2021高中數(shù)學(xué)第一章 課時(shí)作業(yè)北師大版必修2

課時(shí)作業(yè)1簡(jiǎn)單幾何體

|基礎(chǔ)鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?下面的幾何體中是棱柱的有（

A?3個(gè)B.4個(gè)

C?5個(gè)D.6個(gè)

解析：棱柱有三個(gè)特征：（1）有兩個(gè)面相互平行；（2）其余各面是四邊形；（3）側(cè)棱相互

平行.本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個(gè)特征，而①②③④⑤符合，故選C.

答案:c

2?下面圖形中，為棱錐的是（）

①

A?①③B.①③④

C?①②④D.①②

解析：根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.故

選C.

答案：c

3-下列圖形中，是棱臺(tái)的是（

A

解析：由棱臺(tái)的定義知，A、D的側(cè)棱延長(zhǎng)線不交于一點(diǎn)，所以不是棱臺(tái)；B中兩個(gè)

面不平行，不是棱臺(tái)，只有C符合棱臺(tái)的定義，故選C.

答案：C

4■給出下列說(shuō)法：①以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)

體是圓錐；②以直角梯形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓錐、

圓臺(tái)的底面都是圓面；④分別以矩形長(zhǎng)和寬（長(zhǎng)和寬不相等）所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而

得的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A?IB.2

C-3D.4

解析：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓

錐，若以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，故①

錯(cuò)誤；以直角梯形中垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，以

其他的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，②錯(cuò)誤；③④是正確的.

答案：B

5?一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，作正方體的對(duì)角面，所得截面圖形是下圖中的（）

二

解析：由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球只與正方體的上、下底面相切，而與兩側(cè)棱相離.故

正確答案為B.

答案：B

二、填空題（每小題5分，共15分）

6-以等腰梯形的對(duì)稱軸為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的旋轉(zhuǎn)體是.

解析：等腰梯形的對(duì)稱軸為兩底中點(diǎn)的連線，此線把等腰梯形分成兩個(gè)全等的直角梯

形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺(tái).

答案：圓臺(tái)

7?已知正四棱錐V-ABCD＞底面面積為16，一條側(cè)棱長(zhǎng)為2皿，則它的斜高為

解析：由S底=16,知底面邊長(zhǎng)為4,又側(cè)棱長(zhǎng)為2/，故斜高力'=^/（2VTT）2-22=

2-Vib.

答案：2回

8?下列說(shuō)法正確的有.

①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.

②正棱錐的側(cè)面是等邊三角形.

③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.

解析：

①不正確.棱錐的定義是：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角

形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.而“其余各面都是三角形”并不等價(jià)于“其余各面

都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”，故此說(shuō)法是錯(cuò)誤的.如圖所示的幾何體滿足此說(shuō)法，但它

不是棱錐，理由是△4OE和△BC/無(wú)公共頂點(diǎn).

②錯(cuò)誤.正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形.

③錯(cuò)誤.由已知條件知，此三棱錐的三個(gè)側(cè)面未必全等，所以不一定是正三棱錐.如

圖所示的三棱錐中有AB=AD=BD=BC=CD.滿足底面△BCD為等邊三角形.三個(gè)側(cè)面

△ABD,△ABC,△AC。都是等腰三角形，但AC長(zhǎng)度不一定，三個(gè)側(cè)面不一定全等.

答案：0

三、解答題（每小題10分，共20分）

9?一個(gè)有30。角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓錐嗎？如

果以斜邊上的高所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180。得到什么圖形？

解析：圖（1）、（2）旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐；

圖（3）旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是兩個(gè)圓錐拼接而成的幾何體.

圖（4）旋轉(zhuǎn)180。是兩個(gè)半圓錐的組合體.

10.

D：

A

如圖所示為長(zhǎng)方體ABC。一A'B'CD'，當(dāng)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部

分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，指出底面及側(cè)棱.

解析：截面BCFE上方部分是棱柱88'E-CCF,其中平面BB'E和平面CC'F

是其底面，BC,B'C,E尸是其側(cè)棱.截面BC尸E下方部分是棱柱A8EA'-DCFD',

其中平面ABEA'和平面。CF。'是其底面，AD,BC,EF,A'D'是其側(cè)棱.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.有下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；

③在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線：

④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.

其中正確的是（）

A?①②B.②③

C?①③D.②④

解析：對(duì)于①③兩點(diǎn)的連線不一定在圓柱、圓臺(tái)的曲面上，當(dāng)然有可能不是母線了，

②④由母線的定義知正確.

答案：D

12?如圖，這是一個(gè)正方體的表面展開圖，若把它再折回成正方體后，有下列命題:

①點(diǎn)”與點(diǎn)C重合；

②點(diǎn)。與點(diǎn)M與點(diǎn)R重合；

③點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合；

④點(diǎn)A與點(diǎn)S重合.

其不正確器題的序號(hào)是.（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

解析：還原成正方體考慮.

答案：②④

13.

如圖所示是一個(gè)三棱臺(tái)ABC-A'B'C，試用兩個(gè)平面把這個(gè)三棱臺(tái)分成三部分，

使每一部分都是一個(gè)三棱錐.

解析：過(guò)A',B,C三點(diǎn)作一個(gè)平面，再過(guò)A',B,C'作一個(gè)平面，就把三棱臺(tái)

ABC-A'B'C分成三部分，形成的三個(gè)三棱錐分別是4'-ABC,B-A'B'C',A'

一BCC'.（答案不唯一）

14.

如圖所示的直角梯形ABC。，AB，BC，繞著C。所在直線/旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體，

試說(shuō)明該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

解析：如圖所示，過(guò)A,8分別作AOi，/,B02_U,垂足分別為。|,。2,

則RtZXCQB繞/旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓錐，直角梯形0/B02繞/旋轉(zhuǎn)一周所

形成的幾何體是圓臺(tái)，RtZSCOiA繞/旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓錐.

綜上，可知所求幾何體下面是一個(gè)圓錐，上面是一個(gè)圓臺(tái)挖去了一個(gè)以圓臺(tái)上底面為

底面的圓錐.

課時(shí)作業(yè)2直觀圖

|基礎(chǔ)鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?關(guān)于直觀圖畫法的說(shuō)法中，不正確的是（）

A-原圖形中平行于x軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段仍平行于』軸，其長(zhǎng)度不變

B?原圖形中平行于），軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段仍平行于y'軸，其長(zhǎng)度不變

C?畫與坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系『O'y'時(shí)，//O'y'可畫成135°

D?作直觀圖時(shí)，由于選軸不同，所畫直觀圖可能不同

解析：根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知B不正確.

答案：B

2?用斜二測(cè)畫法得到的一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，

則原來(lái)的圖形是（）

T

ABCD

解析：直觀圖中的多邊形為正方形，對(duì)角線的長(zhǎng)為小，所以原圖形為平行四邊形，位

于y軸上的對(duì)角線的長(zhǎng)為2吸.

答案：A

3?（2017,太原高一期末）如圖所示的用斜二測(cè)法畫的直觀圖，其平面圖形的面積為

A.3B呼

C-6D.3啦

解析：該直觀圖的原圖為直角三角形，兩條直角邊分別為4和3,所以平面圖形的面

不只為gx3X4=6.

答案：C

4?已知一條邊在x軸上的正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，此平行四邊形中有一

邊長(zhǎng)為4，則原正方形的面積是（）

A-16B.64

C76或64D.以上都不對(duì)

解析：根據(jù)直觀圖的畫法，平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉?lái)

的一半，于是直觀圖中長(zhǎng)為4的邊如果平行于N軸，則正方形的邊長(zhǎng)為4,面積為16;長(zhǎng)

為4的邊如果平行于<軸，則正方形的邊長(zhǎng)為8,面積為64.

答案：C

5?若用斜二測(cè)畫法把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫在『O'y1平面上，則該圓柱

的高應(yīng)畫成（）

A-平行于z'軸且長(zhǎng)度為10cm

B-平行于z'軸且長(zhǎng)度為5cm

C?與z'軸成45。且長(zhǎng)度為10cm

D?與z'軸成45。且長(zhǎng)度為5cm

解析：平行于z軸的線段，在直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變，故選A.

答案：A

二、填空題（每小題5分，共15分）

6?已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么aABC的直觀圖△4'B'C的面積為

解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.

從圖②可知，A'B'=AB=2,

O'c=goc=坐，

C'D'=0'C'sin450=坐x^=乎.

所以SAA，gcr=/A'B'-C'D'=2X2X

答案：乎

7?一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，ZABC=45°，

AB=AD=]-DCIBC-則這個(gè)平面圖形的面積為.

解析：由直觀圖，可知原圖形為直角梯形，且上底為1,下底為半+1,高為2,故面

積為1(1+乎+1卜2=2+乎.

8?一條邊在x軸上的正方形的面積是4，按斜二測(cè)畫法所得的直觀圖是一個(gè)平行四邊

形，則這個(gè)平行四邊形的面積是.

解析：正方形的面積為4,則邊長(zhǎng)為2,由斜二測(cè)畫法的規(guī)則，知平行四邊形的底為2,

高為坐，故面積為小.

答案：小

三、解答題(每小題10分，共20分)

9?將圖中所給水平放置的直觀圖繪出原形.

/'

/----|小

解析:

10?畫棱長(zhǎng)為2cm的正方體的直觀圖.

解析：(1)作水平放置的正方形的直觀圖ABCD,使/氏4。=45。，AB=2cm,A￡>=1cm.

(2)過(guò)點(diǎn)A作z'軸，使NBAz'=90°,分別過(guò)點(diǎn)A,B,C,D,沿z'軸的正方向取

AA\=BB\=CC\=DD\=2cm.

(3)連接AS,BiCi,CiDi,Q14如下圖①，擦去輔助線，把被遮住的線改為虛線，

得到的圖形如下圖②就是所求的正方體的直觀圖.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點(diǎn)。是△ABC的BC邊中點(diǎn)，A3,BC分

別與y'軸、/軸平行，則三條線段A8，AQ，AC中（）

A?最長(zhǎng)的是AB，最短的是AC

B?最長(zhǎng)的是AC，最短的是48

C?最長(zhǎng)的是AB，最短的是AD

D?最長(zhǎng)的是AC，最短的是A。

解析：由條件知，原平面圖形中A8J_BC,從而AB<AO<AC.

答案：B

12?如圖為△ABO水平放置的直觀圖△△'B'0'，由圖判斷△ABO中，4B，80，

BD，OD由小到大的順序是.

解析：由題圖可知，/XAB。中，。。=2,BD=4,AB=y[17,BO=2y[5.

答案：OD<BD<AB<BO

13.

用斜二測(cè)畫法畫出圖中水平放置的△。48的直觀圖.

解析：（1）在已知圖中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。8所在的直線及垂直于OB的直線分別

為x軸與y軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)A作AM垂直x軸于點(diǎn)例，如圖1.另選一平面畫直

觀圖，任取一點(diǎn)0',畫出相應(yīng)的x'軸、y'軸，使/x'O'y'=45°.

(2)在軸上取點(diǎn)B',M',使O'B'=OB,O'M'=OM,過(guò)點(diǎn)M'作

M1A'//y'軸，取M'A'=乩4.連接O'A',B'A',如圖2.

(3)擦去輔助線，則△?'A1B'為水平放置的△OAB的直觀圖.

14?畫正六棱柱的直觀圖.

解析：畫法如下：

(1)畫軸：畫x'軸、y'軸、z'軸，使Nx'O'y'=45°,Nx'O'z'=90°;

(2)畫底面：畫正六邊形的直觀圖ABCDEF(O'為正六邊形的中心)；

(3)畫側(cè)棱：過(guò)A,B,C,D,E,F各點(diǎn)分別作z'軸的平行線，在這些平行線上分別

截取A4',BB',CC',DD',EE',FF',使A4'=BB'=CC'=DD'=EE'=

FF';

(4)連線成圖：連接A'B',B'C',CD',D'E',E'F',F'A',并加以

整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱ABCDEF-

A'B'CD'E'F',如圖所示.

課時(shí)作業(yè)3三視圖

|基礎(chǔ)鞏固1(25分鐘，60分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1?某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()

解析：本題是組合體的三視圖問(wèn)題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原

圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C,

都可能是該幾何體的俯視圖，D不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖

的矩形.

答案：D

2?如圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)幾何體的三視圖，則甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的幾何體分別

為（）

①長(zhǎng)方體；②圓錐；③三棱錐：④圓柱.

A-④③②B.①③②

C?①②③D.④②③

解析：由于甲中的俯視圖是圓，則甲對(duì)應(yīng)的幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又主視圖和左視圖均是

矩形，所以該幾何體是圓柱；易知乙對(duì)應(yīng)的幾何體是三棱錐；由丙中的俯視圖，可知丙對(duì)應(yīng)

的幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又主視圖和左視圖均是三角形，所以該幾何體是圓錐.

答案:A

3?（2016?河北名師俱樂(lè)部3月模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，記A為此幾何體所

有棱的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合，則（）

I--4-H

正視圖

俯視圖

A-B.5SA

C-D.4小GA

解析：由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，

AF_L平面ABC。，AF//DE,AF=2,DE=4,可求得BE的長(zhǎng)為4小,BF的長(zhǎng)為2小，EF

的長(zhǎng)為2小，EC的長(zhǎng)為4巾,故選D.

答案：D

4-如圖為某組合體的三視圖，則俯視圖中的長(zhǎng)和寬分別為（）

**+>~H—

121

左視圖

俯視圖

A-10,4B.10,8

C-8,4D.10,5

解析：根據(jù)三視圖中的“主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主、左視圖高平齊，俯、左視圖寬相等”，

可知俯視圖的長(zhǎng)和主視圖的長(zhǎng)相等，為2+6+2=10,俯視圖的寬與左視圖的寬相等，為1

+2+1=4,所以選A.

答案：A

5?（2016?東北四市聯(lián)考（二））如圖，在正方體ABCD—AIBICQI中，P是線段C￡＞的中

點(diǎn),則三棱錐P-A\BXA的側(cè)視圖為（）

ABCD

解析：如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對(duì)于三棱錐尸一4SA,8（0點(diǎn)均消失了，

其余各點(diǎn)均在，從而其側(cè)視圖為D.

答案：D

三、填空題（每小題5分，共15分）

6?桌上放著一個(gè)半球，如圖所示￡0，則在它的三視圖及右面看到的圖形中，有三

個(gè)圖相同，這個(gè)不同的圖應(yīng)該是.

解析：俯視圖為圓，主視圖與左視圖均為半圓.

答案：俯視圖

7.

C.

X--------------

如圖，已知正三棱柱ABC-A\B\C\的底面邊長(zhǎng)為2,高為3’則其左視圖的面積為

解析：由三視圖的畫法可知，該幾何體的左視圖是一個(gè)矩形，其底面邊長(zhǎng)為2sin60°

二小,高為3,面積S=3小.

答案：3小

8?（2016?山東安丘市高二上期末）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)

為2的正三角形，俯視圖是正方形，那么該幾何體的側(cè)視圖的面積是.

根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是正方形，側(cè)棱相等，所以這是一個(gè)

正四棱錐.其側(cè)視圖與正視圖是完全一樣的正三角形.故其面積為乎義22=小.

答案：小

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.

試畫出如圖所示的正四棱臺(tái)的三視圖.

解析：如圖.

主視圖左視圖俯視圖

10?根據(jù)圖中的三視圖想象物體原形，并畫出物體的實(shí)物草圖.

主視圖左視圖

回

俯視圖

解析：由俯視圖并結(jié)合其他兩個(gè)視圖可以看出,這個(gè)物體是由上面一個(gè)正四棱臺(tái)和下

面一個(gè)正方體組合而成的，它的實(shí)物草圖如圖所示.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.（2016.廣東省臺(tái)山市華僑中學(xué)高二上期末）定義：底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂

直的三棱柱叫做正三棱柱.將正三棱柱截去一個(gè)角（如圖1所示，M，N分別是A8，8c的

中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為（）

解析：N的投影是C,M的投影是AC的中點(diǎn).對(duì)照各圖.選D.

答案：D

12?一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的

（填入所有可能的幾何體前的編號(hào)）

①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱.

解析：三棱錐、四棱錐和圓錐的正視圖都是三角形，當(dāng)三棱柱的一個(gè)側(cè)面平行于水平

面，底面對(duì)著觀測(cè)者時(shí)其正視圖是三角形，四棱柱、圓柱無(wú)論怎樣放置，其正視圖都不可能

是三角形.

答案：①②③⑤

13?如圖所示，是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖和它的主視圖和左視圖

（單位：cm）.請(qǐng)?jiān)谡晥D下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖.

解析：依據(jù)三視圖的繪圖原則，可作出該幾何體的俯視圖如圖.

R-6—H

俯視圖

14?某建筑由相同的若干房間組成，該樓房的三視圖如圖所示，問(wèn):

主視圖左視圖

俯視圖

（1）該樓房有幾層？從前往后最多要經(jīng)過(guò)幾個(gè)房間？

（2）最高一層的房間在什么位置？請(qǐng)畫出此樓房的大致形狀.

解析：（1）由主視圖和左視圖可以知道，該樓房有3層；由俯視圖知道，從前往后最多

要經(jīng)過(guò)3個(gè)房間；

（2）從主視圖和左視圖可以知道，最高一層的房間在左側(cè)的最后一排的房間.樓房大致

形狀如圖所示.

課時(shí)作業(yè)4公理1、公理2、公理3及應(yīng)用

|基礎(chǔ)鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?點(diǎn)P在直線/上，而直線/在平面a內(nèi)，用符號(hào)表示為（）

A-PDUaB.PG/Ga

C-PC/GaD.PG/Cct

解析：直線和平面可看作點(diǎn)的集合，點(diǎn)是基本元素.故選D.

答案：D

2?已知a、b是異面直線1直線c//直線a'那么c與仇）

A.一定是異面直線

B?一定是相交直線

C?不可能是平行直線

D?不可能是相交直線

解析：若〃〃c,,：a//c,：.a//b,這與a、。異面矛盾，其余情況均有可能.

答案：C

3?（2017?安慶市石化一中高二上期中）若直線a平行于平面a，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

A?“平行于a內(nèi)的所有直線

B-a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與。平行

C?直線a上的點(diǎn)到平面a的距離相等

D-a內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與a成90。角

解析：因?yàn)橹本€〃平行于平面a,所以a與平面a內(nèi)的直線平行或異面，故A錯(cuò)誤；

a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行，故B正確；直線”上的點(diǎn)到平面a的距離相等，故C正確；a

內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與a成90。角，故D正確.故選A.

答案：A

4-一條直線與兩條異面直線中的一條相交，則它與另一條的位置關(guān)系是（）

A?異面

B?平行

C-相交

D?可能相交、平行、也可能異面

解析：一條直線與兩條異面直線中的一條相交，它與另一條的位置關(guān)系有三種：平行、

相交、異面，如下圖所示.

答案：D

5?（2015?廣東卷）若直線/i和，2是異面直線,/i在平面a內(nèi)，，2在平面夕內(nèi)，/是平面

a與平面￡的交線，則下列命題正確的是（）

A?/與/1，一都不相交

B-/與/|，/2都相交

C-I至多與l\'h中的一條相交

D?/至少與1\'，2中的一條相交

解析：由直線和/2是異面直線可知/1與，2不平行，故h/2中至少有一條與/相交.

答案：D

二、填空題（每小題5分，共15分）

6?設(shè)平面a與平面P相交于直線/，直線aCa>直線bu0，aCb=M，則點(diǎn)M與/

的位置關(guān)系為.

解析：因?yàn)閍0a,b。B，所以MGa,Me//.又平面a與平面夕相交于

直線/,所以點(diǎn)M在直線/上，即

答案：M0

7?給出以下命題：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；②三條兩兩相交

的直線在同一平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三

個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是.

解析：空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內(nèi)，故①錯(cuò)；若三條直

線相交于一點(diǎn)時(shí)，不一定在同一平面內(nèi)，如長(zhǎng)方體一角的三條線，故②錯(cuò)；若兩平面相交時(shí)，

也可有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，故③錯(cuò)；若三條直線兩兩平行且在同一平面內(nèi)，則只有一個(gè)平面，

故④錯(cuò).

答案：0

8.

如圖，在正方體4BC￡>—A1B1GA中，M，N分別為棱GA，GC的中點(diǎn)，有以下四

個(gè)結(jié)論：

①直線AM與CCi是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MB1是異面直線；

④直線AM與DD\是異面直線.

其中正確的結(jié)論為.（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

解析：直線AM與CG是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯(cuò)誤.點(diǎn)

B,Bi,N在平面中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN,是異面直線.同理AM,DDi

也是異面直線.

答案：③④

三、解答題（每小題10分，共20分）

9?完成下列各題：

（1）將下列文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言.

①點(diǎn)A在平面a內(nèi)，但不在平面廳內(nèi)：

②直線a經(jīng)過(guò)平面a外一點(diǎn)M；

③直線/在平面a內(nèi)，又在平面￡內(nèi)（即平面a和平面￡相交于直線/）.

⑵將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言.

①“Ua>hC\a=A，A&J；

②aC￡=c，ada，bU[j>a//c，bCic—P.

解析：（口①4^^A初.

②Mea,M^a.

③aA￡=/.

⑵①

10?如圖所示，正方體ABC示一ABCQi中，M、N分別是AS、81G的中點(diǎn)>問(wèn):

（1）AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；

（2）。山和CG是否是異面直線？說(shuō)明理由.

解析：（1）不是異面直線，理由：連結(jié)MN,AiG、AC,如圖，因?yàn)镸、N分別是43、

81cl的中點(diǎn)，所以MN〃AiG.又因?yàn)锳M胡i。。，DQ穗CC,所以AN觸GC,四邊形

AiACG為平行四邊形，所以4ci〃AC,故MN〃4G〃AC,所以A、M、N、C在同一個(gè)

平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.

（2）是異面直線，證明如下：假設(shè)力出與CG在同一個(gè)平面CGDi內(nèi)，則BC平面CC\D\,

Cd平面CGDi,所以2CU平面CG2,這顯然是不正確的，所以假設(shè)不成立，故。山與

CG是異面直線.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①平面a與平面夕，7都相交，則這三個(gè)平面有2條或3條交線；②如果a-b是兩條

直線、aHb，那么a平行于經(jīng)過(guò)h的任何一個(gè)平面；③直線a不平行于平面a，則a不平行

于a內(nèi)任何一條直線；④如果a〃￡,a//a，那么a//p.

A?0個(gè)B.1個(gè)

C?2個(gè)D.3個(gè)

解析：①中，交線也可能是1條；②a也可能在過(guò)6的平面內(nèi)；③中a不平行于平面

a,則。可能在平面a內(nèi)，平面a內(nèi)有與a平行的直線：④中，a可能在￡內(nèi).故四個(gè)命題

都是錯(cuò)誤的，選A.

答案:A

12?如圖所示，G，H，M，N分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，

是異面直線的圖形有(填上所有正確答案的序號(hào)).

解析：圖(1)中，魚線GH〃MN;

圖(2)中，G,H,N三點(diǎn)共面，但A席平面GHN,因此直線GH與異面;

圖(3)中，連接MG,HN,GM//HN,因此GH與MN共面；

圖(4)中，G,M,N共面，

但用平面GMN,因此G”與MN異面.

所以圖(2),(4)中G”與MN異面.

答案：(2)(4)

13?求證：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).

證明：(1)如圖所示，設(shè)直線〃、b、c相交于點(diǎn)。，直線d和〃、b、c分別相交于A、

B、C三點(diǎn)，直線d和點(diǎn)。確定平面火由0￡平面a,AG平面a,。《直線〃，AG直線a,

知直線〃U平面a.同理，平面a,cU平面a,故直線4、b、c、d共面于a.

(2)如圖所示，設(shè)直線〃、b、c、d兩兩相交，且任何三線不共點(diǎn)，交點(diǎn)分別是M、N、

P、Q、R、G.

由直線知直線〃和匕確定平面a由aAc=N,bnc=Q,知點(diǎn)N、。都在

平面a內(nèi).

故c°a,同理可證40a.所以直線a、b、c、d共面于a.

由(1)(2)可知，兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).

14?如圖所示，在正方體ABCO-AIiCQi中，￡：為48的中點(diǎn)，尸為A4i的中點(diǎn).求

證：CE，D\F，DA三線交于一點(diǎn).

證明：連接EF,DiC,A山,

因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AAi的中點(diǎn)，

所以EF*AiB.

又因?yàn)锳d觸。C,

所以EF*DiC,

所以E,F,Dy,C四點(diǎn)共面，

可設(shè)DiFCCE=P.

又。iFU平面A0|D4,CEU平面ABC￡）,

所以點(diǎn)P為平面A\D\DA與平面ABCD的公共點(diǎn).

又因?yàn)槠矫鍭1AD4rl平面48C￡>=D4,

所以據(jù)公理3可得PWD4,即CE,DiF,D4三線交于一點(diǎn).

課時(shí)作業(yè)5公理4及定理

|基礎(chǔ)鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1-若直線a//b>b（^c=A，則”與c的位置關(guān)系是（）

A?異面B.相交

C-平行D.異面或相交

解析：a與c不可能平行，否則由a〃匕，得6〃c與6rlc=A矛盾.故選D.

答案：D

2?若/A08=/40由?，且。4〃ONi，0A與OA方向相同，則下列結(jié)論正確的是

（）

A-OB〃OiB|且方向相同

B-OB//O\B\'方向可能不同

C?。8與OiBi不平行

D?OB與O\B\不一定平行

解析：在空間中兩角相等，角的兩邊不一定平行，即定理的逆命題不一定成立.故選

D.

答案：D

3《2017?安徽宿州十三校聯(lián)考）在正方體ABC。-ABiGd的所有面對(duì)角線中，與45

成異面直線且與45成60。的有（）

A?1條B.2條

C?3條D.4條

解析：

如圖，△A8C是等邊三角形，所以每個(gè)內(nèi)角都為60。，所以面對(duì)角線中，所有與8c

平行或與AC平行的直線都與ABi成60。角.所以異面的有2條.

又△4BiA也是等邊三角形，同理滿足條件的又有2條，共4條，選D.

答案：D

4?如圖，在四面體S—A8C中，Gi>G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線GG

與BC的位置關(guān)系是（）

A?相交B.平行

C?異面D.以上都有可能

解析：連接SGi,SG2并延長(zhǎng)，分別與A8,AC交于點(diǎn)M,N,連接MN,則M,N分

別為AB,AC的中點(diǎn)，由重心的性質(zhì)，知招=需，:.G\G2〃MN又M,N分別為A8,AC

的中點(diǎn)，.,.MN//BC,再由平行公理可得GIG2〃BC,故選B.

答案：B

5?如圖所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，441J_底面ABC，AB=8C=A4|，NABC

=90。，點(diǎn)E，尸分別是棱A8，的中點(diǎn)，則直線Er和所成的角是（）

4G

A-45°B.60°

C?90°D.120°

解析：連接AB,易知A3]〃￡￡連接囪C,BiC與BCi交于點(diǎn)、G,取AC的中點(diǎn)”，

連接G“，則6"〃48|〃后尸.設(shè)48=8。=44]=〃，連接〃8,在三角形G”8中，易知GH

=HB=GB=^a,故所求的兩直線所成的角即為NHGB=60。.

答案：B

二、填空題（每小題5分，共15分）

6■不共面的四點(diǎn)可以確定個(gè)平面.

解析：任何三點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，從而可以確定4個(gè)平面.

答案：4

7?用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面可能是

①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形.

解析：

%—一J

0

五邊形六邊形

（注：這兒畫了其中的特例來(lái)說(shuō)明有這幾種圖形）

答案：①②③④

8?如圖，在正方體ACi中，與BQ所成角的余弦值是

解析：因?yàn)樗訬8BQ就是異面直線AAi與8。所成的角，連接BD

在中，設(shè)棱長(zhǎng)為1,則81。=小.

人BB\1小

cosZBB,D-g[￡>-^-3.

所以AA\與B\D所成的角的余弦值為坐.

答案：當(dāng)

三、解答題（每小題10分，共20分）

9?在三棱柱A8C-481G中，M，N，P分別為4G，4c和AB的中點(diǎn).求證：NPNAi

=NBCM.

證明：因?yàn)槭?，N分別為A8,AC的中點(diǎn)，

AIF--咚

所以PN//BC.?

又因?yàn)镸,N分別為4G,AC的中點(diǎn)，

所以4M觸NC.

所以四邊形AiNC”為平行四邊形，

于是4N〃MC.②

由①②及/PMh與28CM對(duì)應(yīng)邊方向相同，得NPNAi=/BCM.

10?在正方體ABC￡>—A13GD1中,

（1）求AC與A\D所成角的大??；

⑵若E，尸分別為AB，AD的中點(diǎn)，求4cl與E尸所成角的大小.

解析：（1）如圖所示，連接8C,ABi,由A8C￡>-A|BICQI是正方體,

AEB

易知4￡>〃8iC,從而81c與AC所成的角就是AC與4。所成的角.

：A2i=AC=8C,

.,.ZBiCA=60°.

即AiD與AC所成的角為60°.

（2）如圖所示，連接BC,在正方體ABCD-AiBiCQi中，

AC1.BD,AC//A\C\,

,:E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),

：.EF//BD,：.EF±AC.

：.EFLA\C\.

即4G與E尸所成的角為90°.

I能力提升1（20分鐘，40分）

11.（2017?江西師大附中月考）己知a和b是成60。角的兩條異面直線，則過(guò)空間一點(diǎn)

且與a、人都成60。角的直線共有（）

A?1條B.2條

C?3條D.4條

解析：把a(bǔ)平移至與6相交，其夾角為60。.

60。角的補(bǔ)角的平分線c與a、b成60。角.

過(guò)空間這一點(diǎn)作直線c的平行線即滿足條件.

又在60。角的“平分面”上還有兩條滿足條件，選C.

答案：C

12?（2017?江西新余一中月考）如圖所示，在空間四邊形ABC。中，E，”分別為，

AO的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是BC-CD上的點(diǎn)，且於=惡=?，若BD=6cm，梯形EFGH的

CDCL/J

面積為28cm2，則平行線EH，尸G間的距離為.

2

解析：EH=3,FG=6X1=4,

設(shè)EH,FG間的距離為h,

?(EH+FG)h八e,

則S林描EFGH=5=28,仔〃=8(cm).

答案：8cm

13?在如圖所示的正方體ABC。-A181Gd中，足，尸，Ei，尸i分別是棱本8次。，SG，

GO的中點(diǎn)，

5

求證：⑴E尸觸EiFi；

(2)ZE4|F=ZE,CF|.

證明：⑴連接8。，BQi,

在△43。中，

因?yàn)镋,尸分別為A8,4力的中點(diǎn),

所以EF%BD.

同理，E\F\

在正方體ABCO-AiBCQi中，

因?yàn)?A觸8由，41A觸。Q,所以&B缺DiD.

所以四邊形BOAS是平行四邊形，所以3。觸BQi.

所以EF觸EiQ.

(2)取4Bi的中點(diǎn)M,連接BM,F\M.

因?yàn)橛|BiCi,BiC傲BC,所以MFi修iBC.

所以四邊形BCQM是平行四邊形.所以MB〃CQ.

因?yàn)?1M觸EB,所以四邊形E8M41是平行四邊形.

所以4E〃M8,所以A[E〃CQ.

同理可證：AiF〃EiC.又NEAiF與NFiCEi兩邊的方向均相反，

所以/E4F=/ECQ.

14?如圖，尸是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D，E分別是△以B和△PBC的重心.求證:

DE//AC，DE=^AC.

證明：如圖，連接P￡),PE并延長(zhǎng)分別交AB,BC于M,N.

因?yàn)?。，E分別是△物B,△PBC的重心，所以M,N分別是AB,8c的中點(diǎn)，連接

MN,則MN//AC,且MN=/C.①

在中，因?yàn)閜湍n=我PF號(hào)2，

2

版以DE"MN,且DE與MN②

由①，②，根據(jù)公理4,得：

211

DE//AC,且DE=^X^AC=2^C.

課時(shí)作業(yè)6平行關(guān)系的判定

|基礎(chǔ)鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1?下列命題正確的是（）

A?一條直線與一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行

B?平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行

C?與兩個(gè)相交平面的交線平行的直線，必平行于這兩個(gè)平面

D?平面外兩條平行直線中的一條與這個(gè)平面平行，則另一條也與這個(gè)平面平行

解析：對(duì)于A,平面內(nèi)還存在直線與這條直線異面，錯(cuò)誤；對(duì)于B,這兩條直線還可

以相交、異面，錯(cuò)誤；對(duì)于C,這條直線還可能在其中一個(gè)平面內(nèi)，錯(cuò)誤.故選D.

答案：D

2?使平面a〃平面用的一個(gè)條件是（）

A?存在一條直線a,a//a,a//fi

B,存在一條直線a，a。a，a//￡

C?存在兩條平行直線a'b'a。a'b0B'a〃4，b//a

D?a內(nèi)存在兩條相交直線a-再別平布:月內(nèi)的兩條直線

解析：A,B,C中的條件都不一定使a〃4，反例分別為圖①②③（圖中“〃/,

D正確，因?yàn)閍〃夕，b//p,又a,人相交，從而a〃夕.

答案：D

3?在正方體EFGH—EiF0Hi中，下列四對(duì)截面彼此平行的是（）

A?平面EiFGi與平面EGHi

B-平面FHG\與平面F\H\G

C?平面F\H\E與平面FHE\

D?平面EiHGi與平面EH\G

解析：根據(jù)面面平行的判定定理，可知A正確.

答案：A

4?已知A，B是直線/外的兩點(diǎn)，則過(guò)A，B且和/平行的平面有（）

A?0個(gè)

B?1個(gè)

C?無(wú)數(shù)個(gè)

D?以上都有可能

解析：若直線AB與/相交，則過(guò)A,8不存在與/平行的平面；若AB與/異面，則

過(guò)A,B存在1個(gè)與/平行的平面；若AB與/平行，則過(guò)A,B存在無(wú)數(shù)個(gè)與/平行的平面,

所以選D.

答案：D

5?如圖，在正方體ABC。一ABC。中，E，尸分別為棱4B，CC\的中點(diǎn)，則在平面

ADD\A\內(nèi)且與平面OiEF平行的直線（）

AE

A?不存在B.有1條

C?有.2條D.有無(wú)數(shù)條

解析：在上取一點(diǎn)G,使得AG=5L4i,連接EG,DG,可證得EG〃DiF,所以

E,G,Dx,尸四點(diǎn)共面，所以在平面A￡）￡）i4內(nèi)，平行于￡>iG的直線均平行于平面OiEF,

這樣的直線有無(wú)數(shù)條.

答案：D

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.如果直線a，b相交，直線a〃平面a，則直線h與平面a的位置關(guān)系是.

解析：根據(jù)線面