七年級數(shù)學(xué)上冊專題03 絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊重難題型全歸納及技巧提升專項精練（人教版）（解析版）

/專題03絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達到事半功倍的效果。題型1.兩個絕對值的和的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時無法確定當(dāng)時的值為定值，即為當(dāng)無法確定結(jié)論：式子在時，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點直觀地表示實數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點，分別表示數(shù)，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數(shù)軸上表示實數(shù)與實數(shù)3兩點之間的距離．則當(dāng)有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意將可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據(jù)解答即可得到答案.【解析】方法一：代數(shù)法（借助零點分類討論）當(dāng)x<-2時，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；當(dāng)時，=（x+2）+（5-x）=7；當(dāng)x>5時，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值為7，此時，故選：D.方法二：幾何法（根據(jù)絕對值的幾何意義）可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和，通過數(shù)軸分析反現(xiàn)當(dāng)時，有最小值，最小值為7?！军c睛】此題考查依據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡絕對值，正確理解題意，得到表示的意義，再利用分類思想解答問題.變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負(fù)整數(shù)是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和絕對值可以解答本題；（2）分別討論當(dāng)x＞2時，當(dāng)﹣5≤x≤2時，當(dāng)x＜﹣5時去絕對值進行求解即可；（3）同（2）利用分類討論的思想進行求解即可．【詳解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案為：7；（2）當(dāng)x＞2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2與x＞2矛盾，故此種情況不存在；當(dāng)﹣5≤x≤2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2時，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整數(shù)是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；當(dāng)x＜﹣5時，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5與x＜﹣5矛盾，故此種情況不存在．故答案為：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：當(dāng)x＞6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；當(dāng)3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；當(dāng)x＜3時，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點和絕對值，利用數(shù)軸和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)七年級期末）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如：從“形”的角度看：可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點之間的距離；可以理解為數(shù)軸上表示3與﹣1的兩點之間的距離．從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-（-3）．根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和9的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是；（直接寫出最終結(jié)果）(2)①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和﹣2的兩點之間的距離是4，則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動點表示的數(shù)，則式子的最小值為．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離求解即可；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式列絕對值方程，然后解方程即可；②由于所給式子表示x到－1和3的距離之和，當(dāng)x在－1和3之間時和最小，故只需求出－1和3的距離即可．(1)解：數(shù)軸上表示3和9的兩點之間的距離是｜9－3｜=6，數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是｜2－（－5）｜=7，故答案為：6，7；(2)解：①根據(jù)題意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案為：－6或2；②∵表示x到－1和3的距離之和，∴當(dāng)x在－1和3之間時距離和最小，最小值為｜－1－3｜=4，故答案為：4．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點之間距離，會靈活運用數(shù)軸上兩點之間的距離解決問題是解答的關(guān)鍵．變式2.（2022?思明區(qū)校級期末）同學(xué)們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數(shù)值可以進行分段計算，令x+5＝0或x﹣2＝0時，分為3段進行計算，最后確定x的值．（3）根據(jù)（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案為：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0時，則x＝﹣5或x＝2當(dāng)x＜﹣5時，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范圍內(nèi)不成立）當(dāng)﹣5＜x＜2時，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1當(dāng)x＞2時，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范圍內(nèi)不成立）∴綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3．【點評】本題主要考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運用，難度較大，去絕對值的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負(fù)性．題型2.兩個絕對值的差的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時的值為定值，即為—當(dāng)時當(dāng)?shù)闹禐槎ㄖ担礊榻Y(jié)論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級開學(xué)考試）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)x≥1時；當(dāng)-2＜x＜1時；當(dāng)x≤-2時；進行討論可求代數(shù)式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當(dāng)x≥1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當(dāng)﹣2＜x＜1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當(dāng)x≤﹣2時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運用．變式1．（2022·上海七年級期中）代數(shù)式，當(dāng)時，可化簡為______；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

3

-9【分析】當(dāng)時，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對值的性質(zhì)即可化簡，分別化簡當(dāng)時以及當(dāng)x＞1時，根據(jù)當(dāng)時，，求出a，b即可．【詳解】解：當(dāng)時，x-1＜0，x+2＜0，∴，當(dāng)時，，當(dāng)x＞1時，∵當(dāng)時，，∴代數(shù)式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點睛】本題主要考查了絕對值的化簡，解題的關(guān)鍵是對x進行分類討論，再化簡代數(shù)式．例2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據(jù)-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當(dāng)﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當(dāng)0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為__，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據(jù)題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當(dāng)x≤-1時，②當(dāng)-1≤x≤1時，③當(dāng)x≥1時，分別化簡絕對值，再計算整式的值即可得到答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律，依次進行計算即可．【詳解】（1）由題意得到：數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當(dāng)x≤-1時，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當(dāng)-1≤x≤1時，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當(dāng)x≥1時，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點睛】此題考查有理數(shù)的計算，絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點間的距離公式．題型3.多個絕對值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點在數(shù)，的點的中間；②當(dāng)有三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點與數(shù)的點重合；③當(dāng)有（奇數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間數(shù)，即當(dāng)時，取得最小值為；④當(dāng)有（偶數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當(dāng)時，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數(shù)軸上某點到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據(jù)某點在a、b兩點之間時，該點到a、b的距離和最小，當(dāng)點x在2與2018之間時，到2和2018距離和最?。划?dāng)點在4與2016之間時，到4和2016距離和最小；…，所以當(dāng)x=1010之間時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據(jù)此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據(jù)絕對值得幾何意義分析，知當(dāng)x=1010時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點睛】此題主要考查了絕對值的幾何意義：|x|表示數(shù)軸上表示x的點到原點之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：|x-a|表示數(shù)軸上表示x的點到表示a的點之間的距離．變式1．（2022?武侯區(qū)校級月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時x的取值為．解：原式可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一個點到1，2，3，…，2014對應(yīng)的點的距離和最小，故當(dāng)1007≤x≤1008時，距離和最小，可取x＝1007，則此時距離和為：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值為1014049；當(dāng)x＝1008時，最小值也為1014049，故1007≤x≤1008．例2.（2022·北京市第四十四中學(xué)七年級期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數(shù)減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．例如：當(dāng)a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當(dāng)a＝2，b＝－5時，＝＝7；當(dāng)a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數(shù)a和－2的兩點間距離是6，則a＝；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于－4和3之間，則＝（3）代數(shù)式的最小值是．（4）如圖，若點A，B，C，D在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結(jié)果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根據(jù)題意可得：，解出即可求解；（2）根據(jù)題意可得：，從而得到，進而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根據(jù)題意可得：當(dāng)a＝2時，代數(shù)式存在最小值，化簡即可求解；（4）根據(jù)題意可得：原式表示對應(yīng)點到對應(yīng)的點的距離之和，從而得到當(dāng)時，有最小值，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，∴或，解得：或-8；（2）∵表示數(shù)a的點位于－4和3之間，∴，∴，∴＝a＋4，＝3－a，∴＝a＋4＋3－a＝7；（3）當(dāng)a＝2時，代數(shù)式存在最小值，∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根據(jù)題意得：，∴原式表示對應(yīng)點到對應(yīng)的點的距離之和，如圖所示，∴當(dāng)時，有最小值，∴原式．【點睛】本題主要考查了絕對值得幾何意義，數(shù)軸上兩點間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022?龍泉驛區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點的距離．進一步地，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|(zhì)x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：【分析】運用數(shù)形結(jié)合思想：圖一圖二圖三圖四【解答】解：（1）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣4的距離等于到2的距離．圖形語言：答案：x＝﹣1．（2）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到3的距離比到原點（0）的距離大2．圖形語言：答案：x=12（3）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1的距離和它到3的距離大于4．圖形語言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1，2，3，4，5距離之和最小值．圖形語言：答案：6．【點評】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求解問題．課后專項訓(xùn)練：1．（2022·全國·七年級）若表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點之間的距離，當(dāng)x取任意有理數(shù)時，代數(shù)式的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點之間的距離，可知當(dāng)x處于2和6中間時，|x-6|+|x-2|取得最小值，即為數(shù)軸上2和6之間的距離．【詳解】解：∵|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點之間的距離，∴|x-6|+|x-2|表示數(shù)軸上數(shù)x與6和數(shù)x與2對應(yīng)的點之間的距離之和，∴當(dāng)2≤x≤6時，代數(shù)式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值為|6-2|=4，故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的兩點之間的距離，明確|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對應(yīng)的點之間的距離是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級期中）最小值為

______．【答案】5【分析】先分區(qū)間確定零點，x+2=0和x-3=0，分三種情況，和分別化去絕對值符號，合并化簡，根據(jù)x的范圍確定每個區(qū)間中絕對值式子的值的范圍即可確定最小值．【詳解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2與x=3，當(dāng)時，，∵，∴，當(dāng)時，，當(dāng)，，的最小值為5．故答案為：5．【點睛】本題考查利用絕對值化簡求最小值問題，掌握絕對值化簡得技巧，會根據(jù)絕對值的個數(shù)分區(qū)間化去絕對值符號是解題關(guān)鍵．3．（2022·陜西·西安交大陽光中學(xué)七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料:我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)a對應(yīng)的點與原點的距離.數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離，這個結(jié)論可以推廣為:|a-b|均表示在數(shù)軸上數(shù)a與b對應(yīng)點之間的距離，例:已知|a-1|=2，求a的值.解:在數(shù)軸上與1的距離為2點的對應(yīng)數(shù)為3和-1，即a的值為3和-1.仿照閱讀材料的解法，解決下列問題(1)已知，求a的值.(2)若數(shù)軸上表示a的點在-4與2之間，則|a+4|+|a-2|的值為___(3)當(dāng)a滿足什么條件時，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是多少?【答案】(1)；(2)，【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)-2之間的距離等于4即可求得答案；(2)根據(jù)題意，可知當(dāng)﹣4≤a≤2時，|a+4|+|a-2|的值為6；(3)根據(jù)線段上的點與線段兩端點的距離的和最小，可得到答案.【詳解】(1)，得到或a=2；(2)根據(jù)題意，|a+4|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)-4的點之間的距離，|a-2|表示數(shù)a的點與表示數(shù)2的點之間的距離，因為﹣4≤a≤2，畫圖可知∴|a+4|+|a-2|＝6；(3)時，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是【點睛】本題考查了數(shù)a的絕對值的意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.4．（2021·貴州六盤水·七年級階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，根據(jù)絕對值的幾何意義，|4﹣（﹣2）|表示4與﹣2的差的絕對值，實際上也可理解為4與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離：同理|x﹣3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之問的距離，試探索：（1）|4﹣（﹣2）|＝；（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并說明理由．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【答案】（1）6；（2）符合條件的整數(shù)x為-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由見解析【分析】（1）可先算出4與-2的差，然后再求出差的絕對值即可；（2）設(shè)-2、4、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，則有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在點A的左邊、X在AB之間、X在點A的右邊三種情況討論，就可解決問題；（3）設(shè)3、6、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鑒（2）中的經(jīng)驗可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，當(dāng)X在A、B之間時取等號．【詳解】解：（1），故答案為：6；（2）設(shè)-2、4、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，則|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．①X在點A的左邊時，BX+AX=AX+AB+AX=2AX+6=6，∴AX=0與X在點A的左邊矛盾，不符合題意②當(dāng)X在點A、B之間時，BX+AX=AB=6與AB=6相符，∴此時X表示的整數(shù)可以為-2、-1、0、1、2、3、4；∴整數(shù)x的值可以為-2、-1、0、1、2、3、4；③X在點B的右邊時，BX+AX=AB+BX+BX=6+2BX=6，∴BX=0，與X在點B的右邊矛盾，不符合題意綜上所述：符合條件的整數(shù)x為-2、-1、0、1、2、3、4；（3）對于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值為3．設(shè)3、6、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．由（2）同理可知，當(dāng)X在點A的左邊時，BX+AX=AX+AB+AX=2AX+3，當(dāng)X在點A、B之間時，BX+AX=AB=6，當(dāng)X在點B的右邊時，BX+AX=AB+BX+BX=6+2BX，∴AX+BX≥AB，∴|x-3|+|x-6|≥3，當(dāng)X在A、B之間時取等號．∴|x-3|+|x-6|有最小值3．【點睛】本題考查的是絕對值的概念、幾何意義、數(shù)軸等知識，在解決問題的過程中用到了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是解決本題的關(guān)鍵．5．（2021·北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)七年級期中）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝______．（2）若成立，則x＝_________．（3）請你寫出的最小值為________．并確定相應(yīng)的x的取值范圍是______．【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2【分析】（1）根據(jù)5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離為7得到答案；（2）根據(jù)題意可得方程x-3=±2，再解即可；（3）分情況討論，去絕對值化簡，從而確定x的最小值．【詳解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，故答案為：7；（2）∵|x-3|=2成立，∴x-3=±2，∴x=5或1，故答案為：5或1；（3）當(dāng)x＜1時，原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；當(dāng)1≤x≤2時，原式=x-1-x+2=1；當(dāng)x＞2時，原式=x-1+x-2=2x-3＞1，∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，故答案為：3，1≤x≤2．【點睛】本題主要考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法，難度較大，去絕對值的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負(fù)性．6．（2022·山東·濟南七年級期中）唐代文學(xué)家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無”，當(dāng)代印度詩人泰戈爾也寫道：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚”．距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．已知點，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，，兩點之間的距離表示為．例如，在數(shù)軸上，有理數(shù)3與1對應(yīng)的兩點之間的距離為；有理數(shù)5與對應(yīng)的兩點之間的距離為；有理數(shù)與對應(yīng)的兩點之間的距離為；…解決問題：（1）數(shù)軸上有理數(shù)與3對應(yīng)的兩點之間的距離等于_________；數(shù)軸上有理數(shù)與對應(yīng)的兩點之間的距離用含的式子表示為________；若數(shù)軸上有理數(shù)與1對應(yīng)的兩點、之間的距離，求的值；聯(lián)系拓廣：（2）如圖，點表示的數(shù)為4，點表示的數(shù)為，為數(shù)軸上的動點，動點表示的數(shù)為．①若點在點、兩點之間，則______；若，則點表示的數(shù)為______；由此可得：當(dāng)取最小值時，求整數(shù)的所有取值的和；②當(dāng)點到點的距離等于點到點的距離的2倍時，求的值．【答案】（1），，或；（2），或，；（3）或【分析】（1）理解題意，根據(jù)距離的概念求解即可；（2）①根據(jù)點的位置分情況討論，利用距離求解即可，對進行討論，求出的取值，然后求解即可；②設(shè)點表示的數(shù)為，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：（1）數(shù)軸上有理數(shù)與3對應(yīng)的兩點之間的距離為，數(shù)軸上有理數(shù)與對應(yīng)的兩點之間的距離用含的式子表示為若數(shù)軸上有理數(shù)與1對應(yīng)的兩點、之間的距離，則即或解得或故答案為，，或（2）設(shè)點表示數(shù)為，則，①若點在點、兩點之間，則，，若，即當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得即點表示數(shù)為或當(dāng)取最小值時，可得在和之間（包含端點），所以又∵為整數(shù)∴的取值為整數(shù)的所有取值的和為故答案為，或，②由題意可得：，即可得：或解得或故答案為或【點睛】此題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，涉及了數(shù)軸上的動點，數(shù)軸上兩點之間的距離以及絕對值方程，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的基本知識，理解數(shù)軸上兩點之間的距離．7．（2022·重慶市銅梁區(qū)關(guān)濺初級中學(xué)校七年級期末）數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)－5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：（將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置，不寫過程）（1）若，則_______，若，則_______；（2）若，則x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，則x能取到的最大值是_______；（4）關(guān)于x的式子的取值范圍是_______．【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3【分析】（1）根據(jù)絕對值表示的意義和中點計算方法得出答案；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義，得到x的取值范圍，進而得到最大值和最小值；（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意義，確定x的取值范圍，進而求出最大值；（4）根據(jù)|x-2|+|x+1|的意義，求出|x-2|+|x+1|的最小值為3，從而確定取值范圍．【詳解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示數(shù)軸上表示x的點到表示2和-2的距離相等，因此到2和-2距離相等的點表示的數(shù)為，|x-3|=|x+1|表示數(shù)軸上表示x的點到表示3和-1的距離相等，因此到3和-1距離相等的點表示的數(shù)為=1，故答案為：0，1；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示3和-1兩點的距離之和為4，可得-1≤x≤3，因此x的最大值為3，最小值為-1；故答案為：-1，3；（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)3的點距離比它到表示-1的點的距離大4，根據(jù)數(shù)軸直觀可得，x≤-1，即x的最大值為-1，故答案為：-1；（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示2和-1兩點的距離之和，由數(shù)軸直觀可得，|x-2|+|x+1|最小值為3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案為：大于或等于3．【點睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解絕對值的意義和兩點距離的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．8．（2022·云南·昆明七年級期中）閱讀下面材料并解決有關(guān)問題，我們知道：，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得，，稱，分別為與的零點值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值，，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況：①；②；③從而化簡代數(shù)式時可分以下種情況：①當(dāng)時，原式；②當(dāng)時，原式；③當(dāng)時，原式；綜上所述：原式，通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）當(dāng)時，______．（2）化簡代數(shù)式：（3）直接寫出的最大值______．【答案】（1）；（2）原式；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義可得結(jié)論；（2）零點值x=2和x=4可將全體實數(shù)分為不重復(fù)不遺漏的如下三種情況：、、分該三種情況找出的值；（3）分、、分別化簡，結(jié)合x的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而求出代數(shù)式的最大值．【詳解】解：（1）當(dāng)時，．故答案為：（2）化簡代數(shù)式：分為以下三種情況討論：當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；綜上所述：原式（3）的最大值：當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式，，當(dāng)時，原式，則的最大值為．【點睛】本題考查了含絕對值的代數(shù)式化簡問題，注意讀懂題目的解答，以及分類思想的運用．9．（2022·全國·七年級）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b．A、B兩點之間的距離表示為|AB|．則數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時，符合條件的整數(shù)x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，問當(dāng)x取何值時，y最小，最小值為多少？請求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2時，y最小，最小值為4【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離的求解列式計算即可得解；（2）根據(jù)兩點之間的距離表示列式并計算即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的意義解答；（4）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的意義解答．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是：；（2）∵A，B分別表示的數(shù)為x，﹣1，∴數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，則|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時，﹣1≤x≤2，∴符合條件的整數(shù)x有﹣1，0，1，2；（4）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值時，x＝2，∴當(dāng)x＝2時，y最小，即最小值為：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．故x＝2時，y最小，最小值為4．【點睛】本題考查數(shù)軸與絕對值，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2021·福建·泉州七中七年級期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”．?dāng)?shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如，式子的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與-1所對應(yīng)的點之間的距離．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）若，則；的最小值是．（2）若，則的值為；若，則的值為．（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接寫出這個最小值及此時的取值情況；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值為17，此時【分析】（1）對于直接根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行求解即可；設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，則表示的意義即為數(shù)軸上一點P到A的距離和到B的距離之和，然后分別討論P在AB之間，P在A點左側(cè)和P在B點右側(cè)的取值即可得到答案；（2）設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，由（1）可知當(dāng)P在AB之間（包含A、B）時，，當(dāng)P在A點左側(cè)時，當(dāng)P在B點右側(cè)時，由此可以確定此時P點在A點左側(cè)或在B點右側(cè)，由此進行求解即可；分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案；（3）分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴或；設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，∴表示的意義即為數(shù)軸上一點P到A的距離和到B的距離之和，如圖所示，當(dāng)P在AB之間（包含A、B）時，；當(dāng)P在A點左側(cè)時；同理當(dāng)P在B點右側(cè)時；∴的最小值為5，故答案為：5或-1；5；（2）設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，由（1）可知當(dāng)當(dāng)P在AB之間（包含A、B）時，，當(dāng)P在A點左側(cè)時，當(dāng)P在B點右側(cè)時∵，∴當(dāng)P在A點左側(cè)時即，∴；同理當(dāng)P在B點右側(cè)時即，∴；∴當(dāng)時，或4；當(dāng)時，∵，∴，解得符合題意；當(dāng)時，∵，∴，解得符合題意；當(dāng)時∵，∴，解得不符合題意；當(dāng)時∵，∴，解得不符合題意；∴綜上所述，當(dāng)，或；故答案為：或4；或；（3）當(dāng)時，∴，當(dāng)時，∴，當(dāng)時∴，當(dāng)時∴，∴此時∴綜上所述，的最小值為17，此時．【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，絕對值方程，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握絕對值的幾何意義．11．（2021·廣東·西關(guān)外國語學(xué)校七年級期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是________，表示和2兩點之間的距離是________．（2）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點之間的距離是3，那么________．（3）若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與2之間，則的值為________；（4）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，這些點表示的數(shù)的和是．（5）當(dāng)________時，的值最小，最小值是________．【答案】（1）3，5；（2）2或-4；（3）6；（4）12；（5）1；7【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離等于兩點所表示數(shù)的絕對值進行解答即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離等于兩點所表示數(shù)的絕對值得到，解得即可；（3）先根據(jù)表示數(shù)的點位于與2之間可知，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)把原式去掉絕對值符號求出a的值即可；（4）根據(jù)線段上的點到線段兩端點的距離的和最小，可得答案．（5）根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【詳解】解：（1）由數(shù)軸上兩點之間的距離公式可知：數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示和2兩點之間的距離是；故答案為：3，5；（2）若表示數(shù)和的兩點之間的距離是3，則，解得或，故答案為：2或；（3）∵，∴；故答案為：6；（4）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴使得的所有整數(shù)為：，，0，1，2，3，4，5，∵，故答案為：12；（5）當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，由上可得，當(dāng)時，的值最小，最小值是7，故答案為：1，7．【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值等知識點，明確題意，利用數(shù)軸的特點和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022?綿陽市校級月考）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離，一般地，點A、點B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么點A、點B之間的距離可表示為|a﹣b|．（1）點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，那么點A到點B的距離與點A到點C的距離之和可表示為（用含絕對值的式子表示）；（2）利用數(shù)軸探究：①找出滿足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是．②設(shè)|x﹣3|+|x+1|＝p，當(dāng)x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時，P的值是不變的，此時P取最小值是；|x|+|x﹣2|最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值為，此時x的值為．解：（1）點A到點B的距離：|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；點A到點C的距離：|x﹣1|；∴距離之和為：|x+2|+|x﹣1|；故答案為：|x+2|+|x﹣1|．（2）①|(zhì)x﹣3|+|x+1|＝6表示x到3和到﹣1的距離之和為6；∵3和﹣1之間的距離為4，故x一定不在3和﹣1之間，∴當(dāng)x＜﹣1時，x﹣3＜0，x+1＜0，∴|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+[﹣（x+1）]＝﹣2x+2，∴﹣2x+2＝6，解得x＝﹣2，當(dāng)x＞3時，x﹣3＞0，x+1＞0，∴|x﹣3|+|x+1|＝（x﹣3）+（x+1）＝2x﹣2，∴2x﹣2＝6，解得x＝4，綜上所述，x＝﹣2或4．故答案為：﹣2或4．②|x﹣3|+|x+1|＝p，當(dāng)﹣1≤x≤3時，∴x﹣3＜0，x+1＞0，|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+（x+1）＝4，∴p取最小值為4，即3到﹣1之間的距離．故答案為：4．∵|x|+|x﹣2|＝|x﹣0|+|x﹣2|，∴|x|+|x﹣2|的最小值即0到2之間的距離．故答案為：2．（3）由前面規(guī)律可知，當(dāng)|x﹣3|+|x+1|取最小值時，x在3和﹣1之間；∴當(dāng)x＝2時，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|有最小值，即最小值為4，此時x＝2．故答案為：4，2．13．（2022·河南南陽·七年級期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（

）A．10 B．11 C．17 D．21【答案】C【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意義，得出當(dāng)-1≤x≤3時，這個距離之和最小，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的特點進行計算即可．【詳解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點，到表示數(shù)﹣8，﹣1，3，5的點的距離之和，由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當(dāng)﹣1≤x≤3時，這個距離之和最小，最小值為|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故選：C．【點睛】本題考查絕對值，理解絕對值的定義，掌握數(shù)軸上兩點距離的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．14．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）利用數(shù)軸解決下面的問題：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是；（3）當(dāng)式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍或值是，最小值是．【答案】（1）3；（2）2；（3）1010，1019090【分析】（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距離之和與到2的距離之和最小，那么x應(yīng)在﹣1和2之間的線段上；（2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x為中間點時有最小值，依此即可求解；（3）找到中間點即可求得最小值．【詳解】（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2；（3）當(dāng)式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍或值是：=1010，最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090．故答案為：3；2；1010，1019090．【點睛】本題考查了數(shù)軸，涉及的知識點為：數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值．絕對值是正數(shù)的數(shù)有2個．找到中間點即可求得最小值．15．（2021·福建省仙游縣楓亭職業(yè)學(xué)校七年級期中）閱讀理解；我們知道，若A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，A、B兩點間的距離表示為AB，則．所以的幾何意義是數(shù)軸上表示X的點與表示2的點之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）若點A表示－2，點B表示3，則AB＝．（2）若，則的值是．（3）如果數(shù)軸上表示數(shù)的點位于－4和2之間，求的值；（4）點取何值時，取最小值，最小值是多少？請說明理由；（5）直接回答：當(dāng)式子取最小值時，相應(yīng)的取值范圍是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）當(dāng)時，最小值為；（5）當(dāng)時，最小值為【分析】（1）根據(jù)題目中的方法確定出的長即可；（2）原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡即可求出的值；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的求法，化簡即可；（4）根據(jù)線段中點到各點的距離的和最小，可得答案；（5）根據(jù)線段中點到各點的距離的和最小，可得答案．【詳解】解：（1），則；（2）∵，∴，故或，故答案為：或；（3）∵數(shù)軸上表示數(shù)的點位于－4和2之間，∴；（4）∵，代表點到和到之間的距離之和，當(dāng)時，取得最小值，最小值為；（5）當(dāng)時，有最小值，最小值為====20．【點睛】本題考查了絕對值，數(shù)軸兩點間的距離，利用了兩點間的距離公式，注意線段上的點與線段兩端點的距離的和最?。?6．（2022·四川·安岳縣李家初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）我們知道，|a|表示數(shù)a到原點的距離，這是絕對值的幾何義．進一步地，數(shù)軸上兩個點A、B，分別用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，為什么？)，利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示1和－3的兩點之間的距離是_______；（2）數(shù)軸上表示x和－1的兩點A、B之間的距離是_______，如果|AB|=2，那么x的值為_______；（3）當(dāng)x取何值時，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的值最小，并求出這個最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值為6【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離的求法列式計算即可得解；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義列式計算即可得解；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意義，從而分析出x=3時，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．【詳解】解：（1）表示2和5的兩點之間的距離是|2-5|=3，表示-2和-5的兩點之間的距離是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的兩點之間的距離是|1-（-3）|=4；（2）表示x和-1的兩點A、B之間的距離是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到數(shù)軸上1，2，3，4，5五個數(shù)的距離之和，∴當(dāng)x與3重合時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值為6，此時x=3．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上兩點間的距離公式的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．解題時注意：數(shù)軸上任意兩點分別表示的數(shù)是a、b，則這兩點間的距離可表示為|a-b|．17．（2022·全國·七年級期中）唐代著名文學(xué)家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無．”當(dāng)代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠(yuǎn)的距離》中寫道：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚．”距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．已知P、Q在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)p、q，P、Q兩點的距離表示為．閱讀上述材料，回答下列問題：（1）若數(shù)軸上表示x與3的兩點之間的距離是4，則___________．（2）當(dāng)x的取值范圍是多少時，代數(shù)式有最小值，最小值是多少？（3）若未知數(shù)x，y滿足，求代數(shù)式的最大值，最小值分別是多少？【答案】（1）或7；（2），5；（3）最大8，最小值1【分析】（1）由距離的表示方法得出，求解即可；（2）根據(jù)若代數(shù)式有最小值，表示在數(shù)軸上找一點x，使其到與3的距離之和最小，據(jù)此求解；（3）由（2）分別求出與有最小值時x，y的取值范圍，進而求解．【詳解】解：（1）由題意知，，解得或，故答案為：或7；（2）若代數(shù)式有最小值，表示在數(shù)軸上找一點x，使其到與3的距離之和最小，顯然這個點x在與3之間（包括與3），所以x的取值范圍是，且最小值為5，故答案為：，5；（3）∵，由（2）知的最小值為2，其有最小值的取值范圍為，的最小值為3，其有最小值的取值范圍為，∴的最大值為，最小值為，即的最大值為8，最小值為1．【點睛】本題考查數(shù)軸，絕對值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．專題2.絕對值化簡問題絕對值化簡分為已知范圍的絕對值化簡與無范圍的絕對值化簡兩類，屬于重點題型，考卷中會經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯，屬于必掌握類型。希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題。題型1.已知范圍的絕對值化簡【解題技巧】已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；兩數(shù)相減：大的數(shù)-小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右-左＞0；小的數(shù)-大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左-右＜0.兩數(shù)相加：正數(shù)＋正數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對值較大數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點遠(yuǎn)的符號.②將絕對值符號改為小括號：若正數(shù)，絕對值前的正負(fù)號不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對值前的正負(fù)號改變（即相反數(shù)）.③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內(nèi)不變；括號前是“－”，去括號，括號內(nèi)各項要變號.④化簡.例1.（2022·湖南長沙·七年級期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定每個數(shù)的屬性，每個代數(shù)式的屬性，后化簡即可．【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點的位置得：，且，則，，，則．故選A．【點睛】本題考查數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較與絕對值的化簡，掌握獲取數(shù)軸信息，熟練化簡是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·河南周口·七年級期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【分析】先根據(jù)數(shù)軸求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉絕對值，然后根據(jù)分式的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式．故選：D．【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡、數(shù)軸和去絕對值的計算，解題的關(guān)鍵是注意去掉絕對值后，要保證得數(shù)是非負(fù)數(shù)．例2.（2021·長郡集團郡維學(xué)校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定【答案】C【解析】，所以，，中有一個正數(shù)，二個負(fù)數(shù)．不妨設(shè)，，，則．故選．點睛：本題考查有理數(shù)的除法，利用得出a、b、c有一個正數(shù)，二個負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期中）、、是有理數(shù)且，則的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1【答案】D【分析】根據(jù)，則這三個數(shù)中一定有一個或三個數(shù)為負(fù)數(shù)兩種情況進行討論，得出結(jié)果即可．【詳解】∵，∴ｘ、y、z這三個數(shù)中有一個或三個數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)這三個數(shù)中有一個負(fù)數(shù)時，假設(shè)，，，則；當(dāng)這三個數(shù)中有三個負(fù)數(shù)時，假設(shè)，，，則；故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了絕對值的意義，正確進行分類討論是解題的關(guān)鍵．題型2.未知范圍的絕對值化簡【解題技巧】絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負(fù)性，即。例1.（2022?新都區(qū)校級月考）已知x為有理數(shù)，且|x﹣3|＝2x+3，則x的值為．解：|x﹣3|＝2x+3，∴2x+3≥0，∴x≥﹣∴x﹣3＝2x+3或x﹣3＝﹣（2x+3）∴x﹣2x＝3+3或x﹣3＝﹣2x﹣3﹣∴x＝6或x+2x＝﹣3+3∴x＝﹣6（舍去）；或3x＝0∴x＝0．變式1．（2022·河北·七年級期中）若a、b、c是有理數(shù)，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b異號，b，c同號，求a﹣b﹣（﹣c）的值．解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，∴a＝±3，b＝±10，c＝±5，∵a，b異號，b，c同號，∴a＝3，b＝﹣10，c＝﹣5或a＝﹣3，b＝10，c＝5，∴a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝8或﹣8．變式2．（2021·江蘇·九年級）已知，求．【答案】1-x【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，要化簡絕對值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三種情況進行分析．【詳解】解：①當(dāng)x≤0時，|1-x|=1-x，1+|x|=1-x，滿足題意；②當(dāng)0＜x＜1時，|1-x|=1-x，1+|x|=1+x，不滿足題意；③當(dāng)x≥1時，|1-x|=x-1，1+|x|=1+x，不滿足題意．綜上可得：x≤0，故|x-1|=1-x．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，注意要分情況討論，再去絕對值化簡．例2.（2022·福建福州·七年級期末）閱讀材料：我們把絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據(jù)絕對值的意義進一步解決問題．解：根據(jù)絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=(2)x=-2或x=0【分析】先去絕對值轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解．(1)解：根據(jù)絕對值的意義得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=；(2)由絕對值的意義得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．【點睛】本題考查含絕對值的一元一次方程的解法，理解絕對值的意義是求解本題的關(guān)鍵．變式3．（2022·湖北咸寧·七年級期末）閱讀下列材料，回答問題：“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)中一種重要的思想．例如：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，數(shù)軸上任意兩點，A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，則A，B兩點的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識應(yīng)用】我們解方程時，可用把看作一個點x到5的距離，則該方程可看作在數(shù)軸上找一點P（P表示的數(shù)為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為___（直接寫答案，不離過程）．(2)【知識拓展】我們在解方，可以設(shè)A表示數(shù)5，B表示數(shù)，P表示數(shù)x，該方程可以看作在數(shù)軸上找一點P使得，因為，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是．類似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應(yīng)用】解方程【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或【分析】（1）將方程的解看作在數(shù)軸上找一點P與的距離為2，進而可得方程的解；（2）類比題干中的求解方法，進行求解即可；（3）由題意知，設(shè)P點表示的數(shù)為x，分類討論：①若P點在A，B之間，表示出的值，然后列方程求解；②若P點在A點的左邊，表示出的值，然后列方程求解；③若點P在B點的右邊，表示出的值，然后列方程求解．(1)解：方程的解，可以看作在數(shù)軸上找一點P與的距離為2∴或故答案為：或．(2)解：由題意知，設(shè)A表示數(shù)，B表示數(shù)6，P表示數(shù)x，∴該方程可以看作在數(shù)軸上找一點P使得，∵，∴P在線段AB上都可，∴該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是故答案為：不唯一；．(3)解：由題意知，設(shè)P點表示的數(shù)為x，分類討論：①若P點在A，B之間則（不合題意，舍去）②若P點在A點的左邊則∴③若點P在B點的右邊∴綜上所述：原方程的解為或．【點睛】本題考查了絕對值的意義，數(shù)軸上點的距離．解題的關(guān)鍵在于明確絕對值的意義．課后專項訓(xùn)練：1．（2022?肇源縣期末）當(dāng)2≤x＜5時，化簡：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為．解：∵2≤x＜5，∴4≤2x＜10，0≤x﹣2．∴2x﹣10＜0，|x﹣2|＝x﹣2．∴|2x﹣10|＝10﹣2x．∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|＝10﹣2x﹣（x﹣2）＝10﹣2x﹣x+2＝12﹣3x．2．（2022·陜西寶雞·七年級期末）已知、兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡代數(shù)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)軸可知b<-1<1<a<2，且，得到a+b>0，b+1<0，化簡絕對值再合并即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<-1<1<a<2，且，∴a+b>0，b+1<0，∴=a+b-b-1=a-1，故選：A．【點睛】此題考查了利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，判斷式子的正負(fù)，化簡絕對值，正確理解數(shù)軸上數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河南周口·七年級期中）是有理數(shù)，它在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．則________．【答案】14【分析】由數(shù)軸可知-6<x<0，則x-7<0，x+7>0，再去掉絕對值，可解．【詳解】由數(shù)軸可知-6<x<0，則x-7<0，x+7>0，∴|x-7|+|x+7|=7-x+x+7=14故答案為14．【點睛】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值的有關(guān)內(nèi)容，在去掉絕對值的時候，要特別細(xì)心．4．（2022·四川廣元·七年級期末）已知有理數(shù)，則化簡的結(jié)果是_______．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件判斷每個絕對值里邊的代數(shù)式的值是大于0還是小于0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，最后去括號，合并同類項即可．【詳解】∵a<-1，∴a+1<0，1-a>0，∴=(-a-1)+(1-a)=-a-1+1-a=-2a，故答案為：-2a．【點睛】本題考查了絕對值和相反數(shù)的性質(zhì)，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值還是0，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川眉山·七年級期末）已知，有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如下圖所示，化簡：．【答案】-2b【分析】根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，?2＜c＜?1，即可得c＋b＜0，a?c＞0，b?a＜0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行計算即可得出答案．【詳解】解：由圖可知，∵3＜a＜4，0＜b＜1，?2＜c＜?1，∴c＋b＜0，a?c＞0，b?a＜0，∴|c＋b|?|a?c|＋|b?a|＝?（c＋b）?（a?c）＋[?（b?a）]＝?c?b?a＋c?b＋a＝?2b．【點睛】本題主要考查數(shù)軸的應(yīng)用及絕對值的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)軸的應(yīng)用及絕對值的性質(zhì)進行計算是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·云南昭通·七年級期末）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上A，B兩點之間的距離可以用符號表示，可以利用有理數(shù)減法和絕對值計算A，B兩點之間的距離．若點A，B分別用數(shù)a，b表示，則當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．發(fā)現(xiàn)點A，B之間的距離（也可以表示為）．請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和7兩點之間的距離是______；(2)如果數(shù)軸上表示a和1兩點間的距離是7，那么______；(3)如果數(shù)軸上表示的數(shù)a的取值范圍為，求的值．【答案】(1)9(2)或8(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，求出兩個數(shù)的差的絕對值即可；（2）由題意得出方程，即可得出答案；（3）先去掉絕對值號，然后進行計算即可得解.(1)解：根據(jù)題意，；故答案為：9；(2)解：由題意得：，解得：或；故答案為：或8；(3)解：∵，∴，，∴.【點睛】本題考查了絕對值，數(shù)軸，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩個數(shù)之間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵．7．（2021·山東·夏津縣萬隆實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）數(shù)軸上從左到右的三個點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)分別為．其中AB=2020，BC=1000，如圖所示．（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應(yīng)的數(shù)，并計算的值．

（2）若原點O在A，B兩點之間，求的值．

（3）若O是原點，且OB=20，求的值．【答案】（1）?1020；（2）3020；（3）?3000或?3040【分析】（1）數(shù)軸上原點左側(cè)的數(shù)為負(fù)數(shù)，原點右側(cè)的數(shù)為正數(shù)，可表示出A、C所對應(yīng)的數(shù)；（2）原點O在A，B兩點之間，|a|＋|b|＝AB，|b?c|＝BC，進而求出結(jié)果；（3）若原點O在點B的左邊；若原點O在點B的左邊；分兩種情況討論可求a＋b?c的值．【詳解】解：（1）∵點B為原點，AB＝2020，BC＝1000，∴點A表示的數(shù)為a＝?2020，點C表示的數(shù)是c＝1000，∴a＋b＋c＝?2020＋0＋1000＝?1020；（2）∵原點在A，B兩點之間，∴|a|＋|b|＋|b?c|＝AB＋BC＝2020＋1000＝3020．答：|a|＋|b|＋|b?c|的值為3020；（3）若原點O在點B的左邊，則點

A，B，C所對應(yīng)數(shù)分別是a＝?2000，b＝20，c＝1020，則a＋b?c＝?2000＋17?1017＝?3000；若原點O在點B的右邊，則點A，B，C所對應(yīng)數(shù)分別是a＝?2040，b＝?20，c＝980，則a＋b?c＝?2040?20?980＝?3040，∴的值為：?3000或?3040．【點睛】本題考查了數(shù)軸與絕對值的意義，理解絕對值的意義是解決問題的前提，用數(shù)軸表示則更容易解決問題．8．（2022·重慶一中七年級期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的點如圖所示，則化簡______．【答案】4a-b【分析】根據(jù)數(shù)軸可以判斷a、b、c的正負(fù)和它們的絕對值的大小，從而可以化簡題目中的式子．【詳解】解：由數(shù)軸可得，a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|＝b+c﹣2（