2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題6.4 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形2．（2021·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形3．（2021·遼寧高三其他模擬）英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，分別延長(zhǎng)三邊兩端，使其距離等于對(duì)邊的長(zhǎng)度，如圖所示，所得六點(diǎn)仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱(chēng)為康威圓．現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀(guān)測(cè)儀器的垂直彈射高度：在處（點(diǎn)在水平地面的下方，為與水平地面的交點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀(guān)察點(diǎn)，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠(yuǎn)40米．地測(cè)得該儀器在處的俯角為，地測(cè)得最高點(diǎn)的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米5．（2021·山東省青島第一中學(xué)高一期中）如圖所示，為測(cè)量山高選擇A和另一座山的山頂為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及從點(diǎn)測(cè)得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D的測(cè)得點(diǎn)A的在東偏南方向上過(guò)一分鐘后測(cè)得點(diǎn)B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車(chē)的行駛速度為（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒7．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（文））說(shuō)起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶(hù)曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國(guó)革命的搖籃，見(jiàn)證了中國(guó)革命的進(jìn)程，在中國(guó)老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡處測(cè)得，從處沿山坡往上前進(jìn)到達(dá)處，在山坡處測(cè)得，則寶塔的高為（）A． B． C． D．8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，則的最大值是____________．9．（湖北高考真題））如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°10．（寧夏高考真題）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A(yíng)，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M，N間的距離的步驟.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川自貢市·高三三模（文））如圖，在山腳A處測(cè)得山頂P的仰角為α，沿傾角為β的斜坡向上走b米到B處，在B處測(cè)得山頂P的仰角為γ（A、B、P、Q共面）則山高P等于（）米．A．B．C．D．2.（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（理））在如圖所示四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為_(kāi)_______.3．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））南宋數(shù)學(xué)家秦九韶著有《數(shù)書(shū)九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”，被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”．他所論的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”，被稱(chēng)為“秦九韶程序”．世界各國(guó)從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．科學(xué)史家稱(chēng)秦九韶：“他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”．在《數(shù)書(shū)九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜幫，減上，余四約之，為實(shí)：一為從隅，開(kāi)平方得積可用公式（其中a，b，c，S為三角形的三邊和面積）表示．在中，a，b，c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，若，且則面積的最大值為_(kāi)_____．4．（2021·河南高二月考（文））為測(cè)量山高.選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得N點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得.已知山高米.則所求山高為_(kāi)__________米.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）在中，已知且.（1）試確定的形狀；（2）求的取值范圍.6．（2021·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三其他模擬）如圖四邊形中，，，，、，.（1）求；（2）求面積的最大值.從①且為銳角；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答7．（2021·全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為了檢測(cè)某工業(yè)區(qū)的空氣質(zhì)量，在點(diǎn)A處設(shè)立一個(gè)空氣監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向點(diǎn)B處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了使監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿(mǎn)足，，設(shè)．（1）當(dāng)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)為何值時(shí)，線(xiàn)段最長(zhǎng)．8．（2021·江蘇高一月考）緝私船在A(yíng)處測(cè)出某走私船在方位角為(航向)，距離為10海里的C處，并測(cè)得走私船正沿方位角的方向以9海里/時(shí)的速度沿直線(xiàn)方向航行逃往相距27海里的陸地D處，緝私船立即以v海里/時(shí)的速度沿直線(xiàn)方向前去截獲.(方位角：從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)起，依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線(xiàn)之間的水平夾角)（1）若，求緝私船航行的方位角正弦值和截獲走私船所需的時(shí)間；（2）緝私船是否有兩種不同的航向均恰能成功截獲走私船？若能，求v的取值范圍，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（2021·廣東汕頭市·高三二模）隨著人們生活水平的不斷提高，人們對(duì)餐飲服務(wù)行業(yè)的要求也越來(lái)越高，由于工作繁忙無(wú)法抽出時(shí)間來(lái)享受美食，這樣網(wǎng)上外賣(mài)訂餐應(yīng)運(yùn)而生.現(xiàn)有美團(tuán)外賣(mài)送餐員小李在A(yíng)地接到兩份外賣(mài)單，他須分別到B地?D地取餐，再將兩份外賣(mài)一起送到C地，運(yùn)餐過(guò)程不返回A地.A，B，C，D各地的示意圖如圖所示，，，，，，假設(shè)小李到達(dá)B?D兩地時(shí)都可以馬上取餐(取餐時(shí)間忽略不計(jì))，送餐過(guò)程一路暢通.若小李送餐騎行的平均速度為每小時(shí)20千米，請(qǐng)你幫小李設(shè)計(jì)出所有送餐路徑(如：)，并計(jì)算各種送餐路徑的路程，然后選擇一條最快送達(dá)的送餐路徑，并計(jì)算出最短送餐時(shí)間為多少分鐘.(各數(shù)值保留3位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：，)10．（2021·江蘇揚(yáng)州市·揚(yáng)州中學(xué)高三其他模擬）如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在道路上（異于，兩點(diǎn)），，．（1）用表示直道的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在區(qū)域內(nèi)種植觀(guān)賞植物，在區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物．已知種植觀(guān)賞植物的成本為每平方百米2萬(wàn)元，種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百米1萬(wàn)元，新建道路的成本為每百米1萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．2.（2021·全國(guó)高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．4733.（2021·全國(guó)高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線(xiàn)上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為“表目距”，與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距4.（2021·浙江高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.5．（2021·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大??；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)為；③面積為；6.（上海高考真題）如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過(guò)小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線(xiàn)是，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線(xiàn)是，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話(huà)距離是3千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過(guò)3？說(shuō)明理由.專(zhuān)題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通過(guò)“邊化角”，再通過(guò)輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因?yàn)?所以,所以，移項(xiàng)得：,所以三角形一定為直角三角形.故選：B2．（2021·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一期末（理））在中，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通過(guò)“邊化角”，再通過(guò)輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因?yàn)?所以,所以，移項(xiàng)得：,所以三角形一定為直角三角形.故選：B3．（2021·遼寧高三其他模擬）英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，分別延長(zhǎng)三邊兩端，使其距離等于對(duì)邊的長(zhǎng)度，如圖所示，所得六點(diǎn)仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱(chēng)為康威圓．現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，據(jù)此可得圓的半徑，進(jìn)一步可求其面積.【詳解】康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為，故面積為．故選:C.4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀(guān)測(cè)儀器的垂直彈射高度：在處（點(diǎn)在水平地面的下方，為與水平地面的交點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀(guān)察點(diǎn)，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠(yuǎn)40米．地測(cè)得該儀器在處的俯角為，地測(cè)得最高點(diǎn)的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，進(jìn)而在中可求出，再在中求出，即可得解．【詳解】設(shè)，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案為：C．5．（2021·山東省青島第一中學(xué)高一期中）如圖所示，為測(cè)量山高選擇A和另一座山的山頂為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及從點(diǎn)測(cè)得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D的測(cè)得點(diǎn)A的在東偏南方向上過(guò)一分鐘后測(cè)得點(diǎn)B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車(chē)的行駛速度為（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，再除以時(shí)間即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由B處在山頂俯角為，所以，由A東偏南，B東偏南，所以，所以為等腰三角形，所以，由，所以速度為米/秒，故選：A7．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（文））說(shuō)起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶(hù)曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國(guó)革命的搖籃，見(jiàn)證了中國(guó)革命的進(jìn)程，在中國(guó)老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡處測(cè)得，從處沿山坡往上前進(jìn)到達(dá)處，在山坡處測(cè)得，則寶塔的高為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，在中利用正弦定理可求得.【詳解】由題可知，，則，，設(shè)坡角為，則由題可得，則可求得，在中，，由正弦定理可得，即，解得，故寶塔的高為44m.故選：A.8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，則的最大值是____________．【答案】【解析】由，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及余弦定理可得，進(jìn)而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，根據(jù)余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，此時(shí)角取得最大值為，所以的最大值是，故答案為：9．（湖北高考真題））如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°【答案】100【解析】由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因?yàn)?所以,應(yīng)填1006.10．（寧夏高考真題）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A(yíng)，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M，N間的距離的步驟.【答案】見(jiàn)解析【解析】要求長(zhǎng)度，需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1B點(diǎn)到M，N的俯角α2,β2；A，②第一步：計(jì)算AM.由正弦定理AM=d第二步：計(jì)算AN.由正弦定理AN=d第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN=練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川自貢市·高三三模（文））如圖，在山腳A處測(cè)得山頂P的仰角為α，沿傾角為β的斜坡向上走b米到B處，在B處測(cè)得山頂P的仰角為γ（A、B、P、Q共面）則山高P等于（）米．A．B．C．D．【答案】A【解析】已知仰角為，的傾斜角，在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，用正弦定理可?jì)算出高度.【詳解】由題意可知，，，分別在，中，，，所以，又，在中，由正弦定理可得，即，，在中，.故選：A.2.（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（理））在如圖所示四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】由已知條件可得，，，應(yīng)用三角形面積公式求，，即可求四邊形的面積.【詳解】由題意，知：，且，，∴，，∴四邊形的面積.故答案為：3．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））南宋數(shù)學(xué)家秦九韶著有《數(shù)書(shū)九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”，被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”．他所論的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”，被稱(chēng)為“秦九韶程序”．世界各國(guó)從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．科學(xué)史家稱(chēng)秦九韶：“他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”．在《數(shù)書(shū)九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜幫，減上，余四約之，為實(shí)：一為從隅，開(kāi)平方得積可用公式（其中a，b，c，S為三角形的三邊和面積）表示．在中，a，b，c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，若，且則面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件得到的關(guān)系式，將的關(guān)系式代入所給的面積公式中，將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸求解出面積的最大值即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，有最大值為，故答案為：.4．（2021·河南高二月考（文））為測(cè)量山高.選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得N點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得.已知山高米.則所求山高為_(kāi)__________米.【答案】【解析】在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.【詳解】由題，在中，，，在中，，，則，由正弦定理可得，即，解得，又在中，，，所以所求山高為米.故答案為：.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）在中，已知且.（1）試確定的形狀；（2）求的取值范圍.【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)整理得到即可判斷三角形的形狀；（2）由正弦定理將表示成，接著根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)求解取值范圍即可.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，所以①因?yàn)?，所以所以，②把②代入①得所以是直角三角形?）由（1）知，所以所以.根據(jù)正弦定理得因?yàn)椋约吹娜≈捣秶?6．（2021·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三其他模擬）如圖四邊形中，，，，、，.（1）求；（2）求面積的最大值.從①且為銳角；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，；（2）.【解析】（1）選①：利用三角形的面積公式求出，結(jié)合為銳角求出的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；選②：利用余弦定理計(jì)算得出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；選③：求出，利用余弦定理計(jì)算得出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，再利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）選①，，是銳角，，由余弦定理可得，則，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；選②：，，，由余弦定理可得，則，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；選③：，由余弦定理可得，，，，則是四邊形的外接圓直徑，是的外接圓直徑，；（2）由（1），，在中，由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，.7．（2021·全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為了檢測(cè)某工業(yè)區(qū)的空氣質(zhì)量，在點(diǎn)A處設(shè)立一個(gè)空氣監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向點(diǎn)B處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了使監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿(mǎn)足，，設(shè)．（1）當(dāng)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)為何值時(shí)，線(xiàn)段最長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）時(shí)，最長(zhǎng)為.【解析】（1）利用余弦定理求出，即得解；（2）先求出，設(shè),，，利用余弦定理求出即得解.【詳解】（1）在△中，由余弦定理得所以.所以四邊形的面積.（2）由題得所以，設(shè),，所以，所以所以，因?yàn)?，所以時(shí)，最長(zhǎng)為.8．（2021·江蘇高一月考）緝私船在A(yíng)處測(cè)出某走私船在方位角為(航向)，距離為10海里的C處，并測(cè)得走私船正沿方位角的方向以9海里/時(shí)的速度沿直線(xiàn)方向航行逃往相距27海里的陸地D處，緝私船立即以v海里/時(shí)的速度沿直線(xiàn)方向前去截獲.(方位角：從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)起，依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線(xiàn)之間的水平夾角)（1）若，求緝私船航行的方位角正弦值和截獲走私船所需的時(shí)間；（2）緝私船是否有兩種不同的航向均恰能成功截獲走私船？若能，求v的取值范圍，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1），；（2）能，．【解析】（1）在中，由正弦定理得緝私船航行的方位角正弦值；在中，由余弦定理建立方程，即可求出截獲走私船所需的時(shí)間；（2）由（1）知，利用換元法得到關(guān)于的方程在必有兩不同的實(shí)根，即可求解．【詳解】（1）設(shè)緝私船在B處截獲走私船，所需的時(shí)間為，依題意，得，在中，由正弦定理得，，方位角為，，在中，由余弦定理得，，當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值已舍），即截獲走私船所需時(shí)間為．（2）由（1）知，，即，因?yàn)樽咚酱嚯x陸地27海里以9海里/時(shí)的速度航行，所以要能截獲需在3小時(shí)之內(nèi)，令，若緝私船有兩種不同的航向均能成功截獲走私船，則關(guān)于的方程在必有兩不同的實(shí)根，則解得，9．（2021·廣東汕頭市·高三二模）隨著人們生活水平的不斷提高，人們對(duì)餐飲服務(wù)行業(yè)的要求也越來(lái)越高，由于工作繁忙無(wú)法抽出時(shí)間來(lái)享受美食，這樣網(wǎng)上外賣(mài)訂餐應(yīng)運(yùn)而生.現(xiàn)有美團(tuán)外賣(mài)送餐員小李在A(yíng)地接到兩份外賣(mài)單，他須分別到B地?D地取餐，再將兩份外賣(mài)一起送到C地，運(yùn)餐過(guò)程不返回A地.A，B，C，D各地的示意圖如圖所示，，，，，，假設(shè)小李到達(dá)B?D兩地時(shí)都可以馬上取餐(取餐時(shí)間忽略不計(jì))，送餐過(guò)程一路暢通.若小李送餐騎行的平均速度為每小時(shí)20千米，請(qǐng)你幫小李設(shè)計(jì)出所有送餐路徑(如：)，并計(jì)算各種送餐路徑的路程，然后選擇一條最快送達(dá)的送餐路徑，并計(jì)算出最短送餐時(shí)間為多少分鐘.(各數(shù)值保留3位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)正弦定理先求解出的值，再根據(jù)余弦定理求解出的值，然后分析每條送餐路徑的路程并確定出最短送餐路徑對(duì)應(yīng)的送餐時(shí)間.【詳解】解：在中，由正弦定理可知：，即：，解得：，由，即：，解得：，(由余弦定理可得，解得或者，)在中，由余弦定理可知：即，解得或(舍)；①若送餐路徑為：，則總路程=②若送餐路徑為：，則總路程=③若送餐路徑為：，則總路程=④若送餐路徑為：，則總路程=所以最短送餐路徑為，此路徑的送餐時(shí)間為：(分鐘).10．（2021·江蘇揚(yáng)州市·揚(yáng)州中學(xué)高三其他模擬）如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在道路上（異于，兩點(diǎn)），，．（1）用表示直道的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在區(qū)域內(nèi)種植觀(guān)賞植物，在區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物．已知種植觀(guān)賞植物的成本為每平方百米2萬(wàn)元，種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百米1萬(wàn)元，新建道路的成本為每百米1萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值．【答案】（1），；（2）萬(wàn)元．【解析】（1）根據(jù)解三角形和正弦定理可得，，（2）分別求出，，可得，設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用之和為，可得，，利用導(dǎo)數(shù)求出最值.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，∵，，，∴，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理可得，∴，，（2）在中，由正弦定理可得，∴，∴，又∴，設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用之和為，則，，∴，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，即三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為萬(wàn)元．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A2.（2021·全國(guó)高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】通過(guò)做輔助線(xiàn)，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【詳解】過(guò)作，過(guò)作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故選：B．3.（2021·全國(guó)高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線(xiàn)上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為“表目距”，與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.4.（2021·浙江高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.【答案】25【解析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.5．（2021·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大??；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)為；③面積為；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【解析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：.6.（上海高考真題）如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過(guò)小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線(xiàn)是，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線(xiàn)是，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話(huà)距離是3千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過(guò)3？說(shuō)明理由.【答案】（1），千米；（2）超過(guò)了3千米.【解析】（1），設(shè)此時(shí)甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則千米，所以千米.（2）當(dāng)時(shí)，乙在上的點(diǎn)，設(shè)甲在點(diǎn)，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，乙在點(diǎn)不動(dòng)，設(shè)此時(shí)甲在點(diǎn)，所以.所以.所以當(dāng)時(shí),，故的最大值超過(guò)了3千米.專(zhuān)題7.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出，則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B．a(chǎn)n=an-1，a1=1(n≥2)是遞推公式C．給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項(xiàng)公式法D．a(chǎn)n=2an-1，a1=2(n≥2)是遞推公式3．（2019·綏德中學(xué)高二月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．4．（2021·浙江杭州市·杭州高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）在數(shù)列中，，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（）A． B．C． D．若，則5．（2021·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高一期中）數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（）A． B． C． D．6．（2021·河南高二三模（理））分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖.若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（）A．55 B．58 C．60 D．627．（2021·河南高三其他模擬（文））數(shù)列滿(mǎn)足遞推公式，且，，則（）A．1010 B．2020 C．3030 D．40408.（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列滿(mǎn)足，，，若存在正整數(shù)，使得，則（）A． B． C． D．9.（2021·云南曲靖一中高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______．10.（山東省單縣第五中學(xué)月考）數(shù)列的通項(xiàng)，試問(wèn)該數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））數(shù)列滿(mǎn)足，則的值為（）A． B． C． D．2．（2020·四川涼山·期末（文））德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列中必存在值為1的項(xiàng)．若，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．43.（2021·遼寧高二月考）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其部分項(xiàng)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此規(guī)律得到以下結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， D．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，5．（2020·四川高一期末（理））已知數(shù)列滿(mǎn)足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．（2021·四川成都市·樹(shù)德中學(xué)高三其他模擬（理））已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿(mǎn)足，前項(xiàng)和為滿(mǎn)足；數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)任意的?都有：，則數(shù)列的第47項(xiàng)的值為（）A．384 B．47 C．49 D．3767．【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．8．【多選題】（2021·福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬）斐波那契螺旋線(xiàn)，也稱(chēng)“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線(xiàn)，自然界中存在許多斐波那契螺旋線(xiàn)的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，然后在正方形里面畫(huà)一個(gè)90度的扇形，連起來(lái)的弧線(xiàn)就是斐波那契螺旋線(xiàn).它來(lái)源于斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)的正方形所對(duì)應(yīng)扇形面積記為，則（）A． B．C． D．9．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿(mǎn)足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．2.（2019·浙江高考真題）設(shè)，數(shù)列中，，,則（）A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)3．（2017·全國(guó)高考真題（理））（2017新課標(biāo)全國(guó)I理科）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類(lèi)推.求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A．440B．330C．220D．1104．（2020·全國(guó)高考真題（理））0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿(mǎn)足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿(mǎn)足的序列是（）A． B． C． D．5．（2020·全國(guó)高考真題（文））數(shù)列滿(mǎn)足，前16項(xiàng)和為540，則______________.6.（2021·全國(guó)高考真題）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.專(zhuān)題7.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出，則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】利用an=an-1+an-2(n>2)逐項(xiàng)求解即可求得答案.【詳解】解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.答案：C.2．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B．a(chǎn)n=an-1，a1=1(n≥2)是遞推公式C．給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項(xiàng)公式法D．a(chǎn)n=2an-1，a1=2(n≥2)是遞推公式【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)列的概念及遞推公式的概念逐項(xiàng)排除答案，得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)遞推公式和數(shù)列的第一項(xiàng)，我們也可以確定數(shù)列，故A正確；an=an-1(n≥2)與an=2an-1(n≥2)，這兩個(gè)關(guān)系式雖然比較特殊，但都表示的是數(shù)列中的任意項(xiàng)與它的前后項(xiàng)間的關(guān)系，且都已知a1，所以都是遞推公式.故B,D正確；通過(guò)圖象、列表、通項(xiàng)公式我們可以確定一個(gè)數(shù)列，但是還可以有其他形式，比如列舉法，故C錯(cuò)誤；故選：C.3．（2019·綏德中學(xué)高二月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性可，同理得，可知周期為4，．4．（2021·浙江杭州市·杭州高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）在數(shù)列中，，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（）A． B．C． D．若，則【答案】D【解析】依題意可得，設(shè)，即可判斷A，利用特殊值法判斷B、C，由，可得遞增，根據(jù)即可證明D；【詳解】解：由得，設(shè)，則，故A錯(cuò)．取，知B錯(cuò)，時(shí)，數(shù)列不滿(mǎn)足，知C錯(cuò)．對(duì)于D，由，知遞增，所以，知D正確；故選：D5．（2021·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高一期中）數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再找出數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，，，，，，所以?shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以故選：A6．（2021·河南高二三模（理））分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖.若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，由題意可得，根據(jù)初始值，由此遞推，不難得出所求.【詳解】已知表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈2個(gè)黑圈，∴，又∵;;;;;,故選：A.7．（2021·河南高三其他模擬（文））數(shù)列滿(mǎn)足遞推公式，且，，則（）A．1010 B．2020 C．3030 D．4040【答案】B【解析】已知條件可化為左右兩端同乘以有，即，，…，，通過(guò)累加求和，計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，…，，將以上式子累加得．由得．令，有．故選：B.8.（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列滿(mǎn)足，，，若存在正整數(shù)，使得，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，則有，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，得，同理有，又因?yàn)?，故，所?故選D.9.（2021·云南曲靖一中高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______．【答案】4【解析】歸納出數(shù)列的周期，求出一個(gè)周期的和，即得解.【詳解】由題得，，，,,,所以數(shù)列的周期為6，，，所以.故答案為：410.（山東省單縣第五中學(xué)月考）數(shù)列的通項(xiàng)，試問(wèn)該數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.【答案】最大項(xiàng)為【解析】設(shè)是該數(shù)列的最大項(xiàng)，則∴解得∵，∴，∴最大項(xiàng)為練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））數(shù)列滿(mǎn)足，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知條件計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)求和法求出結(jié)果，注意的情況進(jìn)行分類(lèi)討論.【詳解】，取，相減，，則推出當(dāng)時(shí)，原式故選：A2．（2020·四川涼山·期末（文））德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列中必存在值為1的項(xiàng)．若，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，故選：B3.（2021·遼寧高二月考）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其部分項(xiàng)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此規(guī)律得到以下結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， D．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，【答案】B【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列的具體值即可判斷出各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】解：其部分項(xiàng)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．故選：B．5．（2020·四川高一期末（理））已知數(shù)列滿(mǎn)足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由和與通項(xiàng)的關(guān)系先求出，進(jìn)而求出，，再用裂項(xiàng)相消求出即可獲解.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意得，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足，所以故故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

故選：A.6．（2021·四川成都市·樹(shù)德中學(xué)高三其他模擬（理））已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿(mǎn)足，前項(xiàng)和為滿(mǎn)足；數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)任意的?都有：，則數(shù)列的第47項(xiàng)的值為（）A．384 B．47 C．49 D．376【答案】A【解析】根據(jù)，分別取不同的n值，求得，并根據(jù)，求得；取得，，從而利用累加法求得，從而求得結(jié)果.【詳解】時(shí)，，解得，時(shí)，，得，時(shí)，，得，從而有，，時(shí)，，得，時(shí)，，得，則，，又，故，取得，，則故，則，故數(shù)列的第47項(xiàng)為故選：A7．【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A.設(shè),求出其導(dǎo)函數(shù)得出其單調(diào)性，可得，，設(shè)，求出其導(dǎo)函數(shù)，得出其單調(diào)性，可得，從而可判斷A；選項(xiàng)B.設(shè),求出其導(dǎo)數(shù)，借助于選項(xiàng)A中構(gòu)造的函數(shù)結(jié)論，可得其單調(diào)性，從而可判斷;選項(xiàng)C.由可判斷；選項(xiàng)：由選項(xiàng)B數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，由選項(xiàng)A中得到的結(jié)論可得，從而可判斷.【詳解】由題意，則設(shè)，則所以在上的單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，可得，即設(shè)，所以在上的單調(diào)遞增，所以取，可得，即所以，所以選項(xiàng)A正確.設(shè)，則由上在上恒成立，則所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)B正確.由，所以，所以選項(xiàng)C不正確.由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以由上，則，所以所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD8．【多選題】（2021·福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬）斐波那契螺旋線(xiàn)，也稱(chēng)“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線(xiàn)，自然界中存在許多斐波那契螺旋線(xiàn)的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，然后在正方形里面畫(huà)一個(gè)90度的扇形，連起來(lái)的弧線(xiàn)就是斐波那契螺旋線(xiàn).它來(lái)源于斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)的正方形所對(duì)應(yīng)扇形面積記為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可判斷選項(xiàng)A，再根據(jù)累加法計(jì)算判斷選項(xiàng)B，根據(jù)扇形的面積公式判斷選項(xiàng)C，再次應(yīng)用累加法及遞推公式判斷選項(xiàng)D.【詳解】由遞推公式，可得，，所以，A選項(xiàng)正確；又由遞推公式可得，，，類(lèi)似的有，累加得