泛函分析泛第1章

RealvariableanalysisandFunctionalE-MAILtanmj@Office:8233465611距離空間定義定義1設(shè)R表示一個(gè)非空集合，若其中任意兩元素x、y，都按一定的規(guī)則與一個(gè)實(shí)數(shù)ρ(x,y)相對(duì)應(yīng),且ρ(x,y)滿足以下三公理1）ρ(x,y)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立 (非負(fù)性 ρ(xyρ(y ρ(xzρ(xyρ(y 則稱則稱ρ(xy)為x與y間的距離R為距離空間記為(R根據(jù)定義，在距離空間根據(jù)定義，在距離空間R中，任意兩點(diǎn)之間都有一個(gè)確定的 ρ(x,y)=|x-氏距離。于是R1按式（1.1）構(gòu)成一距離空間。|xyρ1(x,1|xy.|xz|1|xz| |xy| |yz| 1|xy||yz 1|xy||yz|xy||yz| =ρ(x,y)+1|xy 1|yz 設(shè)Rn為n維實(shí)向量全體所構(gòu)成的空間，在其中可定義

(x y)21/ (1.1)規(guī)定的距離、在Rn中用式(1.3)規(guī)定的距離，稱為歐氏距 用C[a,b]表示定義在[a,b]上所有連續(xù)函數(shù)的全體，對(duì)于任意x(t)，y(t)∈C[a,b]，可定義距離:(x,y)max|x(t)y(t)ata

dt aa

|x(t)

y(t)|2

1/

2|xi2

(x,y)

|x

定義2設(shè)R為距離空間，xn(n=1，2，……)為R中點(diǎn)列，x∈R，如果當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列ρ(xn，x)→0，則稱點(diǎn)列xn按lim 或

(2中可以看出，在距離空間中，一般點(diǎn)列的收斂是定理1在距離空間中，收斂點(diǎn)列的極限是惟一的 函數(shù)。即在距離空間中，當(dāng)n→0，yn→y時(shí)，(xn,yn)(x0,y0 n ρ(x,x0)< 取ρ(xn,x0)<取rmax{1,(x,x),(x,x),...,(x,x (xn,x)

n

ρ(xm,xn) |xnx| n與|xmxn| m,n 1,1.4,1.41,1.414,1.4142, (1.一般的距離空間一般的距離空間(如有理數(shù)空間)就沒(méi)有這種性質(zhì)(有理數(shù)的 在距離空間R中，若任一Cauchy點(diǎn)列都在R中有極限，則稱距離空間R是完備的。ρ(x,y)=|x-at(x,y)max|x(t)y(t)m,n(xm,xn)max|xm(t)xn(t)|atm,nm,n)|xn(t)x(t)|ρ(xn,x)

nn(x,y)|x(t)y(t) (x,y) 設(shè)R，R1都是距離空間，如果存在一個(gè)由R到R1的映射T，使對(duì)一切x，y∈R有1(Tx,Ty)(x,其中ρ，ρ1分別為RR1上的距離，則稱T為RR1的等距映 R是一個(gè)以ρ為距離的距離空間，x0∈R是一個(gè)定Tx=ρ(x,|T(y)T(x)||(y,x0)(x,x0)|(y,|T(y)T(x)|(y,x) 由距離空間R到距離空間R1中的映射T連續(xù)的充要條件為:對(duì)于任一x∈R，當(dāng)R中的xn收斂于x時(shí)，相應(yīng)地，在R1證明先證必要性。設(shè)T為R到R1對(duì)任給的ε＞0，存在δ＞0，使對(duì)任意的x∈R，當(dāng)y∈R滿足

再證充分性(用反證法)Rx都有當(dāng)xn→x時(shí)，相應(yīng)地，在R1中有Txn→