第九章-電磁學(xué)壓軸大題增分策略(三)-突破“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩大難點(diǎn)

第九章“沖刺雙一流”深化內(nèi)容電磁學(xué)壓軸大題增分策略(三)——突破“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩大難點(diǎn)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)形式很多，其中有一種是帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場(chǎng)的半徑相等時(shí)，會(huì)出現(xiàn)磁發(fā)散或磁聚焦現(xiàn)象。帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的發(fā)散運(yùn)動(dòng)不同帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中從同一點(diǎn)沿不同方向出發(fā)，做發(fā)散運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后速度方向都相同。例如：當(dāng)粒子由圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界上某點(diǎn)以不同速度射入磁場(chǎng)時(shí)，會(huì)平行射出磁場(chǎng)，如圖所示。[例1]真空中有一半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點(diǎn)的切線，如圖所示。從O點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相同的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，且電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓周軌跡半徑也為r。所有從磁場(chǎng)邊界射出的電子，其速度方向有何特征？[解析]如圖所示，無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，入射點(diǎn)O、出射點(diǎn)A、磁場(chǎng)圓心O1和軌道圓心O2，一定組成邊長(zhǎng)為r的菱形，因?yàn)镺O1⊥Ox，所以O(shè)2A⊥Ox。而O2A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向均與Ox[答案]見解析[例2]如圖所示，真空中有一個(gè)半徑r＝0.5m的圓形磁場(chǎng)，與坐標(biāo)原點(diǎn)相切，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝2×10－3T，方向垂直于紙面向外，在x＝1m和x＝2m之間的區(qū)域內(nèi)有一個(gè)方向沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)強(qiáng)度E＝1.5×103N/C。在x＝3m處有一垂直x軸方向的足夠長(zhǎng)的熒光屏，從O點(diǎn)處向不同方向發(fā)射出速率相同的比荷eq\f(q,m)＝1×109C/kg，且?guī)д姷牧Ｗ?，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡在紙面內(nèi)，一個(gè)速度方向沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，恰能從磁場(chǎng)最右側(cè)的A點(diǎn)離開磁場(chǎng)，不計(jì)重力及阻力的作用，求：(1)沿y軸正方向射入的粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度和粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(2)速度方向與y軸正方向成θ＝30°角(如圖中所示)射入磁場(chǎng)的粒子，離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向；(3)(2)中的粒子最后打到熒光屏上，該發(fā)光點(diǎn)的位置坐標(biāo)。[解析](1)由題意可知，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R＝r＝0.5m，由Bqv＝eq\f(mv2,R)，可得粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度為v＝eq\f(qBR,m)＝1×109×2×10－3×0.5m/s＝1×106m/s。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝eq\f(1,4)T＝eq\f(πm,2Bq)＝eq\f(3.14,2×109×2×10－3)s＝7.85×10－7s。(2)粒子的運(yùn)動(dòng)圓軌跡和磁場(chǎng)圓的交點(diǎn)O、C以及兩圓的圓心O1、O2組成菱形，CO2和y軸平行，所以v和x軸平行向右，如圖所示。(3)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°角后從C點(diǎn)離開磁場(chǎng)，速度方向和x軸平行，做直線運(yùn)動(dòng)，再垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，如圖所示：在電場(chǎng)中的加速度大小為：a＝eq\f(Eq,m)＝1.5×103×1×109m/s2＝1.5×1012m/s2粒子穿出電場(chǎng)時(shí)有：vy＝at2＝a×eq\f(Δx,v)＝1.5×106m/s，故磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為r＝eq\f(D,2)＝eq\f(\r(3)qu0T2,9dm)。而粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有qvB＝meq\f(v2,r)。解得B＝eq\f(2\r(3)m,qT)。[答案](1)見解析(2)eq\f(\r(3)qu0T2,9dm)eq\f(2\r(3)m,qT)[提能增分集訓(xùn)]1．電子質(zhì)量為m、電荷量為e，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，速度大小均為v0，如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：(1)熒光屏上光斑的長(zhǎng)度；(2)所加磁場(chǎng)范圍的最小面積。解析：(1)如圖所示，初速度沿x軸正方向的電子，沿弧OB運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，為熒光屏上光斑的最高點(diǎn)，初速度沿y軸正方向的電子，沿弧OC運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，為熒光屏上光斑的最低點(diǎn)，電子在磁場(chǎng)中，由ev0B＝meq\f(v02,R)得R＝eq\f(mv0,eB)，光斑長(zhǎng)度PQ＝R＝eq\f(mv0,eB)。(2)所加磁場(chǎng)的最小面積是以O(shè)′為圓心、R為半徑的斜線部分，其面積大小為S＝eq\f(3,4)πR2＋R2－eq\f(1,4)πR2＝eq\f(π,2)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mv0,eB)))2。答案：(1)eq\f(mv0,eB)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mv0,eB)))22.如圖所示，質(zhì)量m＝8.0×10－25kg、電荷量q＝1.6×10－15C的帶正電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，且在與x方向夾角大于等于30°的范圍內(nèi)，粒子射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為v0＝2.0×107m/s?，F(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.1T，若這些粒子穿過磁場(chǎng)后都能射到與y軸平行的熒光屏MN上，并且當(dāng)把熒光屏MN向左移動(dòng)時(shí)，屏上光斑長(zhǎng)度和位置保持不變。求：(1)粒子從y軸穿過的范圍；(2)熒光屏上光斑的長(zhǎng)度；(3)從最高點(diǎn)和最低點(diǎn)打到熒光屏MN上的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差；(4)畫出所加磁場(chǎng)的最小范圍(用陰影表示)。解析：設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得qv0B＝meq\f(v02,R)，即R＝eq\f(mv0,qB)解得R＝0.1m當(dāng)把熒光屏MN向左移動(dòng)時(shí)，屏上光斑長(zhǎng)度和位置保持不變，說明粒子出射方向平行，且都沿－x方向，所加磁場(chǎng)為圓形，半徑為R＝0.1m。(1)如圖所示，初速度沿y軸正方向的粒子直接過y軸。速度方向與x軸正方向成30°角的粒子，轉(zhuǎn)過的圓心角∠OO2B為150°，則∠OO2A＝粒子從y軸穿過的范圍為0～eq\r(3)R，即0～0.17m。(2)初速度沿y軸正方向的粒子，yC＝R由(1)知∠O2OA＝θ＝30°yB＝R＋Rcosθ則熒光屏上光斑的長(zhǎng)度l＝y(tǒng)B－yC＝0.09m。(3)粒子運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πR,v0)＝eq\f(2πm,qB)＝π×10－8s從B點(diǎn)和C點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差t1＝eq\f(5,12)T－eq\f(1,4)T＝eq\f(1,6)T出磁場(chǎng)后，打到熒光屏上的時(shí)間差t2＝eq\f(R,2v0)從最高點(diǎn)和最低點(diǎn)打到熒光屏MN上的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差t＝t1＋t2＝7.7×10－9s。(4)如圖陰影部分所示。答案：(1)0～0.17m(2)0.09m(3)7.7×10－9s(4)見解析3．設(shè)在某一平面內(nèi)有P1、P2兩點(diǎn)，由P1點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為v0的電子。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布，使得由P1點(diǎn)發(fā)出的所有電子都能夠匯集到P2點(diǎn)。電子電量為e，質(zhì)量為m。解析：如圖所示，過P1點(diǎn)做2個(gè)圓，和直線P1P2相切于P1點(diǎn)，圓的半徑都是R。圓內(nèi)分布有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于圓平面，由P1點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為v0的電子，