冪函數(shù)與圖像變換

重點難點重點：①冪函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)．②函數(shù)圖象三種基本變換規(guī)則．難點：①冪函數(shù)圖象的位置和形狀變化與指數(shù)的關(guān)系．②利用基本變換規(guī)則作函數(shù)圖象一般冪函數(shù)圖象的形狀特征及其分布．對于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，當(dāng)α＝1時，y＝x的圖象是直線；當(dāng)α＝0時，y＝x0＝1(x≠0)的圖象是直線(不包括(0,1)點)．其它一般情況的圖象如下表：3.性質(zhì)：(1)當(dāng)α>0時，冪函數(shù)圖象都過

點和

點；且在第一象限都是

函數(shù)；當(dāng)0<α<1時曲線上凸；當(dāng)α>1時，曲線下凸；α＝1時，為過(0,0)點和(1,1)點的

(2)當(dāng)α<0時，冪函數(shù)圖象總經(jīng)過

點，且在第一象限為

函數(shù)．(3)α＝0時y＝x0，表示過(1,1)點平行于x軸的直線(除去(0,1)點)．(0,0)(1,1)增直線．(1,1)減二、函數(shù)的圖象與圖象變換1．畫圖描點法①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、值域)；④列對應(yīng)值表(尤其注意特殊點，如最大值、最小值、與坐標軸的交點)；⑤描點，連線．圖象變換法(1)平移變換①左右平移：y＝f(x－a)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個單位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的圖象，可由y＝f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位而得到．(2)對稱變換①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱．③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．④y＝f－1(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．2．識圖繪圖、識圖是學(xué)習(xí)函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)的一項重要基本功．識圖要首先把握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性或圖象的對稱特征、周期性、與坐標軸的交點，另外有無漸近線，正、負值區(qū)間等都是識圖的重要方面，要注意函數(shù)解析式中含參數(shù)時．怎樣由圖象提供信息來確定這些參數(shù)．3．用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．4．圖象對稱性的證明(1)證明函數(shù)圖象的對稱性，即證明其圖象上的任意一點關(guān)于對稱中心(或?qū)ΨQ軸)的對稱點仍在圖象上．(2)證明曲線C1與C2的對稱性，即要證明C1上任一點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點在C2上，反之亦然．5．有關(guān)結(jié)論若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對稱圖形．誤區(qū)警示1．對于函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)一定要區(qū)分開來，前者將y＝f(x)位于x軸下方的圖象翻折到x軸上方，后者將y＝f(x)圖象在y軸左側(cè)圖象去掉作右側(cè)關(guān)于y軸的對稱圖，后者是偶函數(shù)而前者y≥0.比如y＝|sinx|與y＝sin|x|.2．由函數(shù)y＝f(x)的圖象變換成y＝g(x)的圖象，變換順序為①→②時，由y＝g(x)的圖象變換成y＝f(x)的圖象則是相反的變換且順序也相反，即②→①.3．在研究冪函數(shù)y＝xα的圖象、性質(zhì)時，應(yīng)考慮α的三種情況：α>0，α＝0和α<0.一、數(shù)形結(jié)合的思想函數(shù)的圖象可以形象地反映函數(shù)的性質(zhì)．通過觀察圖形可以確定圖象的變化趨勢、對稱性、分布情況等．?dāng)?shù)形結(jié)合借助于圖象與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)．其本質(zhì)是：函數(shù)圖象的性質(zhì)反映了函數(shù)關(guān)系；函數(shù)關(guān)系決定了函數(shù)圖象的性質(zhì)．二、圖形變換方法作圖是學(xué)習(xí)和研究函數(shù)的基本功之一．變換法作圖是應(yīng)用基本函數(shù)的圖象，通過平移、伸縮、對稱等變換，作出相關(guān)函數(shù)的圖象．應(yīng)用變換法作圖，要求我們熟記基本函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，準確把握基本函數(shù)的圖象特征．答案：B冪函數(shù)y＝

(m∈Z)的圖象如右圖所示，則m的值為 ()A．－1<m<3 B．0C．1 D．2解析：∵y＝xm2－2m－3在第一象限為減函數(shù)∴m2－2m－3<0即－1<m<3又m∈Z

∴m的可能值為0,1,2.代入函數(shù)解析式知，當(dāng)m＝1時，為偶函數(shù)，∴選C.答案：C已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－6m＋5(m∈Z)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則f(x)的解析式為________．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴m2－6m＋5<0，∴1<m<5.∵m∈Z，∴m＝2或3或4.∵f(x)是奇函數(shù)，∴m2－6m＋5應(yīng)為奇數(shù)．當(dāng)m＝2或4時，m2－6m＋5＝－3是奇數(shù)；當(dāng)m＝3時，m2－6m＋5＝－4不是奇數(shù)；∴m＝2或4，f(x)＝x－3.答案：f(x)＝x－3(3)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖(3)．(4)先作出y＝2x的圖象，保留x≥0部分，再關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng)＝2|x|圖象，然后右移一個單位，即得y＝2|x－1|的圖象．已知P為圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(原點O除外)，直線OP的傾斜角為θ弧度，記d＝|OP|.在圖中的坐標系中，畫出以(θ，d)為坐標的點的軌跡大致圖形．解析：依題意，設(shè)圓與y軸的另一交點為D，則D(0,2)．從而|OP|＝|OD|·sinθ，∴d＝2sinθ(θ∈(0，π))．其圖象為正弦曲線一段．故作簡圖如右圖．[例2]設(shè)函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖(1)所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象為()分析：由原函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)的圖象時，首先要抓住圖象上的極值點，以確定導(dǎo)函數(shù)的零點，其次要依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)的正負值區(qū)間，再綜合作出判斷．解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象研究可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)．由y＝f(x)圖象知y＝f(x)有一個極大值點和一個極小值點，設(shè)為x1、x2且x1<x2則f′(x)＝0有二根x1，x2，則當(dāng)x<0時，y＝f(x)遞減，則f′(x)<0，排除A、C當(dāng)0<x<x1時，y＝f(x)遞增，則f′(x)>0當(dāng)x1<x<x2時，y＝f(x)遞減，則f′(x)<0，排除B.故選D.答案：D(文)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()解析：由圖可知，當(dāng)b>x>a時，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)為增函數(shù)．且曲線上每一點處切線的斜率先增大再減小，故選D.答案：D(理)已知函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是 ()解析：解法1：由已知圖象知函數(shù)g′(x)為增函數(shù)，f′(x)為減函數(shù)且都在x軸上方，∴g(x)的圖象上任一點的切線的斜率在增大，而f(x)的圖象上任一點的切線的斜率在減小，排除A、C；又f′(x0)＝g′(x0)，排除B，故選D.解法2：f′(x)表示函數(shù)f(x)在點x處的切線的斜率，x<x0時，f′(x)>g′(x)，∴f(x)的切線斜率大于g(x)的切線斜率．同樣當(dāng)x>x0時，f(x)的切線斜率小于g(x)的切線斜率，在點x0處，兩切線斜率相等，∴選D.答案：D點評：利用導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的圖象時，要抓住導(dǎo)函數(shù)值為正，則原函數(shù)單調(diào)增，反之單調(diào)減；導(dǎo)函數(shù)遞增，則原函數(shù)圖象上相應(yīng)點處切線斜率在增大，反之在減小，若兩函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)值相等則在該點處兩曲線的切線斜率相等.答案：A(文)若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]時，f(x)＝|x|.則函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log4|x|的圖象的交點個數(shù)為()A．3B．4C．6D．8解析：本題考查周期函數(shù)圖象與偶函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象．在同一直角坐標系中于y軸右側(cè)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝log4|x|的圖象，如圖所示，得3個交點；再由兩個函數(shù)都是偶函數(shù)可知在y軸左側(cè)也有3個交點，故兩個函數(shù)的圖象共有6個交點，所以選C.答案：C答案：