專題特殊平行四邊形中的最值定值問題教師版

專項(xiàng)03特殊平行四邊形中的最值、定值問題【典型例題】9．（·萬杰朝陽學(xué)校）如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重疊），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．則EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6【解析】如圖，連接PA．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四邊形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴當(dāng)PA最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)AP⊥CB時(shí)，PA最小，∵AB?AC=BC?AP，即AP==4.8，∴線段EF長的最小值為4.8；故選B．2.（·余干縣第二中學(xué)期末）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16，對角線AC，BD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積．(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE＋OF的值與否發(fā)生變化？請闡明理由．(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD的延長線上時(shí)，OE＋OF的值與否發(fā)生變化？若不變，請闡明理由；若變化，請?zhí)骄縊E，OF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，由勾股定理得AG＝，因此AC＝2AG＝2×6＝12.因此菱形ABCD的面積＝AC·BD＝×12×16＝96.(2)不發(fā)生變化．理由以下：如圖①，連接AO，則S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，因此BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.解得OE＋OF＝9.6，是定值，不變．(3)發(fā)生變化．如圖②，連接AO，則S△ABD＝S△ABO－S△AOD，因此BD·AG＝AB·OE－AD·OF.即×16×6＝×10·OE－×10·OF.解得OE－OF＝9.6，是定值，不變．因此OE＋OF的值發(fā)生變化，OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系為OE－OF＝9.6.【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、選擇題1．（·安徽和縣）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】作F點(diǎn)有關(guān)BD的對稱點(diǎn)F′，則PF=PF′，連接EF′交BD于點(diǎn)P．∴EP+FP=EP+F′P．由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F′在一條直線上時(shí)，EP+FP的值最小，此時(shí)EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四邊形ABCD為菱形，周長為12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四邊形AEF′D是平行四邊形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值為3．故選C．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題2．（·江蘇淮陰）如圖，由兩個(gè)長為9，寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD面積的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．20【解析】如圖1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩個(gè)矩形的寬都是3，∴AE=AF=3，∵S四邊形ABCD=AE?BC=AF?CD，∴BC=CD，∴平行四邊形ABCD是菱形．如圖2，設(shè)AB=BC=x，則BE=9?x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=(9?x)2+32，解得x=5，∴四邊形ABCD面積的最大值是：5×3=15.故選A.3．（·江西九江初三零模）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=120°，M是BC邊的一種三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，PM的長是（）A． B． C． D．【解析】連接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D有關(guān)AC對稱，∴PB+PM=PD+PM，∴當(dāng)D、P、M共線時(shí)，P′B+P′M=DM的值最小，∵CM=BC=2，∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°，∴△DBC是等邊三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=，在Rt△DMH中，DM===，∵CM∥AD，∴==，∴P′M=DM=．故選A．4．（·全國單元測試）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A．2 B．23 C．4 D．2+32【解析】作點(diǎn)P有關(guān)BD的對稱點(diǎn)P′,作P′Q⊥CD交BD于K,交CD于Q,∵AB=4,∠A=120°，∴點(diǎn)P′到CD的距離為4×32=23，∴PK+QK的最小值為23，故選：B5．（·浙江錦繡育才教育科技集團(tuán)有限公司初三二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為（）A． B． C．5 D．解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB?h=AB?AD，∴h=AD=2，∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A有關(guān)直線l的對稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE===，即PA+PB的最小值為．故選D6．（·朝陽市英德中學(xué)初三零模）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊上一動(dòng)點(diǎn)，矩形兩邊長AB、BC長分別為15和20，那么P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A．6 B．12 C．24 D．不能擬定【解析】連接OP，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝S矩形ABCD，∴OA＝OD＝AC，∵AB＝15，BC＝20，∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75，∴OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA?PE+OD?PF＝OA?（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75，∴PE+PF＝12．∴點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是12．故選B．7．（·常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P是CD邊上的中點(diǎn)，E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，M,N分別是AE、PE的中點(diǎn)，則隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，線段MN長為（）A． B． C． D．不擬定【解析】連接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD邊上的中點(diǎn)，∴DP=2，∴AP=∵M(jìn)，N分別是AE、PE的中點(diǎn)，∴MN是△AEP的中位線，∴MN=AP=．故選A．8．（·沈陽市第八十五中學(xué)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF等于（）A． B． C． D．【解析】解析：由于AB=3，AD=4，因此AC=5，，由圖可知，AO=BO，則，因此，故本題應(yīng)選B.9．（·張家界市民族中學(xué)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對角線AC上的一種動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D有關(guān)AC對稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故選A．10．（·河北孟村期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（）．A．3 B．4 C．5 D．【解析】如圖，連接BM∵點(diǎn)B和點(diǎn)D有關(guān)直線AC對稱，NB=ND則BM就是DN+MN的最小值∵正方形ABCD的邊長是4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故選C．11．（·山東羅莊期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8，E為AB上一點(diǎn)，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，則EF+EG=()A．4 B．8 C． D．【解析】解：如圖，連接0E，∵四邊形ABCD是正方形，邊長為8，∴AC=BD=8,∴OA=OB=4,又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，∴即∴EF+EG=4故答案為：D12．（·商丘綜合實(shí)驗(yàn)中學(xué)初中部月考）如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A．3 B．2 C．3 D．23【解析】解：連接BD，與AC交于點(diǎn)F．∵點(diǎn)B與D有關(guān)AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=2．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值為2．故選B．13．（·江蘇海安期中）如圖，E是邊長為4的正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BR于點(diǎn)R，則PQ+PR的值是（）A．2 B．2 C．2 D．【解析】如圖，連接BP，設(shè)點(diǎn)C到BE的距離為h，則S△BCE=S△BCP+S△BEP,即BE?h=BC?PQ+BE?PR，∵BE=BC，∴h=PQ+PR，∵正方形ABCD的邊長為4，∴h=4×=.故答案為.二、填空題14．（·陜西隴縣期末）如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為，E為AB的中點(diǎn)，若P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為______．【解析】解：如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重疊，∵A、C有關(guān)BD對稱，∴當(dāng)P與P′重疊時(shí)，PA′+P′E的值最小，∵菱形ABCD的周長為16，面積為8，∴AB=BC=4，AB·CE′=8，∴CE′=2，由此求出CE的長=2．答案為2．15．（·孟津縣黃鹿山鄉(xiāng)二中期中）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，∠EAF=60°，則△AEF的面積最小值是___．【解析】試題解析：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∵當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AB=4，∴AE=2，∴△AEF的面積最小值=.16．（·常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則線段A′C長度的最小值是______．【解析】解：如圖所示：∵M(jìn)A′是定值，A′C長度取最小值時(shí)，即A′在MC上時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴，∴A′C=MC﹣MA′=．故答案為．17．（·全國學(xué)時(shí)練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F、G分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則EG+FG的最小值為________．解：作點(diǎn)E有關(guān)BD的對稱點(diǎn)E′，連接E′F與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G，如圖，∵AB=4，∠ABC=60°，

∴點(diǎn)E′到CD的距離為4×，∴EG+FG的最小值為．故答案為：．18．（·遼寧昌圖初三月考）如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC＝120°,E,F分別為AD,CD上的動(dòng)點(diǎn),且AE+CF=2,則線段EF長的最小值是__________．

【解析】試題解析：∵四邊形是邊長為2的菱形,∴都是邊長為2的正三角形，又在和中，又是正三角形，當(dāng)即E為AD的中點(diǎn)時(shí),BE的最小值為,∴EF的最小值為.故答案為：.19．（·木蘭縣吉興鄉(xiāng)吉興中學(xué)期末）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為_____．【解析】∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°.又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP.∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴AM=EF=AP.由于AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，∴AM的最小值是1.2.20．（·河南洛寧期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是邊BC上的一點(diǎn)且BE＝1，P為對角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PE，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBE周長的最小值是____．【解析】連接DE于AC交于點(diǎn)P′，連接BP′，則此時(shí)△BP′E的周長就是△PBE周長的最小值，∵BE=1，BC=CD=4，∴CE=3，DE=5，∴BP′+P′E=DE=5，∴△PBE周長的最小值是5+1=6，故答案為6．21．（·山東歷下期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重疊），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為．【解析】試題解析：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大時(shí)，EF最大，∵N與B重疊時(shí)DN最大，此時(shí)DN=DB==6，∴EF的最大值為322．（·山東鄒城初三其它）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重疊），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是_____．解：如圖1所示，作E有關(guān)BC的對稱點(diǎn)E′，點(diǎn)A有關(guān)DC的對稱點(diǎn)A′，連接A′E′，四邊形AEPQ的周長最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中點(diǎn)，∴DQ是△AA′E′的中位線，∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴，即，BP=，CP=BC﹣BP==，S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD?DQ﹣CQ?CP﹣BE?BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，故答案為．三、解答題23．（·山東青島經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)初三單元測試）如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，對角線BD=8，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，對角線BD=8，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．(1)對角線AC的長是________，菱形ABCD的面積是________；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OF的值與否發(fā)生變化？請闡明理由；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD的延長線上時(shí)，OE+OF的值與否發(fā)生變化？若不變請闡明理由，若變化，請直接寫出OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系，不用明理由．解：（1）如圖，連接AC與BD相交于點(diǎn)G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×8=4，由勾股定理得，AG=3，∴AC=2AG=2×3=6，菱形ABCD的面積=AC?BD=×6×8=24；故答案為6；24；（2）如圖1，連接AO，則S△ABD=S△ABO+S△ADO，∴BD?AG=AB?OE+AD?OF，即×8×3=×5?OE+×5?OF，解得OE+OF=4.8是定值，不變；（3）如圖2，連接AO，則S△ABD=S△ABO-S△ADO，∴BD?AG=AB?OE-AD?OF，即×8×3=×5?OE-×5?OF，解得OE-OF=4.8，是定值，不變，∴OE+OF的值變化，OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系為：OE-OF=4.8．24．（·廣東期中）如圖，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，P