《高中數(shù)學(xué)必修二課件：平面向量及其應(yīng)用》

高中數(shù)學(xué)必修二課件：平面向量及其應(yīng)用平面向量及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)分支之一。本課程將全面介紹平面向量的性質(zhì)、計(jì)算方法及其在幾何、物理和工程等領(lǐng)域的應(yīng)用。平面向量的定義和性質(zhì)定義平面上具有大小和方向的量就是平面向量。大小叫做向量的模，方向由向量的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的方向表示。加法向量的加法滿足三角形法則，即兩個(gè)向量相加等于以它們?yōu)猷忂叺钠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線向量。數(shù)乘數(shù)字與向量相乘，等效于把向量長(zhǎng)度乘以這個(gè)數(shù)字，它的方向不變。幾何意義平面向量在幾何中描述平面上線段的長(zhǎng)度、方向和位置，具有很強(qiáng)的幾何意義。向量共線性和垂直性的判定方法共線性兩個(gè)向量共線，當(dāng)且僅當(dāng)它們的向量積為0。垂直性兩個(gè)向量垂直，當(dāng)且僅當(dāng)它們的數(shù)量積為0。向量的模長(zhǎng)與方向角的計(jì)算模長(zhǎng)計(jì)算向量的模長(zhǎng)指向量的長(zhǎng)度，可以用勾股定理求出。方向角計(jì)算向量的方向角是指此向量與x軸正半軸的夾角α，裝入有理數(shù)集合中為[-π,π)。坐標(biāo)表示已知向量終點(diǎn)P的坐標(biāo)，則向量的坐標(biāo)就是P的坐標(biāo)與向量的起點(diǎn)坐標(biāo)之差。向量在平面直角坐標(biāo)系中的表示和運(yùn)算1向量坐標(biāo)給定直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則兩點(diǎn)間的向量等于終點(diǎn)的坐標(biāo)-起點(diǎn)的坐標(biāo)。2向量平移將向量a平移p個(gè)單位，只需在a的終點(diǎn)和起點(diǎn)分別平移p個(gè)單位。3向量加法向量加法就是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加，即。4向量點(diǎn)積向量點(diǎn)積a·b=a1b1+a2b2，可以用來判斷兩個(gè)向量的夾角及其正交性。向量的投影和正交分解向量投影向量a在向量b上的投影是一個(gè)標(biāo)量，表示在b上的影子的長(zhǎng)度。正交分解兩個(gè)向量可以分解為相互正交的兩個(gè)向量和，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影。平面向量的數(shù)量積和向量積1數(shù)量積定義兩個(gè)向量a和b的數(shù)量積（點(diǎn)積）的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，a·b=|a||b|cosθ。2數(shù)量積的運(yùn)算數(shù)量積具有交換律和分配律，同時(shí)a·a=|a|^2，可以用來計(jì)算向量夾角及判斷兩個(gè)向量的方向關(guān)系。3向量積概念兩個(gè)向量a和b的向量積的結(jié)果是一個(gè)向量，a?b的大小是a和b所張的平行四邊形的面積，方向由右手法則得到。平面向量的混合積混合積定義三個(gè)向量a、b、c的混合積，可以看做是兩個(gè)向量的向量積再與第三個(gè)向量進(jìn)行數(shù)量積，a·(b?c)應(yīng)用舉例混合積可以用來計(jì)算三角形的有向面積，判斷三個(gè)向量共面和判斷向量所在點(diǎn)的方位。平面向量的應(yīng)用：向量的夾角向量之間的夾角向量a和向量b之間的夾角可以通過兩個(gè)向量的數(shù)量積求得，θ=cos?1(a·b/|a||b|)。向量組內(nèi)的夾角若向量組中有n個(gè)向量，則向量組a1,a2,…,an上兩兩夾角的cos值通過向量的數(shù)量積求得。平面向量的應(yīng)用：平面向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)定義若向量組中存在一組不全為零的系數(shù)，使得它們的線性組合為零，則向量組線性相關(guān)，否則線性無關(guān)。向量組的秩向量組的秩定義為向量組中的所有向量中線性無關(guān)向量組成的最大子集的元素個(gè)數(shù)。應(yīng)用舉例線性相關(guān)性是矩陣求逆和線性方程組的求解過程中非常重要的概念，也是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的基本原理之一。平面向量的應(yīng)用：位矢問題坐標(biāo)系下的位矢位矢是一個(gè)以一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，以表示某物體在平面直角坐標(biāo)系中的位置的有向線段。位矢的導(dǎo)數(shù)位矢對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度矢量，即速度矢量是連續(xù)位置變化的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)表示了沿著某方向上的速率變化率。平面向量的應(yīng)用：圖形平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱1平移變換平移變換是將圖形在平面上沿著一個(gè)矢量使其位置改變到一個(gè)新的位置上。2旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換是改變物體的方向，是以一個(gè)固定的點(diǎn)為中心，按一定的角度和方向使物體在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。3對(duì)稱變換對(duì)稱變換是沿某條直線或平面將一個(gè)圖形翻轉(zhuǎn)到另一側(cè)。4應(yīng)用舉例這些變換是研究3D建模、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃、圖像處理等領(lǐng)域中經(jīng)常使用的操作。平面向量的應(yīng)用：?jiǎn)挝幌蛄俊⑾蛄康淖鴺?biāo)軸旋轉(zhuǎn)單位向量向量的單位向量是與它方向相同但模長(zhǎng)為1的向量。單位向量有助于簡(jiǎn)化向量運(yùn)算的表達(dá)式。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)是一種基于向量運(yùn)算的操作，它將向量從一個(gè)坐標(biāo)系翻譯到另一個(gè)坐標(biāo)系中。平面向量的應(yīng)用：向量方程、參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程向量方程向量方程指的是把一個(gè)曲線表示為向量的等式。向量方程使用向量的不等式使復(fù)雜的表達(dá)式變得簡(jiǎn)單有節(jié)制。參數(shù)方程參數(shù)方程是指將曲線中所有