專(zhuān)題勾股定理培優(yōu)版綜合

專(zhuān)題勾股定理在動(dòng)態(tài)幾何中的應(yīng)用一.勾股定理與對(duì)稱(chēng)變換〔一〕動(dòng)點(diǎn)證明題1.如圖，在△ABC中，AB=AC，〔1〕假設(shè)P為邊BC上的中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：BP×CP=AB2-AP2；〔2〕假設(shè)P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立請(qǐng)證明，假設(shè)不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；AABPC〔3〕假設(shè)P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.〔二〕最值問(wèn)題2.如圖，E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AE=3，BE=1，P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是3.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD〔不含B點(diǎn)〕上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.〔1〕求證：△AMB≌△ENB；EEADBCCNM〔2〕①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最??；EADBCCEADBCCNM〔3〕當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).EEADBCCNM4.問(wèn)題：如圖①，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，假設(shè)∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長(zhǎng)．小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對(duì)稱(chēng)，把△ADC進(jìn)展翻折，再經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算使問(wèn)題得到解決．〔1〕請(qǐng)你答復(fù)：圖中BD的長(zhǎng)為；〔2〕參考小明的思路，探究并解答問(wèn)題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，假設(shè)∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長(zhǎng)．圖①圖②二.勾股定理與旋轉(zhuǎn)5.閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC〔其中∠BAC是一個(gè)可以變化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值。小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A’BC,連接,當(dāng)點(diǎn)A落在上時(shí),此題可解〔如圖2〕．請(qǐng)你答復(fù)：AP的最大值是．參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決以下問(wèn)題：如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4,P為△ABC部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是.〔結(jié)果可以不化簡(jiǎn)〕6.如圖，P是等邊三角形ABC一點(diǎn)，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度數(shù).變式1：?ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，點(diǎn)P是?ABC一點(diǎn)，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度數(shù)CCBAP變式2：?jiǎn)栴}：如圖1，P為正方形ABCD一點(diǎn)，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度數(shù)．小娜同學(xué)的想法是：不妨設(shè)PA=1，PB=2，PC=3，設(shè)法把PA、PB、PC相對(duì)集中，于是他將△BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAE〔如圖2〕，然后連結(jié)PE，問(wèn)題得以解決．請(qǐng)你答復(fù)：圖2中∠APB的度數(shù)為．請(qǐng)你參考小娜同學(xué)的思路，解決以下問(wèn)題：如圖3，P是等邊三角形ABC一點(diǎn)，∠APB=115°，∠BPC=125°．〔1〕在圖3中畫(huà)出并指明以PA、PB、PC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形〔保存畫(huà)圖痕跡〕；〔2〕求出以PA、PB、PC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的各角的度數(shù)分別等于．圖1圖2圖37.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為，半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N．〔1〕當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACE的部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：；CCABEFMN圖①〔2〕當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí)，關(guān)系式是否仍然成立？假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．CCABEFMN圖②變式1：如圖，在中,且,,則=變式2：如圖，在Rt△ABC中，，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△，連接，以下結(jié)論：BCDEFABCDEFA②△≌△；③；④其中正確的選項(xiàng)是〔〕 A．②④；B．①④；C．②③；D．①③〔三〕其它應(yīng)用7.在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小寶同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格〔每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1〕，再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)〔即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處〕，如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．〔1〕請(qǐng)你將的面積直接填寫(xiě)在橫線上__________________；思維拓展：〔2〕我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．假設(shè)三邊的長(zhǎng)分別為、、〔〕，請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格〔每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為〕畫(huà)出相應(yīng)的，并求出它的面積填寫(xiě)在橫線上__________________；探索創(chuàng)新：〔3〕假設(shè)中有兩邊的長(zhǎng)分別為、〔〕，且的面積為，試運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3的正方形網(wǎng)格〔每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為〕中畫(huà)出所有符合題意的(全等的三角形視為同一種情況)，并求出它的第三條邊長(zhǎng)填寫(xiě)在橫線上__________________．8.∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)〔點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合〕，分別以AB、AP為邊在∠ABC的部作等邊△ABE和△APQ,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F.〔1〕如圖1，假設(shè)AB=，點(diǎn)A、E、P