2022年湖南省永州市觀音灘鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022年湖南省永州市觀音灘鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C2.．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A．2 B．4 C．6 D．12參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，一旦不滿足條件就退出循環(huán)，從而到結(jié)論．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得k=0，s=0滿足條件k＜3，執(zhí)行循環(huán)體，s=0，k=1滿足條件k＜3，執(zhí)行循環(huán)體，s=2，k=2滿足條件k＜3，執(zhí)行循環(huán)體，s=6，k=3不滿足條件k＜3，退出循環(huán)，輸出s的值為6．故選：C．4.由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．72

B．96

C．108

D．144參考答案：C5.如圖，在正方體ABC的﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P﹣BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】分析三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的形狀，并求出面積，可得答案．【解答】解：設(shè)棱長(zhǎng)為1，則三棱錐P﹣BCD的正視圖是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的三角形，面積為：；三棱錐P﹣BCD的俯視圖取最大面積時(shí)，P在A1處，俯視圖面積為：；故三棱錐P﹣BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為1，故選：A．6.設(shè)變量、滿足線性約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）6

7

8

23參考答案：B略7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B8.若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：D，，，所以，選D.9.已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),交圓于M,N兩點(diǎn),其中P,M位于第一象限,則的值不可能為（

）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：A【分析】設(shè)出，，利用拋物線的常用結(jié)論，得到，進(jìn)而得到，再利用基本不等式中“1”的代換的方法，得出，最后得到，進(jìn)而求出答案【詳解】作圖如下：可以作出下圖，由圖可得，可設(shè)，，則，，，，根據(jù)拋物線的常用結(jié)論，有，，則，又，得，則值不可能為3，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的常用結(jié)論的應(yīng)用，以及基本不等式的問(wèn)題，屬于綜合題，解題的難點(diǎn)在于把的取值范圍轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題，屬于難題10.已知是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的是A．若，，，，則B．若，∥，，則C．若∥，，則∥D．若，，，則∥參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D滿足，則=．參考答案：

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，求得要求式子的值．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D滿足，∴=?（﹣）=?[+]=?（+）===，故答案為：．12.若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），有下列命題：①在內(nèi)單調(diào)遞增；②f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4；③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是[－4,1]；④f(x)和g(x)之間存在唯一的“隔離直線”.其中真命題的序號(hào)為

．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確命題的序號(hào)）參考答案：①②④解析：①，，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，故①正確；②，③設(shè)的隔離直線為，則對(duì)任意恒成立，即有對(duì)任意恒成立.由對(duì)任意恒成立得.若則有符合題意;若則有對(duì)任意恒成立,又則有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正確，③錯(cuò)誤；④函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此存在和的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，由恒成立，若，則不恒成立.若，由恒成立，令，在單調(diào)遞增，，故不恒成立.所以，可得，當(dāng)恒成立，則，只有，此時(shí)直線方程為，下面證明，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是，也是最小值，，則，函數(shù)和存在唯一的隔離直線，故④正確，故答案為①②④．13.球內(nèi)接正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)分別為和2，則該球的體積為

；參考答案：14.設(shè)函數(shù)______.參考答案：令得，即。令得。令得。15.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，是的中點(diǎn)，且，，則的最短邊的邊長(zhǎng)為

．參考答案：16.某個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其它特征完全相同的7個(gè)乒乓球(袋中僅有白色和黃色兩種顏色的球)，若從袋中隨機(jī)摸一個(gè)乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，則從袋中一次隨機(jī)摸兩個(gè)球，得到一個(gè)白色乒乓球和一個(gè)黃色乒乓球的概率是．參考答案：17.正方體的棱長(zhǎng)為，是它的內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點(diǎn)之間的連線段稱為球的弦），為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí)，的取值范圍是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣aln（x+2），且f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，其中x1＜x2．（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）證明不等式：．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）求導(dǎo)，由題意可知：2x2+4x﹣a=0在（﹣2，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）由（I）可知，利用韋達(dá)定理，則，構(gòu)造輔助函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則F（x）＜F（1）=﹣1，即．【解答】解：（Ⅰ）由題意，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，∴關(guān)于x的方程，即2x2+4x﹣a=0在（﹣2，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令φ（x）=2x2+4x﹣a，則﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣2＜a＜0．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍（﹣2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令﹣x2=x，則0＜x＜1，且，令，則﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∵0＜x＜1，∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是減函數(shù)，∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函數(shù)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴F（x）＜F（1）=﹣1，即，所以，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD.（Ⅰ）求證:BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）當(dāng)二面角C-BF-D的平面角的余弦值為,求這個(gè)六面體ABCDEF的體積.參考答案：（Ⅰ）在梯形中,∵,,∴,∴,∵.∴,∴,∴.（4分）∵平面平面,平面平面,∴平面.（Ⅱ）在中,,∴.分別以為軸,軸,軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,則,,易知平面的一個(gè)法向量為,∵平面的法向量為,∴即令,則,,∴平面的法向量為,∵二面角的平面角的余弦值為,∴,解得,即.（10分）所以六面體的體積為：.（12分）20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知函數(shù)定義域是，且，，當(dāng)時(shí)，．（1）證明：為奇函數(shù)；（2）求在上的表達(dá)式；（3）是否存在正整數(shù)k，使得時(shí)，有解，若存在求出k的值，若不存在說(shuō)明理由．解：參考答案：解：(1),所以的周期為2，所以,所以為奇函數(shù)．（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．（3）任取

所以不存在這樣的，使得時(shí)，有解．

21.（13分）已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（1，）處的切線的傾斜角為,求在上的最小值；

（2）若存在，使，求的取值范圍.參考答案：解析：（I）

據(jù)題意，

…3分

由（I）知,則.x-+↘↗

∴對(duì)于，最小值為.

………………7分（2）

①若上單調(diào)遞減.

又

………………9分

②若

從而在（0，上單調(diào)遞增，在[，+上單調(diào)遞減.

據(jù)題意，

12分綜上，的取值范圍是（3，+∞）.………………13分22.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)n的值；（2）試討論函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上最大值；（3）若時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.參考答案：(1);(2)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)，;(3)見(jiàn)解析.試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求之即可；(2)，分當(dāng)與分別討論函數(shù)的單調(diào)性，求其最值即可；(3)由可得，即，設(shè)，則，即，故，用作差比較法證明即可.試題解析：（1）由，，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，故，解得.（2），由時(shí)，；時(shí)，，所以①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為；②當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為；（3）若時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由，，得，∴，設(shè)，，，故，∴，記函數(shù)，因，∴在遞增，∵，∴，又，，故成立.考點(diǎn)：1.導(dǎo)