導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用

1（1）f(x)=x3+3x（2）f(x)=sinx-x，x?(0,p)（3）f(x)=x-1x 5.3-4f(x)sinxxx?(0,pf(xsinxx在(0,p5.3-4（2）f(x)=11x?(-￥0)¨(0,+￥x(x)

>0f(x=11在區(qū)間(-￥0)和(0,+￥5.3-4（3）x2f￠(x)x=1x4f￠x)=0f(x圖象的大致形)x<1x4f￠x0f(x在區(qū)間(-￥,1)和(4,+￥上都單調(diào)遞)點”．綜上，函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示．調(diào)遞減，在(0,+￥)上單調(diào)遞增.f￠x2x20x>1f￠x2x20xf(x在(1,+￥上單調(diào)遞增，在(-￥,1)單調(diào)遞減f(x在(0,+￥上單調(diào)遞增，在(-￥0)單調(diào)遞減f(xax2bxcf(x的單調(diào)區(qū)間即可f￠x2axb(a0)f￠x0xb 當(dāng)a0f￠(xx<-

當(dāng)a<0時，f￠(x)單調(diào)遞減，則x<- a0f(x在(-￥,b(

a<

f(x

))axbf(xxbf(x的左右導(dǎo)數(shù)不相等，故此處不可導(dǎo)例 求函數(shù)f(x)=1x3-1x2-2x+1的單調(diào)區(qū)間 fx)1x31x22x+1的定義域為Rf(x x2f＋0—0＋ff(-1)=6f =-f(x在(-￥-1)和(2,+￥上單調(diào)遞增，在(-1,2)5.3-6所4x0f(xlnxg(x)=115.3-8xf(x)g(x的圖象與C1C2f(xlnxg(x)=11xf￠(x)=1，g￠(x)=1 x=1f￠x)g￠x)=1；g)f(xg(x在(0,+￥上都是增函數(shù)．在區(qū)間(0,1g(xf的圖象要“陡峭”；在區(qū)間(1,+￥g(xf(x的圖象要“平緩”．f(x)g(x的圖象依次是圖5.3-8中的C2C1．ff

=x3-x2-x)（2）f(x的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-￥1和(1,+￥ 【詳解】(1)fx3xx3f(x3-3x23(1x)(1x，f'(x)=0x=1x1，f(x的單調(diào)遞減區(qū)間為(-￥-1)和(1,+￥，單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1);(2)f(xx3x2xf(x3x22x-1(x-1)(3x+1)，f'(x)=0x=1x1，3f(x的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)3)單調(diào)遞增區(qū)間為(-￥1和(1,+￥)3f(x2x36x27在區(qū)間(02,x?(0,2)f￠x)6x2-12x0，對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，即可畫出yf(x)圖象的大致形狀．)))axbf(xbxcf(xcxdf(xdxef(x5f(x1x34x43f(x1x34x43f￠(x)=x2-4=(x+2)(x-2)x2fx2f＋0—0＋f3-3f(-2)=283x2f(x4f(2)=-3f(x1x34x45.3-123fx=3x-

54，極大值為（4）f(12.1f￠x0xxx 1 + f-0+f↘-↗

f(x6x2x2的極小值為49，無極大值x-3+￥f+0-0+f↗↘-↗（3）fx6+12xx3Rf￠(x123x2x-22+￥f-0+0-f↘-↗↘（4）fx3xx3Rf￠(x3-3x2x(-￥，-11+￥f-0+0-f↘-↗2↘6f(x1x34x40,3350,3x2f(x1x34x434f(2)=-3f(0)=4，f(3)=1f(x1x34x40,34，最小值是4 f(x1x34x40,3上的圖象（5.3-16）3 f(x)=6+12x-x，?-3 20（2）] 可得f(x)的最小值為f )=6 --2=- f(-3)=-27+81=54，f3=27-81=-54f4=64-108=-44，f(-4)=-64+108=44 （3）f(x6+12xx，?3,3f￠(x=123xf(2=6+24-8=22，f3=6+36-27=15，f(-1)=6-4+1=55 f(xf(22f318．f(xx-1lnx(x0)f(xx?(0,+￥上單調(diào)性并f(xx-1lnx(x0)f￠(x=11，f￠(1=110 f(xf(1)=1-1-ln10x-1lnx0x?(0,+￥x-1lnxx?(0+￥得證.7f(x(x+1)exf(xf(xf(xf(xa(a?R數(shù)．解：（1）x?R．+)ex=ex+(x=(x+2)exxfxf—0＋f-f(x在區(qū)間(-￥-2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,+￥上單調(diào)遞增．x2f(x)f(-2)1．x1f(x0x1f(x0f(xA-2,1B(-1,0)C(0,1) e2 f(x)=x+1fi0（3）fxa(a?Ryf(xya的交點個f(x)a(a?R的解的個數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)a<-10個；當(dāng)a當(dāng)a

或a018某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8pr2制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm． 2y=f(r)=0.2·3pr3-0.8pr2=0.8p -

，0<r?6得r2．當(dāng)r?(0,2)f￠(r0；當(dāng)r?(2,6)f￠(r0因此，當(dāng)半徑r2f￠(r0f(r徑r<2f￠(r0f(r半徑為6cm半徑為2cm時，利潤最小，這時f(2)0，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子即可證明sinxx，進(jìn)而畫出yxysinx的圖象.f(xx?(0,pf(x)f(0)0xsinx0x?(0,p上恒成立，則sinxxx?(0,p得證如圖，用鐵絲圍成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為am2．為使所4

-pr4 時r的值即可

pr22所以矩形的寬為2r，設(shè)矩形的長為h，則矩形的面積為2rhpr22rha，即hap， = (2+p)r=f(r

+(2p)rf(ra+(2prf(rr44

+(2+p)=2

r 所以函數(shù)f(r)在(0, )上單調(diào)遞減，在( 所以當(dāng)即r= 時，函數(shù)f(r)取得最小值.即圓的半徑r （1）f(x=-2x+11 （2）f(x=x+cosx，x?(0,p)fx=2x- （4）f(x=2x3+f￠x=1-sinx>0，x?p

2 x?(0上單調(diào)遞增，即單增區(qū)間為(0 f￠x20x?R上單調(diào)遞增，即單增區(qū)間為(-￥+￥，無單減f（3）f

=x2+2x-=3x+

f（4）f

=2x2-3x+=x3+x2-x【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為(-￥-1)，單調(diào)增區(qū)間為(-1,+￥單調(diào)減區(qū)間為(-￥3，單調(diào)增區(qū)間為(3+￥ 單調(diào)增區(qū)間為(-￥-1)和(1+￥，單調(diào)減區(qū)間為(-11, （3（4）所以拋物線的對稱軸為x1，f(x)2x2-3x3，所以拋物線的對稱軸為x=3，4 (x)=0x1x13f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-￥-1)和

+￥，單調(diào)減區(qū)間為(11, 速度為0.f(xf(x（2）（3）（4）x?(-￥x3f￠x0f(xx?(x3x5，f￠x0f(xx?(x5+￥f￠x0f(x單增；則函數(shù)f(xx3處取極大值；（1）f

=6x2+x+

（2）f(x=x3-12xf

f

=48x-（極小值-10；（4）-128，極大值128.∴x<-

)f(xf(147，無極大值 )x2f￠x)0f(x)單調(diào)遞增；f(xf(-2)=16f(2)16))x2f￠x)0f(x)單調(diào)遞增；f(xf(-2)22f(2)10)))增；x4f￠x)0f(x單調(diào)遞減；f(xf(-4128f(4)=128（1）f（2）f

=6x2+x+2，x?-=x3-12x，x?-3, f(x=6-12x+x，?-3f(x=48x-x3，x?-3,

f(xf(x在區(qū)間內(nèi)的最值

)

f(xx?1,1f(16·(1)2+(1247 f(-1)=7，f(1)=9f(xx?1,1上最大值為947)2x￡3f￠x)0f(x)單調(diào)遞增；f(xx?3,3f(-2)=16f(2)16f(-3)=9，f(3)=-9f(xx?3,3上最大值為16，最小值為-163f(xx

--

f(1

) )

)f(xx?3,5f(4)=128f(-3117，f(5=115f(xx?-3,5上最大值為128，最小值為-1172

l-+，利用導(dǎo)數(shù)求它的最小值，進(jìn)而確定S l

∴兩個正方形的面積和Sl

+(4-

2x-

=4x-2∴x

S￠=08 故當(dāng)0x

<x

∴當(dāng)2將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，做成一2a6所以方盒的容積V(a2x)2x(0xa；2V'(x)=-4(a-2x)x+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x)=0(0<x<a26 1n1，2，3，…，nnx=ain1 nnf(x=(xain

1 1nf(x=(xain

xainn1 1 f￠x=2(xai2(x-ai n1n則當(dāng)x 1 1 x? () 1 1nf(x=(xain

x=ai時，取得最小值nn【詳解】先求出利 關(guān) 的函數(shù)關(guān)系式LpqC(251q)q-1004q1q221q-100,q?(0,200),q=84 38y(1bx·40%)c(xac(5b4x)(xac[-4x2(4a5b)x5ab 8

5

88（1）ex>1+x，x?0（2）lnx<x<ex，x>0可證ex