2022年廣西壯族自治區(qū)南寧市第九中學高三數(shù)學理測試題含解析

2022年廣西壯族自治區(qū)南寧市第九中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15x2和L2=2x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為

（

）

A．45.606

B．45.6

C．45.56

D．45.51參考答案：B2.在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)T，使得

對任意正整數(shù)m均成立，那么就稱為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列的周期。已知數(shù)列滿足，且

當數(shù)列周期為3時，則該數(shù)列的前2009項的和為(

)A.

1340

B.

1342

C.

1336

D.1338參考答案：D3.若函數(shù)在上的導函數(shù)為，且不等式恒成立，又常數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（）。A．

B．

C．

D．.參考答案：A知識點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)的運算．解析：解：令，則；

又∵，∴；∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

又∵，∴，即，∴．

故選：A.思路點撥：構造，求，利用利用導數(shù)判定g（x）的單調性，可以得出結論．4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；作圖題；空間位置關系與距離．分析：三視圖中長對正，高對齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構建直觀圖，該幾何體為三棱柱與三棱錐的組合體．解答：解：該幾何體為三棱柱與三棱錐的組合體，如右圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面積S=×1×2=1，高為1；故其體積V1=1×1=1；三棱錐的底面是等腰直角三角形，其面積S=×1×2=1，高為1；故其體積V2=×1×1=；故該幾何體的體積V=V1+V2=；故選：A．點評：三視圖中長對正，高對齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構建直觀圖，本題考查了學生的空間想象力，識圖能力及計算能力5.設曲線y＝x2＋1在其任一點（x，y）處切線斜率為g（x），則函數(shù)y＝g（x）cosx的部分圖象可以為

（

）

參考答案：A略6.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,則下面判斷正確的是（

）A.在區(qū)間(－2,1)內是增函數(shù) B.在(1,3)內是減函數(shù)C.在(4,5)內是增函數(shù)

D.在x=2時,取到極小值參考答案：C7.已知，則

A．

B．

C．

D．以上都不對參考答案：A8.在復平面內，與復數(shù)對應的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】應用復數(shù)除法的運算法則，簡化復數(shù)，最后確定復數(shù)對應的點的位置.【詳解】,復數(shù)對應的點為，它在第四象限，故本題選D.【點睛】本題考查通過復數(shù)的除法運算法則，化簡后判斷復數(shù)對應的點的位置.9.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=﹣f（x），當x∈（﹣1，3]時，f（x）=，其中t＞0，若方程f（x）=恰有3個不同的實數(shù)根，則t的取值范圍為（）A．（0，） B．（，2） C．（，3） D．（，+∞）參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的周期性．【分析】確定f（x）的周期為4，x∈（5，6）時，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）時，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3個不同的實數(shù)根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范圍．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期為4，∵x∈（1，2）時，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）時，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）時，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）時，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3個不同的實數(shù)根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故選：B．10.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于C的漸近線的直線交C于點P．若PF1⊥PF2，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】設P（x，y），通過聯(lián)立直線PF2的方程、直線PF1的方程及雙曲線方程，計算即可．【解答】解：如圖，設P（x，y），根據(jù)題意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0），雙曲線的漸近線為：y=x，直線PF2的方程為：y=（x﹣c），①直線PF1的方程為：y=﹣（x+c），②又點P（x，y）在雙曲線上，∴﹣=1，③聯(lián)立①③，可得x=，聯(lián)立①②，可得x=?c=，∴=，∴a2+a2+b2=2b2﹣2a2，∴b2=4a2，∴e=====，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC的三等分點，則=________．參考答案：12.函數(shù)f(x)＝在[2,3]上的最小值為________最大值為________．參考答案：13.測量地震的里氏級別是地震強度（即地震釋放的能量）的常用對數(shù).2008

年汶川大地震的級別是里氏8級，1960年智利大地震的強度是汶川大地震的強度的8倍，則智利大地震的里氏級別是____________級.（?。﹨⒖即鸢福?.9略14.已知向量．若為實數(shù)，，則的值為

．參考答案：，因為，所以，解得。15.已知正實數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為．參考答案：2﹣【考點】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，可以將ab轉化可得ab=+，令=t，則ab又可以變形為ab=1+，再令u=t﹣1，ab進一步可以變形為ab=1+，利用基本不等式，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由于，則ab=ab（）=+=+；令=t，則ab=+=+===1+，令u=t﹣1，t=u+1；ab=1+=1+=1+≤1+=2﹣；即ab的最大值2﹣；故答案為：2﹣．16.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，

圓p=4sin的圓心到直線的

距離是______。參考答案：17.函數(shù)y＝－(x－3)|x|的遞減區(qū)間是__________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設求數(shù)列的前項和.參考答案：(1)設數(shù)列的公比為，則由

，····························4分····························6分

（2）∵∴····························9分

∴所以，數(shù)列的前項和為····················12分19.已知橢圓，是長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，點C在第一象限，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設P、Q為橢圓上不重合的兩點且異于A、B，若的平分線總是垂直于x軸，問是否存在實數(shù)，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求取得最大值時的PQ的長．參考答案：(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所給向量間的關系求出點的坐標，又由得出半長軸，再將點的坐標代入橢圓方程解出，則可得橢圓方程；（2）由題意可得，設，則，將的直線方程與橢圓聯(lián)立解得的坐標，進而得到的坐標，從而由斜率公式求得，證得，可得存在實數(shù)符合題意，先利用基本不等式求得，再求出的最大值.【詳解】（1）∵，∴，∵．即，∴是等腰直角三角形，∵，∴，而點在橢圓上，∴，，∴，∴所求橢圓方程為．（2）對于橢圓上兩點，，∵的平分線總是垂直于軸，∴與所在直線關于對稱，，則，∵，∴的直線方程為，①的直線方程為，②將①代入，得，③∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，∴，以替換，得到．∴，∵，，，弦過橢圓的中心，∴，，∴，∴，∴，∴存實數(shù)，使得，，當時，即時取等號，，又，，∴取得最大值時的的長為．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調性法以及均值不等式法求解.20.(13分)如圖，已知點和圓AB是圓O的直經，從左到右M、O和N依次是AB的四等分點，P(異于A、B)是圓O上的動點，交AB于D，，直線PA與BE交于C，|CM|+|CN|為定值.（1）求的值及點C的軌跡曲線E的方程；（2）一直線L過定點S（4,0）與點C的軌跡相交于Q，R兩點，點Q關于x軸的對稱點為Q1，連接Q1與R兩點連線交x軸于T點，試問△TRQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：(1)（2）【知識點】橢圓及其幾何性質H5(1)易得，，，設則直線PA與BE交于C，故，①且，②

①②相乘得又因為點P(異于A，B)是圓O上的動點，故即，要使為定值，則解得此時即時，點C的軌跡曲線E的方程為（2）聯(lián)立消得，即設Q(），，則由韋達定理有直線的方程為令，得將（1），（2）代人上式得，又

=

==18=18當時取得?！舅悸伏c撥】①且，②

①②相乘得又因為點P(異于A，B)是圓O上的動點，故求得結果，聯(lián)立消得，即設Q(），，則由韋達定理有再由均值不等式求出。21.（文）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求異面直線SC與AD所成角；（2）求點B到平面SCD的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；異面直線及其所成的角．【專題】計算題；空間位置關系與距離；空間角．【分析】（1）由已知BC∥AD，∠SCB就是異面直線SC與AD所成角，由此能求出直線SC與AD所成角．（2）利用等體積可求點B到平面SCD的距離．【解答】解：（1）∵BC∥AD，∴∠SCB就是異面直線SC與AD所成角，∵SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan∠SCB=，∴直線SC與AD所成角為arctan．（2）連接BD，設點B到平面SCD的距離為h．∵VS﹣BCD=VB﹣SCD，∴=，∴，∴h=，∴點B到平面SCD的距離為．【點評】本題考查直線與直線所成角的求法，考查幾何體的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）設是f(x)的極值點，求m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內恒成立，求k的取值范圍；（Ⅲ）當時，證明：

參考答案：解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的極值點，∴，解得m=1．經檢驗m=1

符合題意……………2分（Ⅱ）由（Ι）可知，函數(shù)f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定義域為（-1，+∞）．∵

………………4分

設g（x）=ex（x+1）-1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，

又∵g（0）=0，所以當x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當-1＜x＜0時，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f