大學(xué)物理上練習(xí)冊第2章《剛體定軸轉(zhuǎn)動》答案-2013

#第2章剛體定軸轉(zhuǎn)動一、選擇題1(B)，2(B)，3(C)，4(C)，5(C)、填空題(1).62.5 1.67s(2).4.0rad/..0.25kg?m2—^mgl參考解：M=JdM=J1Qgm/1》dr=—^mgl2 02(5). 2E0三、計算題1.如圖所示，半徑為0=0.3m的A輪通過皮帶被半徑為r2=0.75m的B輪帶動，B輪以勻角加速度汽rad/s2由靜止起動，輪與皮帶間無滑動發(fā)生.試求A輪達(dá)到轉(zhuǎn)速3000rev/min所需要的時間.解：設(shè)A、B輪的角加速度分別為。A和。B，由于兩輪邊緣的切向加速度相同則A輪角速度達(dá)到①所需時間為at=PAr1=PBr2PA=PBr2/ri33rt一歹一曠AB2(3000義2兀/60)x0.3 s=40s兀x0.752.一砂輪直徑為1m質(zhì)量為50kg,以900rev/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動.撤去動力后，一工件以200N的正壓力作用在輪邊緣上，使砂輪在11.8s內(nèi)停止?求砂輪和工件間的摩擦系數(shù).(砂輪軸的摩擦可忽略不計，砂輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為1mR2,其中m和R分別為砂輪的質(zhì)量和半徑).解：R=0.5m,3。=900rev/min=30汽rad/s,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 M=-JP這里 M="NRN為摩擦系數(shù)，N為正壓力，J=1mR2.設(shè)在時刻t砂輪開始停轉(zhuǎn)，則有：3=3+Pt=0t0從而得 P=-30/t將②、③、④式代入①式，得—目NR=1mR2(-0/1)20①②③④日二mR30/(2Nt戶0.5.有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為口，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度3。開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（已知圓形平板的轉(zhuǎn)動慣量J=1mR2，其中m為圓形平板的質(zhì)量）解：在廠處的寬度為”的環(huán)帶面積上摩擦力矩為?,,mg人 ,dM=U ?2兀r?rdr兀R2總摩擦力矩故平板角加速度設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n,由可得M=JRdM=—日mgRo總摩擦力矩故平板角加速度設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n,由可得貝慢角 0=2m32=2P0=4兀Mn/JoJ32c …n= o-=3R32/16n目g4兀M 0.一轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為30.設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動角速1度成正比，即M=-k3（k為正的常數(shù)），求圓盤的角速度從30變?yōu)?30時所需的時間.解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律:兩邊積分:得Jd3/dr=-k3解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律:兩邊積分:得d3 k.——=--dt3JJ3o/2ld3=-Jtkdt3o 3 0Jln2=kt/Jt=(Jln2)/k5.一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示.軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r,整個裝置架在光滑的固定軸承之上.當(dāng)物體從靜止釋放后，在時間t內(nèi)下降了一段距離S.試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量（用m、r、t和S表示）.mg-T=mamg-T=ma①Tr=JP②由運(yùn)動學(xué)關(guān)系有：a=rP③由①、②、③式解得：J=m(g—a)r2/a④解：設(shè)繩子對物體（或繩子對輪軸）的拉力為T，則根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和轉(zhuǎn)動定律得:又根據(jù)已知條件v0=01??S=—at2, a=2S/12 ⑤將⑤式代入④式得：J=mr2（會-1）2S3.如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和m2,且m1>m2,定滑輪的半徑為r,對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，輕繩與滑輪間無滑動，滑輪軸上摩擦不計.設(shè)開始時系統(tǒng)靜止，試求看時刻滑輪的角速度.解：作示力圖.兩重物加速度大小。相同，方向如圖.m1g-T1=m1aT2-m2g=m2a設(shè)滑輪的角加速度為。，則(T1—T2)r=JP且有 a=rP由以上四式消去T1,T3.如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和m2,且m1>m2,定滑輪的半徑為r,對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，輕繩與滑輪間無滑動，滑輪軸上摩擦不計.設(shè)開始時系統(tǒng)靜止，試求看時刻滑輪的角速度.解：作示力圖.兩重物加速度大小。相同，方向如圖.m1g-T1=m1aT2-m2g=m2a設(shè)滑輪的角加速度為。，則(T1—T2)r=JP且有 a=rP由以上四式消去T1,T2得：m-m)grP=t-1―)——rm+mr2+J12開始時系統(tǒng)靜止，故t時刻滑輪的角速度.TTFam2gm-m)grt3二Pt= 1 ^2 m+m)r2+J127.一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒,可繞通過其一端的豎直固定光滑軸O轉(zhuǎn)動.棒的質(zhì)量為m=1.5kg,長度為l=1.0m,對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=3ml2.初始時棒靜止.今有一水平運(yùn)動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如圖所示.子彈的質(zhì)量為m，=0.020kg,速率為v=400m?s-1.試問:m,l(1)(2)棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動時角速度3有多大？若棒轉(zhuǎn)動時受到大小為Mr=4.0N?m的恒定阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過多大的角度0?解：(1)角動量守恒：m'vl=「1, ”)—ml2+m12313

m'v

「1 A—m+m1=15.4rad?s-1(2)由轉(zhuǎn)動定律,得：1—Mr=(3ml2+ml2)p0—32=2p0-m+m'12320=13 L2Mr=15.4rad(1)兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n;(2)兩輪各自所受的沖量矩．解：(1)選擇A、B兩輪為系統(tǒng)，嚙合過程中只有內(nèi)力矩作用，JA°A+JB①B=(JA+JB)°，又％=0得： 0-JA°A/(JA+JB)=20.9rad/s轉(zhuǎn)速 n~200rev/min⑵A輪受的沖量矩「JMAdt=JA(JA+JB)=-4.19X102N?m?s負(fù)號表示與可方向相反.B輪受的沖量矩.JMBdt=JB(°-0)=4.19X102N?m?s、，，B 方向與°相同．A4.一勻質(zhì)細(xì)棒長為2乙質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點(diǎn)0發(fā)生完全非彈性碰1撞.碰撞點(diǎn)位于棒中心的一側(cè)2L處，如圖所示.求棒在碰撞后的瞬時繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度°．(細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時1的轉(zhuǎn)動慣量為3ml2，式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長度.)故系統(tǒng)角動量守恒1212J3L/2p故系統(tǒng)角動量守恒1212J3L/2pvxdx-J00L/2pvxdx=pvL2=00-mvL2 0式中P為桿的線密度.碰撞后瞬時，桿對0點(diǎn)的角動量為221(1、

+—m—L7°二一mL2°12因碰撞前后角動量守恒，所以7mL2°/12=mmvL2 0°=6v0/(7L)10.空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0,環(huán)的半徑為R,初始時環(huán)的角速度為°0.質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心0在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處的C點(diǎn)時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的,小球可視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑r<<R.)解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)．運(yùn)動過程中所受合外力矩為零,角動量守恒．對地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒．取過環(huán)心的水平面為勢能零點(diǎn)．小球到B點(diǎn)時： J0°0=(J0+mR2)° ①

—J32+mgR=200TOC\o"1-5"\h\z式中vB表示小球在B點(diǎn)時相對于地面的豎直分速度，也等于它相對于環(huán)的速度.由式①得:3=J030/（J0+mR2） 1分.J32R2 ,代入式②得 v=2gR+-0- 當(dāng)小球滑b mR2+J0 0即：到。點(diǎn)時，由角動量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復(fù)至30，又由機(jī)械能守恒定律知，小球在C的動能完全由重力勢能轉(zhuǎn)換而來.即：mmv2=mg（2R）v2c 'c四研討題.計算一個剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量時，一般能不能認(rèn)為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心，成為質(zhì)點(diǎn)，然后計算這個質(zhì)點(diǎn)對該軸的轉(zhuǎn)動慣量？為什么？舉例說明你的結(jié)論。參考解答：不能? v因為剛體的轉(zhuǎn)動慣量入r2Am與各質(zhì)量元和它們對轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān).如一勻質(zhì)圓盤對ii過其中心且垂直盤面軸的轉(zhuǎn)動慣量為1mR2，若按質(zhì)量全部集中于質(zhì)心計算，則對同一軸的轉(zhuǎn)動慣量為零..剛體定軸轉(zhuǎn)動時，它的動能的增量只決定于外力對它做的功而與內(nèi)力的作用無關(guān)。對于非剛體也是這樣嗎？為什么？參考解答：根據(jù)動能定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的動能增量不僅決定于外力做的功，還決定于內(nèi)力做的功。由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定，或說在運(yùn)動過程中兩質(zhì)量元的相對位移為零，所以每一對內(nèi)力做功之和都為零。故剛體定軸轉(zhuǎn)動時，動能的增量就只決定于外力的功而與內(nèi)力的作用無關(guān)了。非剛體的各質(zhì)量元間一般都會有相對位移，所以不能保證每一對內(nèi)力做功之和都為零，故動能的增量不僅決定于外力做的功還決定于內(nèi)力做的功。.乒乓球運(yùn)動員在臺面上搓動乒乓球，為什么乒乓球能自動返回？參考解答：分析：乒乓球（設(shè)乒乓球為均質(zhì)球殼）的運(yùn)動可分解為球隨質(zhì)心的平動和繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動.乒乓球在臺面上滾動時，受到的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平動的初始速度v的方向如圖，則摩擦力F的方向一定向后.摩擦力的作用有二，對質(zhì)心的運(yùn)動來說，它使質(zhì)心平動的速度v逐漸減??；對繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動來說，它將使轉(zhuǎn)動的角速度3逐漸變小. \v當(dāng)質(zhì)心平動的速度v=0而角速度3W0時，乒乓「認(rèn)匚一尸球?qū)⒎祷?因此，要使乒乓球能自動返回，初始速度v c和初始角速度3。的大小應(yīng)滿足一定的關(guān)系.解題：由質(zhì)心運(yùn)動定理:-F=mdvcr dt

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