排隊論視角下的單館員排隊模型研究

排隊論視角下的單館員排隊模型研究

1排他性和服務(wù)特征隊列理論也稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)是指對隨機(jī)發(fā)生的需求提供服務(wù)的系統(tǒng)?，F(xiàn)實世界中排隊現(xiàn)象比比皆是,如商店購物、輪船進(jìn)港、病人候診、銀行存取款、機(jī)器等待維修、電話等待轉(zhuǎn)接、計算機(jī)數(shù)據(jù)等待處理等。排隊論的內(nèi)容包羅萬象,但都具有3個共同特征:(1)有請求服務(wù)的人和物,如候診的病人,稱之為“顧客”。(2)有為顧客提供服務(wù)的人和物,如醫(yī)生,稱之為“服務(wù)員”。(3)顧客到來的時刻及需要服務(wù)的時間均是隨機(jī)的。排隊論的主要任務(wù)是,建立數(shù)學(xué)模型描述排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性,研究諸如顧客平均的排隊時間,排隊顧客的平均數(shù)、服務(wù)員平均接待的顧客等數(shù)量規(guī)律,為系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制提供決策依據(jù)。2顧客到達(dá)和停留時間的計算M/M/1模型是指適合以下3個條件的排隊系統(tǒng):(1)輸入過程:顧客源是無限的,顧客單個到來,相互獨立,一定時間的到達(dá)數(shù)服從普阿松分布(Poisson分布)。(2)排隊規(guī)則:單隊且對隊長沒有限制,先到先服務(wù)。(3)服務(wù)機(jī)構(gòu):單服務(wù)臺,各顧客的服務(wù)時間是相互獨立的,服從相同的負(fù)指數(shù)分布。此外,還假定到達(dá)間隔時間和服務(wù)時間是相互獨立的。設(shè)單位時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson分布。每位顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布。于是在[t,t+Δt]時間區(qū)間內(nèi)分為:(1)顧客到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為λΔt的Poisson分布,故在該區(qū)間內(nèi)有一個顧客到達(dá)的概率為λΔtexp{-λΔt}=λΔt+O(Δt);沒有顧客到達(dá)的概率是1-λΔt-O(Δt);(2)設(shè)顧客接受服務(wù)時間為T,則在該區(qū)間內(nèi)有一個顧客接受完服務(wù)離去的概率為:Ρ(Τ≤τ+ΔΤ|Τ>τ)=1-Ρ(Τ>τ+ΔΤ|Τ>τ)=1-Ρ(Τ>Δt)=1-exp{-μΔt}=μΔt+Ο(Δt)沒有顧客離去的概率為1-μΔt-O(Δt)。(3)多于一個顧客到達(dá)或離去的概率為O(Δt),可以忽略。因此,在t+Δt時刻,系統(tǒng)中有n個顧客的概率Pn(t+Δt)滿足:Ρn(t+Δt)=Ρn(t)(1-λΔt)(1-μΔt)+Ρn(t)λΔt?μΔt+Ρn+1(t)(1-λΔt)μΔt+Ρn-1(t)λΔt(1-μΔt)=Ρn(t)(1-λΔt-μΔt)+Ρn+1(t)μΔt+Ρn-1(t)λΔt+Ο(Δt)于是有:Ρn(t+Δt)-Ρn(t)Δt=λΡn-1(t)+μΡn+1(t)-(λ+μ)Ρn(t)+Ο(Δt)Δt令Δt→0,得到方程:dΡn(t)dt=λΡn-1(t)+μΡn+1(t)-(λ+μ)Ρn(t)其中n=1,2,…;當(dāng)n=0時可以得到:dΡ0(t)dt=-λΡ0(t)+μΡ1(t)對于穩(wěn)態(tài)情形,Pn(t)與t無關(guān),其導(dǎo)數(shù)為0。因此可得差分方程如下:{λΡn-1+μΡn+1-(λ+μ)Ρn=0n≥1-λΡ0+μΡ1=0解此方程得到:Ρn=(λμ)n?Ρ0,今設(shè)ρ=λμ<1,由于∞∑n=0Ρn=1,故Ρ0=1-λμ=1-ρ,從而得到:{Ρ0=1-ρΡn=(1-ρ)?ρnn=1,2,?(1)式(1)中ρ有其實際意義,稱為服務(wù)強(qiáng)度。他表示平均到達(dá)率λ與平均服務(wù)率μ之比;他也是一個顧客的平均服務(wù)時間1/μ和平均到達(dá)間隔1/λ之比。以式(1)為基礎(chǔ)計算系統(tǒng)運行的指標(biāo)如下:(1)在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)(隊長的期望值):LS=∑n=0∞nΡn=λμ-λ(2)在隊列中等待的平均顧客數(shù)(隊列長的期望值):LQ=∑n=0∞(n-1)Ρn=λρμ-λ可以證明,在M/M/1系統(tǒng)條件下,顧客在系統(tǒng)中的逗留時間服從參數(shù)為μ-λ的負(fù)指數(shù)分布。(3)在系統(tǒng)中顧客逗留時間的期望值:WS=1μ-λ(4)在隊列中顧客等待時間的期望值:WS=ρμ-λ3顧客平均等待時間舉例在某商店有一個售貨員,顧客陸續(xù)到來,當(dāng)顧客到來的較多時,一部分顧客便需排隊等待,被接待后的顧客便離開商店。設(shè):(1)顧客到來時間間隔θ服從均值為0.1的負(fù)指數(shù)分布;(2)對顧客的服務(wù)時間T服從上的均勻分布;(3)排隊按先到先服務(wù)規(guī)則,隊長無限制。假定時間1min為單位,一個工作日為8h。問題一,模擬一個工作日內(nèi)完成服務(wù)的個數(shù)及顧客平均等待時間;問題二,模擬100個工作日,求出每日完成服務(wù)的個數(shù)及每日顧客的平均等待時間。蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬試驗的方法。對于所求問題,模擬過程見圖1流程圖:在Matlab6.5軟件包中提供了用于生成服從一定分布規(guī)律的隨機(jī)數(shù)的函數(shù)。采用Matlab6.5軟件包編程求解此問題。用Matlab6.5編程如下(對于問題一):cleari=2;w=0;e(i-1)=0;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);whileb(i)<=480y(i)=unifrnd(4,15);e(i)=b(i)+y(i);w=w+b(i)-c(i);i=i+1;x(i)=exprnd(10);c(i)=c(i-1)+x(i);b(i)=max(c(i),e(i-1));endi=i-2;t=w/i;m=i;對于問題二,將此程序略加修改即可。經(jīng)過計算可得模擬結(jié)果:一個工作日內(nèi)完成服務(wù)的個數(shù)為45人,顧客平均等待時間為33min;100個工作日,平均每日完成服務(wù)的個數(shù)為44人,每日顧客的平均等待時間為28min。4對3種服務(wù)規(guī)則的對比在M/M/1模型中,服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù)。實際上對于不同的服務(wù)規(guī)則(先到先服務(wù)、后到先服務(wù)、隨機(jī)服務(wù))他們的不同點主要反映