2021年江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)真題含詳解

2021年江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)真題含詳解

姓名：班級：考號：

一、選擇題（共6題）

1、截至2021年6月8日，31個?。ㄗ灾螀^(qū)，直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告

接種新冠病毒疫苗超過800000000次，用科學(xué)記數(shù)法表示800000000是（）

89910

A.8X10B,0.8xl0C,8X10D.O.8xlO

2、計算匕"13的結(jié)果是（）

A.7B../D.a9

3、下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

4、北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間13：00,同一時刻的莫斯科時間是

8：00,小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當(dāng)?shù)貢r間9:00-17：00之

間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間（）

A.10：00B.12：00C.15：00D.18：00

5、一般地，如果犬=。（n為正整數(shù)，且〃>1）,那么x叫做a的〃次方根，下列

結(jié)論中正確的是（）

A.16的4次方根是2B.32的5次方根是±2

C.當(dāng)A為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小D.當(dāng)〃為奇數(shù)時，2的〃次

方根隨n的增大而增大

6、如圖，正方形紙板的一條對角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角

線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是

（）

二、解答題(共11題)

1、解不等式1+2(*-1)工3,并在數(shù)軸上表示解集.

21x

----4-1=----

2、解方程二+1五一1.

(a2bV

3、i?十算(b2+aSa+匕a2+ab)ab.

4、如圖，工C與3少交于點。，OA=OD,ZABO=^DCO,E為8C延長線上一點,

過點￡作EFIICD,交3。的延長線于點F.

Vx#

(1)求證^AOB^ADOC.

(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求￡尸的長.

5、某市在實施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進行了調(diào)查，通過簡單隨機抽樣,

獲得了100個家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分?jǐn)?shù)

據(jù)如下表：

序號12???2526???5051757699100

月均用水

1.31.3???4.54.5???6.46.8…1113???25.628

據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為92t,你對它與中位數(shù)的差異有什么看法?

(2)為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標(biāo)準(zhǔn)，超出這個標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價格

收費，若要使75%的家庭水費支出不受影響，你覺得這個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該定為多少？

6,不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別.

(1)從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球.求兩次摸出的球都是

紅球的概率.

(2)從袋子中隨機摸出1個球，如果是紅球，不放回再隨機換出1個球；如果是白球，

放回并搖勻，再隨機摸出1個球.兩次摸出的球都是白球的概率是.

7、如圖，為了測量河對岸兩點A,B之間的距離，在河岸這邊取點C,D.測得

CD=80m,AACD=90°,ABCD=45°,AADC=\90\T,/83?=56。19，設(shè)［,B,

C,〃在同一平面內(nèi)，求8兩點之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：

tan19°17f?0.35,tan56°19r?1.50.)

CD

8、甲、乙兩人沿同一直道從A地去B地,甲比乙早1mm出發(fā)，乙的速度是甲的2倍.在

整個行程中，甲離A地的距離為(單位：m)與時間x(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系

如圖所示.

(1)在圖中畫出乙離A地的距離為(單位：m)與時間x之間的函數(shù)圖;

(2)若甲比乙晚5min到達6地，求甲整個行程所用的時間.

9、如圖，已知尸是。。外一點.用兩種不同的方法過點尸作0。的一條切線.要求:

(1)用直尺和圓規(guī)作圖；

(2)保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

10、已知二次函數(shù)y=#+"+c的圖像經(jīng)過(一2，1)，(2，-3)兩點.

(1)求6的值.

(2)當(dāng)時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是.

(3)設(shè)(物°)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點，當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)的圖像,

直接寫出a的取值范圍.

11、在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短?

（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm,8為母線0C的中點，點A在底面圓周上，AC

的長為47rcm.在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路

徑，并標(biāo)出它的長（結(jié)果保留根號）.

（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.。是圓錐的頂點，點A在圓

柱的底面圓周上.設(shè)圓錐的母線長為1,圓柱的高為h.

①螞蟻從點A爬行到點0的最短路徑的長為（用含1,h的代數(shù)式表示）.

②設(shè)皿的長為a,點8在母線上，OB=b.圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在

圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

三、填空題（共10題）

1、-（-2）=；-|-21=.

2、若式子技在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

我一平

3、計算12的結(jié)果是________.

4、設(shè)亂為是關(guān)于x的方程芯2-3尤+上=0的兩個根，且々=2%,則k=.

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A/OB的邊5°，口的中點C,〃的橫坐標(biāo)分別是1,

4，則點B的橫坐標(biāo)是.

6、如圖，力8是0。的弦，。是次的中點，OC交上8于點D.若

AB=8cm,CD=2cm,貝ij。。的半徑為cm.

7、如圖，正比例函數(shù)八米與函數(shù)'一［的圖像交于4,6兩點，軸，ACHy

軸，則=.

8、如圖，F(xiàn)AGSHC/DJE是五邊形J1BCDE的外接圓的切線，則

ZBAF+乙CBG+乙DCH+ZED1+ZAEJ=。.

9、如圖，在四邊形A5CZ）中，AB=BC=BD.設(shè)AABC=a,則AADC=（用

含a的代數(shù)式表示）.

6

10、如圖，將口ABCD繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)到口WC'ZT的位置，使點夕落在8C上，B'C

與8交于點E,若~3,BC=4,BB'=1,則C￡的長為.

參考答案:

一、選擇題

1、A

【分析】

先確定原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，再將原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1得到10的指數(shù)，最后按照科學(xué)記數(shù)法

的書寫規(guī)則確定即可.

【詳解】

解：800000000=8xl()8；

故選：A.

【點睛】

本題考查了科學(xué)記數(shù)法，解決本題的關(guān)鍵是牢記科學(xué)記數(shù)法的表示方法，本題是基礎(chǔ)題，考

查了學(xué)生對書本概念的理解與掌握.

2、B

【分析】

直接利用嘉的乘方和同底數(shù)嘉的乘法法則進行計算即可.

【詳解】

解：原式=/a*=/；

故選：B.

【點睛】

本題考查了幕的乘方和同底數(shù)事的運算法則，其中涉及到了負(fù)整數(shù)指數(shù)基等知識，解決本題

的關(guān)鍵是牢記相應(yīng)法則，并能夠按照正確的運算順序進行計算即可，本題較為基礎(chǔ)，考查了

學(xué)生的基本功.

3、D

【分析】

若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成.

【詳解】

A、1+1+K5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤;

B、l+l+5<8,即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

C、1+2+2=5,即這三條線段的和等于5,根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

D、2+2+2>5,即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，

因而較短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條

邊，因而較短的三條線段的和大于最長的線段即可.

4、C

【分析】

根據(jù)北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00-17：00,逐項判斷出莫斯

科時間，即可求解.

【詳解】

解：由北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00-17：00,

所以A.當(dāng)北京時間是10：00時，莫斯科時間是5:00,不合題意；

B.當(dāng)北京時間是12：00時，莫斯科時間是7:00,不合題意；

C.當(dāng)北京時間是15：00時，莫斯科時間是10:00,符合題意；

D.當(dāng)北京時間是18：00時，不合題意.

故選：C

【點睛】

本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，根據(jù)北京時間推斷出莫斯科時間是解題關(guān)鍵.

5、C

【分析】

根據(jù)題意n次方根，列舉出選項中的n次方根，然后逐項分析即可得出答案.

【詳解】

A.?.?2,=16(-2)4=16,..16的4次方根是±2,故不符合題意;

B.???25=32,(-2/=-32,-32的5次方根是2,故不符合題意；

C,設(shè)x=l/2,y=^/2,

則%15=25=32,y5=23=8,

:嚴(yán)>力且x>ly>1,

..x>y,

?-?當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小，故符合題意；

D.由C的判斷可得：D錯誤，故不符合題意.

故選C.

【點睛】

本題考查了新概念問題，n次方根根據(jù)題意逐項分析，得出正確的結(jié)論，在分析的過程中注

意”是否為負(fù)數(shù)，通過簡單舉例驗證選項是解題關(guān)鍵.

6、C

【分析】

因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項即可

找到符合題意的選項

【詳解】

A.因為正方形紙板重直于地面，故不能產(chǎn)生正方形的投影，不符合題意

B.因為正方形的對角線互相垂直，中心投影后，影子的對角線仍然互相垂直，不符合題意

C.影子的對角線仍然互相垂直，故形狀可以是C

D.中心投影物體的高和影長成比例，正方形對邊相等，故D選項不符合題意

故選C.

【點睛】

本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成

比例是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

1、XV2,數(shù)軸上表示解集見解析

【分析】

按照解一元一次不等式的一般步驟，直接求解即可.

【詳解】

l+2(x-l)<3

去括號：1+2%-2<3

移項：2x<3-l+2

合并同類項：2X<4

化系數(shù)為1：

解集表示在數(shù)軸上：

...........I，…

-5-4-3-2-1012345

【點睛】

本題考查了一元一次不等式的解法，數(shù)軸上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解

法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系數(shù)為1的時候，不等號是否要改變方向；

正確的計算和在數(shù)軸上表示出解集是解題關(guān)鍵.

2、x=3

【分析】

先將方程兩邊同時乘以+化為整式方程后解整式方程再檢驗即可.

【詳解】

---+1=---

解：才+1x-1,

2(X-1)4-(X+1)(X-1)=X(X+1)

2x-2+x2-1=x2+x,

x=3,

檢驗:將x=3代入(x+D(xT)中得,(x+l)(x-l)*O)

/.x=3是該分式方程的解.

【點睛】

本題考查了分式方程的解法，解決本題的關(guān)鍵是牢記解分式方程的基本步驟，即要先將分式

方程化為整式方程，再利用“去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”等方式解整式方

程，最后不能忘記檢驗等.

3、a+b

【分析】

先對括號里的分式進行通分，將通分后的分式進行合并，將合并后的結(jié)果與最后一項分式相

除，將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，最后約分化簡后即可得到計算結(jié)果.

【詳解】

'a23)aS

--------------+---------------

力

解：原式=1(d+3)a+ba(a+b)Ja-b

ab[a+b)ab(a+b)ab(a+i)

a2-2ab^b2ab

_ab(a+b)a-b

(d叫'ab

_ab(a+b)a-b

a-b

=a+b.

【點睛】

本題考查了分式的加減乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是找到最簡公分母，能正確進行分式之間

的通分，同時應(yīng)牢記相應(yīng)計算法則，并能靈活運用等.

EF=-

4、(1)證明見解析；(2)3

【分析】

(1)直接利用“A4S”判定兩三角形全等即可；

(2)先分別求出BE和DC的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進行計算即可.

【詳解】

解：(1)OA=OD,ZABO=ADCO,

又ZAOB=ZDOC,

...△HOB色△OOC(>W).

(2)?/型,AB=2,BC=3,CE=}

；.AB=DC=2,BE=BC+CE=3+\=A,

?/EFlfCD,

AS即SABCD,

EF_BE

CD~^C,

EF_A

：.~~3,

8

?.班的長為3.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性

質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能結(jié)合圖形建立線段之間的關(guān)聯(lián)等，本題較

基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的幾何語言表達和對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用等.

5、(1)6.6t；差異看法見解析；(2)(其中a為標(biāo)準(zhǔn)用水量，單位:

t)

【分析】

(1)從中位數(shù)和平均數(shù)的定義和計算公式的角度分析它們的特點即可找出它們差異的原

因；

(2)從表中找到第75和第76戶家庭的用水量，即可得到應(yīng)制定的用水量標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù).

【詳解】

解：(1)由表格數(shù)據(jù)可知，位于最中間的兩個數(shù)分別是6.4和6.8,

6.4+6.8-

/.中位數(shù)為：2(t),

而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2t,

它們之間差異較大，主要是因為它們各自的特點決定的，主要原因如下:

①因為平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動；主

要缺點是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)偏大數(shù)時，平均數(shù)將

會被抬高，當(dāng)出現(xiàn)偏小數(shù)時，平均數(shù)會降低。

②中位數(shù)將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間

位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)，它的求出不需或只需簡單的計算，它不受極端值的影響；

這100個數(shù)據(jù)中，最大的數(shù)據(jù)是28,最小的是1.3,因此平均數(shù)受到極端值的影響，造

成與中位數(shù)差異較大；

(2)因為第75戶用數(shù)量為111,第76戶用數(shù)量為13t,因此標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為H<?<13

(其中。為標(biāo)準(zhǔn)用水量，單位：t).

【點睛】

本題考查了學(xué)生對中位數(shù)和平均數(shù)的概念的理解以及如何利用數(shù)據(jù)作出決斷等，解決本題的

關(guān)鍵是能讀懂題意，正確利用表格中的數(shù)據(jù)特點進行分析，本題較基礎(chǔ)，答案較開放，因此

考查了學(xué)生的語言組織與應(yīng)用的能力.

4

6、(1)9；(2)7.

【分析】

(1)根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)與兩次摸出的球都是紅

球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式即可求得答案；

(2)方法同(1),注意第一次摸到白球要放回，其余顏色球不放回.

【詳解】

解：(1)畫樹狀圖得，

開始

,共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果數(shù)為4次,

4

，兩次摸出的球都是紅球的概率為：9；

(2)畫樹狀圖得,

開始

紅白紅白紅紅白

，共有7種等可能的結(jié)果數(shù)，兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù)為1次,

2

，兩次摸出的球都是白球的概率為：7；

2

故答案為：7

【點睛】

此題考查了畫樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7、52m

【分析】

作BEA.方？于人作BFA.。交。延長線于F.先證明四邊形CEBF是正方形，設(shè)CE

-BE-x,

根據(jù)三角函數(shù)表示出應(yīng)，根據(jù)8=80m列方程求出CE=BE=48m,進而求出CF=BF

=48m,解直角三角形ACD求出AC,得到AF,根據(jù)勾股定理即可求出AB，問題得解.

【詳解】

解：如圖，隹BE工CD千E,作跖，以交。延長線于F.

VZFCD=90°,

/.四邊形CEBF是矩形，

BEX.CD,NBCD=45。,

/.ZBCE=ZCBE=45°,

/.CE=BE,

...矩形CEBF是正方形.

設(shè)"=必=xm,

在RtABDE中，

MBEx2

DE=--------=--------0-x

tanZ.BDEtan56°19f3m,

CD=80m,

2

x+—x=80

3,

解得x=48,

/.CE=BE=48m,

???四邊形CEBF是正方形，

...CF=BF=48m,

,/在△ACD=CD'tanZ.ADC=80xtan19°17，!=^80x0.35=28m

AF=CF-AC=20m,

522

：.在應(yīng)△ABF中，2=J總2+852=^20+48=52m,

A,B兩點之間的距離是52m.

E

【點睛】

本題考查了解直角三角形應(yīng)用，理解題意，添加輔助線構(gòu)造正方形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

8、(1)圖像見解析；(2)12min

【分析】

(1)根據(jù)甲乙的速度關(guān)系和甲比乙提前一分鐘出發(fā)即可確定乙的函數(shù)圖像；

(2)設(shè)甲整個行程所用的時間為xmin,甲的速度為r演/min,利用甲乙的路程相同

建立方程，解方程即可.

【詳解】

解：(1)作圖如圖所示：

(2)設(shè)甲整個行程所用的時間為xmin,甲的速度為vm/mm,

.xv=2v(x-l-5'i

解得：x=12,

/.甲整個行程所用的時間為12min.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，要求學(xué)生能根據(jù)問題情境繪制出函數(shù)圖像，能建立相等關(guān)

系，列出方程等.

9、答案見解析.

【分析】

方法一：作出0P的垂直平分線，交0P于點、A,再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧,

交00于點0,連結(jié)國，PQ即為所求.

方法二：作出以0P為底邊的等腰三角形BPO,再作出ZOBP的角平分線交0尸于點/,

再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交00于點0,連結(jié)圖，PQ即為所求.

【詳解】

解:

1_

作法：連結(jié)P0，分別以尸、0為圓心,大于5m的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結(jié)

兩點交P0于點A；以點/為圓心，PA長為半徑畫弧，交00于點0,連結(jié)尸0,PQ

即為所求.

作法：連結(jié)P0,分別以P、0為圓心,以大于2P0的長度為半徑畫弧交P0上方于點

B,連結(jié)BP、B0；以點B為圓心，任意長為半徑畫弧交BP、B0于C、D兩點，分

1_

別以于C、〃兩點為圓心，大于55的長度為半徑畫弧交于一點，連結(jié)該點與6點,

并將其反向延長交附于點力,以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交0°于點0,連

結(jié)PQ,PQ即為所求.

【點睛】

本題考查了作圖一一復(fù)雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的

作法，圓的作法等知識點.復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖.解題的關(guān)鍵是熟

悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合基本幾何圖形的性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

4

10、(1)b=-l.(2)1；(3)?！础；?.

【分析】

(1)將點(一21)，(2，-3)代入求解即可得;

(2)先求出二次函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得;

(3)分a<。和“兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組

即可得.

【詳解】

4a-必+c=1

<

解：(1)將點(-2/)，(2,-3)代入丁=”+"+0得：［4a+2b+c=-3f

兩式相減得：-45=4,

解得5=-1；

(2)由題意得：a。。,

由(1)得:

__1_

則此函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)為‘一兀,

將點口一）代入y=.7+c得：4a-2+c=-3,

解得-4a=c+l,

11

c-——=c+---

則4ac+1,

下面證明對于任意的兩個正數(shù)與，兄，都有乂。+汽之2屈心

，,(-+%-2｛聞丫0—0,

..勺+用之2屈?(當(dāng)且僅當(dāng)今=為時，等號成立)，

當(dāng)C>一1時，c+l>0,

cH-----c+1-I-----1>2J(c+1)-----1=1c+l=--—

則c+lc+lVC+1(當(dāng)且僅當(dāng)c+l,即。=0時，等號

成立)，

，一R

即

故當(dāng)時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是1;

(3)由4a_2+c=_3得：c=Ya-l,

則二次函數(shù)的解析式為V=a--x-4a7(aw0),

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)時，則當(dāng)x=T時，y>0；當(dāng)x=3時，”0,

?+1-4?-1>0

gp9。—3—4a-1<0

解得a<0；

②如圖，當(dāng)a>0時,

:當(dāng)天二一1時,y二。+1—4a-1=-3?<0

..當(dāng)x=3時，y=9a-3-4a-\>0f

4

a>—

解得5,

綜上，。的取值范圍為或",5.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，較難的是題(3),熟練掌握函數(shù)圖象法是解

題關(guān)鍵.

11、(1)作圖如圖所示；(2)①力+/；②見解析.

【分析】

(1)根據(jù)兩點之間線段最短，即可得到最短路徑；連接以，AC,可以利用弧長與母線

長求出ZAOC,進而證明出△/C是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；

(2)①由于圓錐底面圓周上的任意一點到圓錐頂點的距離都等于母線長，因此只要螞蟻

從點A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側(cè)面的高爬行，所以得出最短路

徑長即為圓柱的高h加上圓錐的母線長1；

②如圖，根據(jù)已知條件，設(shè)出線段GC的長后，即可用它分別表示出0E、BE、GE、AF,

進一步可以表示出BG、GA,根據(jù)B、G、力三點共線，在Rt△ABH中利用勾股定

理建立方程即可求出GC的長，最后依次代入前面線段表達式中即可求出最短路徑長.

【詳解】

解：(1)如圖所示，線段AB即為螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑；

設(shè)N40C=n°,

圓錐的母線長為12cm,4。的長為47rcm,

/.?=60；

連接0A、CA,

-OA=OC=\2,

是等邊三角形，

???6為母線0C的中點,

ABLOC,

AB=0^4xsin60=6-75

(2)①螞蟻從點A爬行到點0的最短路徑為：先沿著過A點且垂直于地面的直線爬

到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線爬到頂點0上，因此，最短路徑長為h+1

②螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線段AB即為其最短路徑(G

點為螞蟻在圓柱上底面圓周上經(jīng)過的點，圖中兩個。點為圖形展開前圖中的。點)；

求最短路徑的長的思路如下：如圖，連接0G,并過G點作GFLAD,垂足為F,由題

可知，OG=OC=l,GF=h,0B=b,

由赤的長為a,得展開后的線段AD=a,設(shè)線段GC的長為x,則元的弧長也為x,

由母線長為1,可求出ZCOG,

作BEI0G,垂足為E,

因為仍=8,可由三角函數(shù)求出0E和BE,從而得到GE,利用勾股定理表示出BG,

接著由FD=CG=x,得到AF=a-x,利用勾股定理可以求出AG,

將""+應(yīng)'即得到AH,將跖+"即得到HB,

因為兩點之間線段最短，4、G、B三點共線，

利用勾股定理可以得到：AB2=AH2+BH2,進而得到關(guān)于x的方程，即可解出*,

將x的值回代到麻和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長.

【點睛】

本題考查的是曲面上的最短路徑問題，涉及到圓錐和圓柱以及它們的組合體上的最短路徑問

題，解題過程涉及到“兩點之間、線段最短”以及勾股定理和三角函數(shù)等知識，本題為開

放性試題，答案形式不唯一，對學(xué)生的空間想象能力以及圖形的感知力要求較高，蘊含了數(shù)

形結(jié)合等思想方法.

三、填空題

1、2-2

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的意義和絕對值的意義即可得解.

【詳解】

解：一（一2）=2；

-卜2|=_2.

故答案為2,-2.

【點睛】

本題考查了相反數(shù)和絕對值.掌握相反數(shù)的意義和絕對值的意義是解題的關(guān)鍵.

2、x20

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件得到5x20,解不等式即可求解.

【詳解】

解：由題意得5xN0,

解得x20.

故答案為：*20

【點睛】

本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件“被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)”是

解題關(guān)鍵.

V2

3、2

【分析】

分別化簡花和V2,再利用法則計算即可.

【詳解】

20=0=克

解：原式22；

V2

故答案為：

【點睛】

本題考查了二次根式的減法運算，涉及到二次根式的化簡等知識，解決本題的關(guān)鍵是牢記二

次根式的性質(zhì)和計算法則等.

4、2

【分析】

先利用根與系數(shù)的關(guān)系中兩根之和等于3，求出該方程的兩個根，再利用兩根之積得到k的

值即可.

【詳解】

解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：再+勺=3,%f=k.

?X3

??342=

句=1,

/.X1=2,

/.A-=1x2=2；

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式，即對于一元二

bc

次方程a/+Sx+c=°(awO),其兩根之和為一】兩根之積為1

5、6

【分析】

根據(jù)中點的性質(zhì)，先求出點A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)A,〃求出3點橫坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)點A的橫坐標(biāo)為a,點8的橫坐標(biāo)是b；

???。點的橫坐標(biāo)是0，。的橫坐標(biāo)是1,C,〃是工°，期的中點

：.」(a+0)=1

2得”2

2、得5=6

:點B的橫坐標(biāo)是6.

故答案為6.

【點睛】

本題考查了中點的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，三角形中線的性質(zhì)，正確的使用中點坐標(biāo)公式并

正確的計算是解題的關(guān)鍵.

6、5

【分析】

連接0A,由垂徑定理得AD=4cm,設(shè)圓的半徑為A,根據(jù)勾股定理得到方程

爐=甲+(&-2)2,求解即可

【詳解】

解：連接物，

。是金8的中點,

0C1AB

AD=—AB=4cm

2

設(shè)的半徑為R,

?/CD=2cm

0D=0C-CD=(^-2)cm

在R”O(jiān)AD中,OA2=AD2+OD2,即。2=甲+（1一2）-

解得，衣=5

即O。的半徑為5cm

故答案為：5

【點睛】

本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理判斷出0C是AB的垂直平分線是解答此

題的關(guān)鍵.

7、12

【分析】

先設(shè)出A點坐標(biāo)，再依次表示出B、C兩點坐標(biāo)，求出線段BC和AC的表達式，最后利

用三角形面積公式即可求解.

【詳解】

6

解：設(shè)/（「，t）,

6

=

】y—

???正比例函數(shù)『=去與函數(shù)X的圖像交于A,6兩點，

6

:?B（-,-￡）,

軸，工軸，

6

：.CCt,-t）,

故答案為：12.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)表示線段

長、三角形面積公式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是抓住反比例函數(shù)和正比例函數(shù)都是中心對稱

圖形，它們關(guān)于原點對稱，能正確表示平面內(nèi)的點的坐標(biāo)，能通過坐標(biāo)計算出線段長等.

8、180°

【分析】

由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)

角和的一半.

【詳解】

如圖：過圓心連接五邊形的CDE的各頂點，

則AOAB+ZOBC+ZOCD+ZODE+AOEA

=ZOBA+ZOCB+ZODC+ZOED+ZOAE

=1(5-2)x180°=270°

:.AB