.故選：B4．某中學(xué)通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的形式統(tǒng)計(jì)了該校1000名學(xué)生完成作業(yè)所需的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）近似地服從正態(tài)分布.則這1000名學(xué)生中每天完成作業(yè)所需的時(shí)間不少于1.5小時(shí)的人數(shù)大約為（

）附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.A．23 B．46 C．158 D．317【答案】A【分析】求出，可得，則，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)閷W(xué)生每天完成作業(yè)所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）近似地服從正態(tài)分布，所以，因?yàn)?，則，所以，則，所以這1000名學(xué)生中每天完成作業(yè)所需的時(shí)間不少于1.5小時(shí)的人數(shù)大約為：（人），故選：A.5．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．6 B．10 C．24 D．35【答案】B【分析】分四個(gè)因式中有一個(gè)因式選常數(shù)相乘時(shí)，則剩余三個(gè)因式都選x相乘求解.【詳解】解：當(dāng)選1相乘時(shí)，都選x相乘，此時(shí)的項(xiàng)的系數(shù)為1；當(dāng)選2相乘時(shí)，都選x相乘，此時(shí)的項(xiàng)的系數(shù)為2；當(dāng)選3相乘時(shí)，都選x相乘，此時(shí)的項(xiàng)的系數(shù)為3；當(dāng)選4相乘時(shí)，都選x相乘，此時(shí)的項(xiàng)的系數(shù)為4；綜上：的項(xiàng)的系數(shù)為1+2+3+4=10.故選：B6．已知x，y的取值如下表所示，從散點(diǎn)圖分析可知y與x線(xiàn)性相關(guān)，如果線(xiàn)性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．m的值為6.2B．回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（2，4.4）C．樣本點(diǎn)（4，m）處的殘差為0.1D．將此圖表中的點(diǎn)（2，4.4）去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r不變【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義及樣本中心在經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程上，利用殘差的定義及樣本相關(guān)系數(shù)的公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以樣本中心為，將點(diǎn)代入，可得，解得，故A正確；由，得樣本中心為，所以回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（2，4.4），故B正確；當(dāng)時(shí)，，由，得樣本點(diǎn)處的殘差為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闃颖局行臑?，所以由相關(guān)系數(shù)公式知，，將此圖表中的點(diǎn)（2，4.4）去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故D正確；故選：C.7．已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)M.則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】以為基底表示，利用平方的方法求得.【詳解】依題意可知是的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D

8．在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機(jī)變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，則對(duì)，都有.某市去年的人均年收入為10萬(wàn)元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過(guò)100萬(wàn)元”為事件A，其概率為.則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記該市去年人均收入為萬(wàn)元，從該市任意選取3名市民，年收入超過(guò)100萬(wàn)元的人數(shù)為,設(shè)從該市任選1名市民，年收入超過(guò)100萬(wàn)元的概率為，根據(jù)馬爾可夫不等式可得，再根據(jù)二項(xiàng)分布求得，令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求得最大值.【詳解】記該市去年人均收入為萬(wàn)元，從該市任意選取3名市民，年收入超過(guò)100萬(wàn)元的人數(shù)為.設(shè)從該市任選1名市民，年收入超過(guò)100萬(wàn)元的概率為，則根據(jù)馬爾可夫不等式可得，，因?yàn)?，所以，令，則，，即，在上單調(diào)遞增.，即.故選：B二、多選題9．隨機(jī)變量X服從以下概率分布：X123Pab若，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，以及均值的計(jì)算公式，建立方程組，可得參數(shù)的值，根據(jù)均值的性質(zhì)以及方差的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意，，則；，則.由方程組，解得.，.故選：AD.10．關(guān)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的有（

）A．含的項(xiàng)的系數(shù)為B．二項(xiàng)式系數(shù)和為32C．常數(shù)項(xiàng)為10D．只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】BC【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A(yíng)，令，得，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以B正確，對(duì)于C，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式共有6項(xiàng)，所以第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，所以D錯(cuò)誤，故選：BC11．下列說(shuō)法正確的有（

）A．若隨機(jī)變量X～0－1分布，則方差B．正態(tài)密度曲線(xiàn)在曲線(xiàn)下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1C．若兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則其相關(guān)系數(shù)越接近于1D．若，，，則事件A與B相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】對(duì)于，根據(jù)兩點(diǎn)分布的方差公式，再利用基本不等式即可；對(duì)于，由正態(tài)密度曲線(xiàn)在曲線(xiàn)下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為概率，即可判定；對(duì)于，當(dāng)兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于可判定錯(cuò)誤；對(duì)于根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，結(jié)合概率計(jì)算，即可判定正確.【詳解】對(duì)于，因?yàn)殡S機(jī)變量X～0－1分布，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以正確；對(duì)于，因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線(xiàn)在曲線(xiàn)下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積就是概率，全區(qū)域概率為，所以面積為，故正確；對(duì)于,當(dāng)兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)性越強(qiáng)，其相關(guān)系數(shù)越接近于，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，則事件A與B相互獨(dú)立，故正確.故選：12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，和都與平面垂直，，點(diǎn)P在棱DE上，則下列說(shuō)法正確的有（

）

A．四面體外接球的表面積為B．四面體外接球的球心到直線(xiàn)AE的距離為C．當(dāng)點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，列方程確定四面體外接球球心的坐標(biāo)和半徑，再求球的表面積判斷A，利用向量方法求球心到直線(xiàn)AE的距離判斷B，求平面的法向量，利用向量方法求點(diǎn)到平面的距離判斷C，求平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值判斷D.【詳解】因?yàn)榕c平面垂直，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)四面體外接球的球心的坐標(biāo)為，則，所以，化簡(jiǎn)可得，所以，所以球心的坐標(biāo)為，所以球的半徑，所以四面體外接球的表面積，A正確；直線(xiàn)的方向向量，又，所以向量在向量上的投影向量的模的大小為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，B錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，取,則，所以為平面的一個(gè)法向量，若點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，C正確；設(shè)，，則，又，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，所以，所以，設(shè)，，則，，所以，由基本不等式可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為棱的靠近點(diǎn)的三分點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大，最大值為，D正確；故選：ACD.

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有四面體的外接球，球的表面積，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線(xiàn)與平面的夾角，考查直觀(guān)想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的核心素養(yǎng).三、填空題13．計(jì)算：.（用數(shù)字作答）【答案】35【分析】利用組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：3514．設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，則的一個(gè)可能的值為.【答案】（答案不唯一，在內(nèi)均可）【分析】先求出的范圍，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)锳，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，當(dāng)事件A，B為互斥事件時(shí)，，當(dāng)事件B包含事件A時(shí)，，即，所以，所以的一個(gè)可能的值為（答案不唯一，在內(nèi)均可）.故答案為：（答案不唯一，在內(nèi)均可）15．在棱長(zhǎng)為6的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，，，則直線(xiàn)AM與CN夾角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，連接，取上的三等分點(diǎn)，使得，連接，，即可得到直線(xiàn)AM與CN夾角為，再結(jié)合余弦定理，即可得到結(jié)果.【詳解】

由題意，連接，取上的三等分點(diǎn)，使得，連接，，因?yàn)?，則，所以直線(xiàn)AM與CN夾角為，因?yàn)樗拿骟w的棱長(zhǎng)為，則,，且，在中，由余弦定理可得，，則，又因?yàn)?，則，且，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得?故答案為：.四、雙空題16．一質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)出發(fā)，每次只能向右或向上運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，且每次運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，質(zhì)點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的概率為.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5次后，所在位置對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（3，2）的概率為，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2023次后，最有可能運(yùn)動(dòng)到的位置對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，以及組合數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可得答案.【詳解】由運(yùn)動(dòng)次后，所在位置對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，則運(yùn)動(dòng)中有次向右，次向上，由題意可得：其概率；設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)次，所在位置對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則其概率，令，，解得，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.故答案為：；.五、解答題17．設(shè).(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理即可求解；（2）利用賦值法即可求解.【詳解】（1）依題意得，，，∴（2）令，得，令，得，∵，∴.18．某市舉辦大型車(chē)展，為了解該市人民對(duì)此次大型車(chē)展的關(guān)注情況，在該市隨機(jī)地抽取男性和女性各100人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男性5050100女性3070100合計(jì)80120200(1)能否有99%的把握認(rèn)為男性和女性對(duì)此次大型車(chē)展的關(guān)注程度有明顯差差異？(2)有3位市民去參觀(guān)此次大型車(chē)展，假設(shè)每人去新能源汽車(chē)展區(qū)的概率均為，且相互獨(dú)立.設(shè)這3位市民參觀(guān)新能源汽車(chē)展區(qū)的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)利用公式求解，再根據(jù)臨界值表進(jìn)行判斷即可，（2）由題意知的可能取值為：0，1，2，3，而，所以利用二項(xiàng)分布的概率公式求出各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）提出假設(shè)：男性和女性對(duì)此次大型車(chē)展的關(guān)注程度沒(méi)有明顯差異.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：，因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，，這里的，所以我們有99%的把握認(rèn)為男性和女性對(duì)此次大型車(chē)展的關(guān)注程度有明顯差異.（2）由題意知的可能取值為：0，1，2，3.因?yàn)?，所以，其?，1，2，3，故的概率分布表為：0123P所以，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為1.19．某校舉行勞動(dòng)技術(shù)比賽，該校高二（1）班的班主任從本班的5名男選手和4名女選手中隨機(jī)地選出男、女選手各2名參加本次勞動(dòng)技術(shù)比賽中的團(tuán)體賽，并排好團(tuán)體賽選手的出場(chǎng)順序.在下列情形中各有多少種不同的安排方法？(1)男選手甲必須參加，且第4位出場(chǎng)；(2)男選手甲和女選手乙都參加，且出場(chǎng)的順序不相鄰；(3)男選手甲和女選手乙至少有一人參加.【答案】(1)144(2)144(3)1008【分析】根據(jù)先選后排的原則，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場(chǎng)順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.（2）完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場(chǎng)順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.（3）完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，“有男選手甲且無(wú)女選手乙”的選法種數(shù)為；“無(wú)男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；“有男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；第二步，排好出場(chǎng)順序，有種排法，所以，共有種不同的安排方法.20．設(shè)甲袋中有個(gè)白球和個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和m（，）個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥我馊〕?個(gè)球，已知從乙袋中取出的是兩個(gè)紅球的概率為.(1)求的值；(2)在從乙袋中取出的兩球是一個(gè)紅球和一個(gè)白球的條件下，求從甲袋中取出的是兩個(gè)紅球的概率.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)從乙袋中取出的是兩個(gè)紅球的概率列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（2）先求得“從乙袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”的概率、求得“從甲袋中取出2個(gè)紅球”且“從乙袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”的概率，根據(jù)條件概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】（1）記事件：從甲袋中取出2個(gè)紅球，事件：從甲袋中取出2個(gè)白球，事件：從甲袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球，事件：從乙袋中取出2個(gè)紅球，事件：從乙袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球.因?yàn)?，所以，所以（?fù)舍），故的值為2.（2），，.所以在從乙袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球的條件下，從甲袋中取出兩個(gè)紅球的概率為.21．如圖，在直三棱柱中，，，D為AC的中點(diǎn).請(qǐng)從條件①、②、③中選擇合適的兩個(gè)作為已知，并解答下面的問(wèn)題：

(1)求二面角所成角的正弦值；(2)點(diǎn)P是矩形（包含邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，且，求CP與平面所成角的正弦值的取值范圍.條件①：平面的面積為；條件②：；條件③：點(diǎn)到平面的距離為.【答案】(1)(2)【分析】首先以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.若選①②，通過(guò)條件①②，的長(zhǎng)度，進(jìn)一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式計(jì)算即可；若選①③，通過(guò)條件①③，的長(zhǎng)度，進(jìn)一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式計(jì)算即可；若選②③，通過(guò)條件②③，的長(zhǎng)度，進(jìn)一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式計(jì)算即可；解法一：根據(jù)條件確定點(diǎn)的軌跡，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用條件可建立坐標(biāo)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，近一步利用向量求出線(xiàn)面的正弦值，利用函數(shù)關(guān)系可求出范圍；解法二：利用三個(gè)向量共面，建立三個(gè)向量之間的線(xiàn)性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)后，可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用條件可建立坐標(biāo)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，近一步利用向量求出線(xiàn)面的正弦值，利用函數(shù)關(guān)系可求出范圍.【詳解】（1）因?yàn)橹比庵?，所以平面ABC，又CA，平面ABC，所以，，又.以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，（，），則，，，，，.

選①②因?yàn)橹比庵?，平面平面且平面平面又，平?又平面，.則又由①得平面的面積為，由②得，解得，.所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,，取，則，設(shè)二面角所成角的平面角為，所以，因?yàn)?，所以，所以二面角所成角的正弦值?選①③因?yàn)橹比庵?，平面平面且平面平面又，平?又平面，.又由①得平面的面積為，由①③得，即，解得，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,，取，則設(shè)二面角所成角的平面角為，所以因?yàn)?，所以，所以二面角所成角的正弦值?選②③，由②得，由②③得，即，解得，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,，取，則設(shè)二面角所成角的平面角為，所以，因?yàn)?，所以，所以二面角所成角的正弦值?（2）解法一：取AB中點(diǎn)Q，連接PQ，CQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以?/p>

所以