一些解決TSP問(wèn)題的算法及源代碼

模擬退火算法?模擬退火算法來(lái)源于固體退火原理,將固體加溫至充分高，再讓其緩緩冷卻,加溫時(shí),固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o(wú)序狀，內(nèi)能增大，而緩緩冷卻時(shí)粒子漸趨有序，在每個(gè)溫度都達(dá)到平衡態(tài),最后在常溫時(shí)達(dá)到基態(tài),內(nèi)能減為最小。依據(jù)Ｍｅｔropｏｌis準(zhǔn)則，粒子在溫度T時(shí)趨于平衡的概率為e－ΔE/（kＴ），其中Ｅ為溫度T時(shí)的內(nèi)能,ΔE為其轉(zhuǎn)變量，k為Ｂｏlｔｚmaｎn常數(shù).用固體退火模擬組合優(yōu)化問(wèn)題,將內(nèi)能Ｅ模擬為目標(biāo)函數(shù)值ｆ,溫度T演化成掌握參數(shù)t，即得到解組合優(yōu)化問(wèn)題的模擬退火算法：由初始解ｉ和掌握參數(shù)初值ｔ開頭，對(duì)當(dāng)前解重復(fù)“產(chǎn)生新解→計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差→接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減t值，算法終止時(shí)的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解,這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機(jī)搜尋過(guò)程。退火過(guò)程由冷卻進(jìn)度表（CooｌｉngSchedｕle）掌握，包括掌握參數(shù)的初值t及其衰減因子Δt、每個(gè)t值時(shí)的迭代次數(shù)L和停止條件Ｓ。?3．５。1模擬退火算法的模型?模擬退火算法可以分解為解空間、目標(biāo)函數(shù)和初始解三部分.

模擬退火的基本思想:

(１)初始化:初始溫度T（充分大)，初始解狀態(tài)S（是算法迭代的起點(diǎn))，每個(gè)T值的迭代次數(shù)L

（2)對(duì)ｋ=１，……，Ｌ做第（3）至第6步:?（３)產(chǎn)生新解S′?（4)計(jì)算增量Δt′＝Ｃ（S′）—C（Ｓ），其中C(S)為評(píng)價(jià)函數(shù)?(５）若Δｔ′<0則接受S′作為新的當(dāng)前解，否則以概率eｘp(-Δt′/T)接受S′作為新的當(dāng)前解．?（6）如果滿意終止條件則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，結(jié)束程序。?終止條件通常取為連續(xù)若干個(gè)新解都沒(méi)有被接受時(shí)終止算法。?（7)T逐漸削減，且T—＞0,然后轉(zhuǎn)第２步.?算法對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)演示圖:?模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下四個(gè)步驟：?第一步是由一個(gè)產(chǎn)生函數(shù)從當(dāng)前解產(chǎn)生一個(gè)位于解空間的新解；為便于后續(xù)的計(jì)算和接受,削減算法耗時(shí),通常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)潔地變換即可產(chǎn)生新解的方法,如對(duì)構(gòu)成新解的全部或部分元素進(jìn)行置換、互換等，注意到產(chǎn)生新解的變換方法決定了當(dāng)前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，因而對(duì)冷卻進(jìn)度表的選取有肯定的影響。?其次步是計(jì)算與新解所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。由于目標(biāo)函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生,所以目標(biāo)函數(shù)差的計(jì)算最好按增量計(jì)算.事實(shí)表明，對(duì)大多數(shù)應(yīng)用而言,這是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差的最快方法。?第三步是推斷新解是否被接受，推斷的依據(jù)是一個(gè)接受準(zhǔn)則,最常用的接受準(zhǔn)則是Ｍeｔroｐo１ｉs準(zhǔn)則:若Δt′〈0則接受S′作為新的當(dāng)前解S,否則以概率eｘｐ(－Δｔ′/T）接受S′作為新的當(dāng)前解Ｓ。

第四步是當(dāng)新解被確定接受時(shí)，用新解代替當(dāng)前解，這只需將當(dāng)前解中對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生新解時(shí)的變換部分予以實(shí)現(xiàn),同時(shí)修正目標(biāo)函數(shù)值即可.此時(shí)，當(dāng)前解實(shí)現(xiàn)了一次迭代?？稍诖嘶A(chǔ)上開頭下一輪試驗(yàn)。而當(dāng)新解被判定為舍棄時(shí)，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上連續(xù)下一輪試驗(yàn)。?模擬退火算法與初始值無(wú)關(guān),算法求得的解與初始解狀態(tài)S（是算法迭代的起點(diǎn)）無(wú)關(guān)；模擬退火算法具有漸近收斂性,已在理論上被證明是一種以概率l收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。３。5．２模擬退火算法的簡(jiǎn)潔應(yīng)用?作為模擬退火算法應(yīng)用,商量貨郎擔(dān)問(wèn)題（TｒａvellｉｎgSalesmanProblem，簡(jiǎn)記為TSP）：設(shè)有n個(gè)城市,用數(shù)碼１,…，ｎ代表。城市i和城市j之間的距離為ｄ(i,j）i，j＝1,…,n．TSP問(wèn)題是要找遍訪每個(gè)域市恰好一次的一條回路，且其路徑總長(zhǎng)度為最短。。?求解ＴSＰ的模擬退火算法模型可描述如下:?解空間解空間Ｓ是遍訪每個(gè)城市恰好一次的全部回路，是｛1，……，ｎ｝的全部循環(huán)排列的集合，S中的成員記為(ｗ１，w2，……，wn），并記wn+1＝w1。初始解可選為（1，……,ｎ）?目標(biāo)函數(shù)此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)即為訪問(wèn)全部城市的路徑總長(zhǎng)度或稱為代價(jià)函數(shù):我們要求此代價(jià)函數(shù)的最小值。?新解的產(chǎn)生隨機(jī)產(chǎn)生１和n之間的兩相異數(shù)ｋ和m,若k〈m，則將

（ｗ1,ｗ２，…,ｗｋ,wk+1,…，ｗm，…,ｗｎ)?變?yōu)?

(w1,ｗ2，…，wｍ，wm—1，…，wk+1,wk，…，wｎ）．?如果是k〉m,則將?（w１，w2，…,wk,wk+1,…,ｗm，…,ｗn)

變?yōu)椋?(wm，wm—１，…,w1,wm+1，…，wk－1，wn,wn-1，…，wk）。?上述變換方法可簡(jiǎn)潔說(shuō)成是“逆轉(zhuǎn)中間或者逆轉(zhuǎn)兩端”。?也可以采納其他的變換方法，有些變換有獨(dú)特的優(yōu)越性，有時(shí)也將它們交替使用，得到一種更好方法.?代價(jià)函數(shù)差設(shè)將（ｗ1,w２,……，ｗn)變換為（ｕ1，ｕ2,……，uｎ)，則代價(jià)函數(shù)差為：依據(jù)上述分析，可寫出用模擬退火算法求解TSＰ問(wèn)題的偽程序：?ＰroｃｅdureＴSPSA:?ｂeｇin?init—of－T；｛Ｔ為初始溫度｝?Ｓ＝{1，……，ｎ｝；｛S為初始值｝?termiｎatｉoｎ=fａlse;?wｈiｌetｅrminａt(yī)ioｎ=falｓｅ?beｇin?ｆori=１toＬdo?begiｎ?gｅｎｅrate（S′fｏrmS）;{從當(dāng)前回路Ｓ產(chǎn)生新回路S′｝?Δt:=f（S′))—ｆ（Ｓ）;{f(S）為路徑總長(zhǎng)｝

IF（Δｔ〈０）OR（ＥXP（—Δt/Ｔ）>Ｒａndｏm—of-[0，1］)?S＝S′；?IＦthe-halt－condｉｔｉon—iｓ—TRＵEＴHEＮ?tｅｒｍｉnaｔion=true;?Ｅｎd；

T_loweｒ;?Eｎd;?Eｎｄ?模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以較高的效率求解最大截問(wèn)題（MaxCuｔProbｌem)、0－1背包問(wèn)題（ZeｒoOnｅKｎａｐsacｋPrｏbｌeｍ)、圖著色問(wèn)題（GrａpｈColｏｕｒingPｒoblｅm）、調(diào)度問(wèn)題(ScheｄuｌｉngＰrｏblｅm）等等.３.5。3模擬退火算法的參數(shù)掌握問(wèn)題

模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛,可以求解ＮP完全問(wèn)題,但其參數(shù)難以掌握，其主要問(wèn)題有以下三點(diǎn)：

(1)溫度T的初始值設(shè)置問(wèn)題。?溫度T的初始值設(shè)置是影響模擬退火算法全局搜尋性能的重要因素之一、初始溫度高，則搜尋到全局最優(yōu)解的可能性大,但因此要花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間；反之,則可節(jié)省計(jì)算時(shí)間,但全局搜尋性能可能受到影響。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，初始溫度一般需要依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行若干次調(diào)整。?(２）退火速度問(wèn)題。?模擬退火算法的全局搜尋性能也與退火速度親密相關(guān).一般來(lái)說(shuō)，同一溫度下的“充分”搜尋(退火)是相當(dāng)必要的，但這需要計(jì)算時(shí)間。實(shí)際應(yīng)用中,要針對(duì)簡(jiǎn)略問(wèn)題的性質(zhì)和特征設(shè)置合理的退火平衡條件.?（3）溫度管理問(wèn)題。?溫度管理問(wèn)題也是模擬退火算法難以處理的問(wèn)題之一.實(shí)際應(yīng)用中，由于必須考慮計(jì)算簡(jiǎn)潔度的切實(shí)可行性等問(wèn)題，常采用如下所示的降溫方式:T（t+1)=k×T(t）?式中ｋ為正的略小于1。０0的常數(shù)，t為降溫的次數(shù)使用SＡ解決TＳＰ問(wèn)題的Mａt(yī)ｌab程序：ｆｕｎcｔiｏｎouｔ=tsp(loc)?%ＴSPＴｒaｖｅlinｇsaｌesｍanprｏbleｍ（TSP）usｉngSA(siｍｕｌatedａnnealinｇ）。?％TＳPｂｙitｓelｆwillｇｅnｅrａt(yī)ｅ２０citｉｅｓwithｉｎaｕnｉtcuｂeand?％ｔhｅnusｅSAtｏｓlovethisproblem．?%

%TＳP（LOC)solvethetraveｌingｓａleｓｍaｎｐrｏblｅｍwithciｔiｅｓ’?％ｃｏordｉnaｔesgiveｎbｙＬOC,ｗｈichisａｎＭｂy２ｍatrｉxａｎdMis?%tｈenumbeｒofciｔies。?%

%Ｆｏｒexａmpｌe：?%?％ｌｏｃ=ｒａnｄ(5０,２)；?％ｔsｐ（ｌｏc）;

ifnａｒｇiｎ＝=0，?％Ｔｈｅｆoｌｌoｗｉngｄａt(yī)aiｓｆｒomｔｈepostbyJennifｅｒMｙeｒｓ(HＹPEＲLINK"http：//www。madio．net/bbｓ／mailｔｊmyｅｒs＠nwu＂\t”_blａnk”jｍｙｅｒs@nｗｕ。?ｅｄu)

eｄｕ）?％toｃoｍp.ａｉ．nｅural—nets。Ｉｔ’ｓobtaiｎedfroｍｔhefiguｒeiｎ

％Hｏpfｉｅlｄ&Tａnk’ｓ１985paperinＢｉologｉcａｌCyｂｅｒｎeticｓ?%(Ｖoｌ５2，pp.1４1-152）.?ｌoc=［0.3６６３,0.9076；0.7４5９，0。8713；0.４5２１，0．8４６5;?0.７６２4，0。745９；0.7０96，0.7２２８；0。0７10，0．742６；?０.４224,0。７１29；0．590８,０．6９31;０．3201，0。6４03;?0.5974,0。6436;0．36３０，0.５９08；0。６7００，0。590８;?０．６1７2，0。５495；0。６667，0。544６；０.1９80,０。46８６；?0．349８，０.44８8；0.2673，０.4２７4；0。9４３９,０。4２08;?0。82１８，０.３7９5;0．３72９,0。２6９0；0.6073，0。２64０；?０.4158,０.2475；0．５990，０。2261；0．３927，0.1９4７;?０.５34７,0．１898;0．3960,0.132０；０.6287,０。０８42；?0.5０0０,0。0３96；0．9８02，0。01８2；０。6８3２，0.85１5］；?ｅｎd

NuｍCity＝lｅnｇth(lｏｃ）；％Numｂeｒofciｔiｅｓ?ｄｉｓｔａnｃｅ＝ｚerｏｓ（ＮuｍCitｙ)；%Ｉnｉtiaｌiｚeadisｔaｎceｍａt(yī)rix

％Fｉｌｌthedistaｎｃeｍatrix?ｆoｒi=１：NumCity，?forj＝１:NumCｉｔy，?ｄiｓtａnｃe（i,j)=norm(ｌoｃ（i，－ｌoc（ｊ，)；?diｓtａnｃe（ｉ，j)=nｏｒm（lｏc（i,-loc（j，);?ｅnd

enｄ?％Togeneｒａt(yī)eｅnｅrgｙ（objectivｅｆuｎcｔｉon）fｒｏmｐatｈ?％patｈ＝ｒandｐｅrｍ（ＮｕmCｉty)；?%enerｇy=ｓum（dｉstａｎcｅ（(pａｔh－１）＊ＮuｍＣity＋［pａｔｈ(2:ＮumＣity）ｐａt(yī)h（１）]））；?％FｉndtｙｐicaｌvａluｅsoｆdE?coｕnt＝20；?ａll＿dE=zｅros（cｏunt，１);

ｆori＝1:cｏunｔ?pａｔｈ=raｎdperｍ（NumＣｉty）；?enerｇｙ＝sum(diｓｔancｅ（(ｐａt(yī)h－1）＊NｕｍCiｔy+[patｈ(２:NｕmCity）?paｔh(1）］)）;?ｎeｗ＿paｔh＝ｐath；

index=ｒｏund（raｎd（２，1)＊NumCｉty＋.5)；?iｎversｉｏn_iｎdeｘ=(ｍｉn(inｄex)：ｍax（inｄex)）；?new＿ｐath（inveｒsiｏn_inｄex）=ｆlｉｐｌr（patｈ(inｖersion_ｉndeｘ））；

all＿ｄE（i)=abｓ（energｙ-.．.?sum(sum(difｆ(loc(［new_paｔhnｅw_patｈ（１）］，）’．^2）））；

end?dE＝max(ａlｌ_ｄE）;?ｄＥ＝max（all_dE）；?temp=1０＊dE;％Choosｅthetｅｍperatｕｒetｏｂelargeｅｎough?ｆprｉntf(＇Inｉtiａｌenｅｒｇy=%ｆ\n＼ｎ’，energｙ)；?％Ｉnitiaｌplｏts

ｏｕt＝［pａｔｈpath（1)]；?ｐloｔ（ｌｏc（ｏut(，1)，ｌoｃ(ｏuｔ（，２），＇r。’，＇Ｍarkersizｅ’，２０)；?aｘiｓsquare；ｈｏｌdon?h=plｏｔ(ｌoc（oｕt(，1）,ｌoｃ（out（，2））;ｈolｄofｆ

MaxTrialＮ＝NｕｍＣiｔy＊100；％Mａx.＃oftｒiaｌｓata?teｍｐeｒａt(yī)uｒｅ

MaxＡcceptN＝ＮuｍCity*１０；％Mａｘ.＃ofacceｐtａncesatａ

teｍpｅratｕre

StopToleraｎce=0.０05；％Sｔopｐingtｏleranｃe?TeｍpRatiｏ=０．5；％Tｅｍpｅrａt(yī)ureｄｅcreasｅratｉo?minＥ＝ｉnf；%Initｉalvａlｕｅforｍｉn。energｙ?maxE＝—１；％Iniｔｉalｖａｌｕeforｍax．enｅrgｙ?％Ｍａjoranｎealｉngloｏp?wｈｉｌｅ(mａxE－miｎＥ)／ｍaxE〉StｏpToｌｅｒａｎｃe，?minE=iｎf；?minE=inf；?maｘＥ=０；

TrialN=0;%Ｎumｂｅｒoｆtriａｌmoveｓ?ＡcｃeptN=０;％Nｕｍbｅrｏｆactｕalｍｏvｅs?whiｌｅＴrialN<ＭaｘＴriａlＮ&AccｅptＮ〈ＭaxAｃcｅｐtＮ，?nｅw_patｈ=pａt(yī)h;?ｉndｅx＝ｒoｕｎd（ｒand（２，1）＊NｕｍＣitｙ+．5）；

ｉnvｅｒsioｎ_iｎdeｘ=（min(inｄex）:mａx(inｄｅx))；?new_path(iｎｖｅrsiｏｎ_ｉndｅx）＝?ｆliｐlr（pａｔｈ（iｎveｒsiｏn_ｉndｅｘ)）；

nｅw＿enerｇy＝sum(ｄistａｎｃｅ（．。.?(new_patｈ－１)＊ＮｕｍCｉｔy＋［ｎeｗ_paｔh（2：NuｍCｉｔy）?ｎeｗ_pａｔh（1）］));?ifrand＜exp（（eｎeｒgｙ-new＿ｅnｅｒｇy）/temｐ），%

ａccepｔ?iｔ！?ｅnｅrｇy=ｎeｗ_enerｇy；?pａt(yī)ｈ=new＿ｐath；?mｉｎE=min（minE，ｅnｅｒgy）;?maxＥ=mａx（maxＥ,eneｒgy)；?AｃｃeptN=AcceｐｔＮ+１；?ｅnd

TrｉａlＮ＝TrialＮ+１;

eｎｄ?enｄ?％Ｕpdatｅpｌot?out=[pａt(yī)hpaｔｈ（1）]；?sｅt(h，’xdａt(yī)a＇,loｃ（oｕt（，1），’yｄata’，loｃ(ｏut（,2）)；?dｒawnｏw；

％Pｒiｎｒｍationincｏmmandwinｄow?fprｉntｆ('tｅmp.=％ｆ＼n＇,temp)；?ｔmｐ=sprintf（＇％ｄ'，ｐatｈ);?fｐriｎtf(＇path＝％s＼n＇，tｍp)；?ｆprinｔf（’energｙ=％f＼n’，enｅｒｇｙ）；?fpｒintｆ('［ｍｉｎEｍaxE]=[%ｆ%f］\n’，minＥ，ｍaxＥ）；?fpｒinｔf（'［AｃcｅptＮTrialN]=［％ｄ%ｄ]＼n＼ｎ’，ＡcceｐｔN，TrｉａｌＮ）;?％Loweｒtｈｅtｅmpｅｒａｔuｒe?teｍｐ=tｅｍｐ＊TempRatiｏ；?end?%Prｉｎtsｅqueｎtiａｌnuｍbeｒｓinthegraphｉcwindow

foｒi=1:NｕmCｉty,

ｔext(loc(path（ｉ），1）+0.01,ｌｏc（pａt(yī)h（i）,2）+0．0１,iｎt２sｔｒ（ｉ）,。..?’foｎｔｓize’，8）；?end又一個(gè)相關(guān)的Matlａｂ程序fuｎction［Ｘ，P]=ｚkp（w，ｃ，M,ｔ0,tｆ)?[ｍ，n］=size（w)；?L=１00＊n;

t＝t0；

ｃｌeａrm;?x=ｚeros(１，ｎ）?ｘｍａｘ=x；?fｍａx＝0;?ｗｈｉlｅt>tf?ｆｏrk=1:L

ｘr=ｃhange(ｘ）?gx=g_0＿1（ｗ,x）;?gxｒ=g_０_1（w,ｘr）;?ifｇxr＜＝Ｍ?fr＝ｆ＿0_1(xr，c);?f＝f＿0_1(ｘ，c)；?df＝ｆr－f；

ifｄf>0?x=xr；

iｆｆｒ＞fmａx

fｍax＝fr;?ｘmａx=ｘr；?ｅnｄ?eｌｓｅ?p=ｒaｎd；

ifｐ〈ｅｘp（ｄｆ/ｔ)

ｘ=xｒ;?end?end?ｅnｄ

eｎd?ｔ＝０．8７＊t?end?Ｐ=fmaｘ；

Ｘ＝xmax；

%下面的函數(shù)產(chǎn)生新解

fｕｎctioｎ［d_ｆ，pｉ＿r］=ｅxchanｇe_２（pi0，d）?[ｍ，n]=sｉｚe(d）;?clearm;?u=rand;?ｕ=ｕ＊（ｎ-２）；?u＝rouｎd(u);?ifu〈２?u＝2;?enｄ?ifu＞n—2

ｕ=ｎ—2；?end?ｖ＝ｒａnd；

v=v＊（n—ｕ＋1）；?v=round(v）；?ｉｆv<１?ｖ=１;?ｅnd?v=v+ｕ；

ifv>ｎ?v=n；?end?pi_1(ｕ）=pi０（ｖ);?pｉ＿1（ｕ）=pi0（ｕ）；?ifｕ〉１?ｆｏｒk=１:(ｕ-1)?pi_1(k）=ｐi0(k);?ｅnd?end?ｉｆv〉(u＋１）

fork＝１:（v-ｕ－1）?pｉ＿1（u+k）＝pｉ０(v-ｋ）;

ｅnd?end?ifｖ＜n?ｆorｋ=(v+１)：ｎ?pi_1（ｋ)=pi０（k）;?ｅnｄ

enｄ?d＿ｆ=０;?ｉｆv<n?d_f=d(pi０（ｕ－1)，pi０(v）)+d(ｐi０（ｕ),pi0(ｖ＋1)）；?fork=（u+1):n?d_f=ｄ_ｆ+d(pi0（ｋ)，pｉ０（k-１）)—d（ｐｉ０(v),ｐi０(ｖ+1)）;

eｎd?ｄ_f＝d_ｆ－d（ｐi0（u—1),ｐi0（u））;?ｆｏｒk＝(u＋1）:n

d_f=d_f—d(ｐi0（k－１）,ｐi０(ｋ））;?eｎｄ?ｅｌse?ｄ_f=d(ｐｉ0（ｕ-1）,ｐｉ0(v）)＋d(pi０(u），ｐi0（1))—d（ｐi０(u-1)，pｉ0（ｕ)）—d(ｐi0（ｖ),pi0(１）);?ｆork＝(u+1）:n?d＿ｆ＝ｄ_ｆ—d（pｉ0(k），ｐｉ0(k－1）);

eｎd?fｏrk=(u+１）:ｎ?d_f＝d＿f－d(pi0（k-1），pi0(k））；?end?eｎｄ

pi_r＝pi_1；遺傳算法GＡ遺傳算法:旅行商問(wèn)題（travelingsalemanpｒobleｍ,簡(jiǎn)稱tsp):

已知n個(gè)城市之間的相互距離,現(xiàn)有一個(gè)推銷員必須遍訪這ｎ個(gè)城市，并且每個(gè)城市只能訪問(wèn)一次，最后又必須返回動(dòng)身城市。如何支配他對(duì)這些城市的訪問(wèn)次序,可使其旅行路線的總長(zhǎng)度最短？

用圖論的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō),假設(shè)有一個(gè)圖g＝（v,e）,其中ｖ是頂點(diǎn)集,ｅ是邊集，設(shè)d＝（ｄij）是由頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)ｊ之間的距離所組成的距離矩陣，旅行商問(wèn)題就是求出一條通過(guò)全部頂點(diǎn)且每個(gè)頂點(diǎn)只通過(guò)一次的具有最短距離的回路。?這個(gè)問(wèn)題可分為對(duì)稱旅行商問(wèn)題（dｉj=dji,，任意ｉ，j＝1，2，３,…,n)和非對(duì)稱旅行商問(wèn)題(dij≠ｄji,,任意i，j＝1,2，３，…,n）。?若對(duì)于城市v＝{ｖ1，ｖ２，v3，…,ｖｎ｝的一個(gè)訪問(wèn)挨次為t＝（t１，t2，t3,…,ｔi,…，tn）,其中ti∈v(ｉ=1，2，3，…,n)，且記tn+1=ｔ1，則旅行商問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：?ｍｉｎｌ=σd（ｔ(i),t（ｉ+1））(i=1，…，n)?旅行商問(wèn)題是一個(gè)典型的組合優(yōu)化問(wèn)題,并且是一個(gè)np難問(wèn)題,其可能的路徑數(shù)目與城市數(shù)目n是成指數(shù)型增長(zhǎng)的，所以一般很難精確地求出其最優(yōu)解，本文采納遺傳算法求其近似解。?遺傳算法：

初始化過(guò)程：用v1，v2,v3,…，ｖｎ代表所選n個(gè)城市。定義整數(shù)pｏｐ—size作為染色體的個(gè)數(shù)，并且隨機(jī)產(chǎn)生pop-size個(gè)初始染色體，每個(gè)染色體為1到１8的整數(shù)組成的隨機(jī)序列.?適應(yīng)度f(wàn)的計(jì)算:對(duì)種群中的每個(gè)染色體vi,計(jì)算其適應(yīng)度,f＝σｄ(t（i),t(i＋1））.?評(píng)價(jià)函數(shù)ｅvａｌ(vi):用來(lái)對(duì)種群中的每個(gè)染色體vi設(shè)定一個(gè)概率,以使該染色體被選中的可能性與其種群中其它染色體的適應(yīng)性成比例,既通過(guò)輪盤賭，適應(yīng)性強(qiáng)的染色體被選擇產(chǎn)生后臺(tái)的機(jī)會(huì)要大，設(shè)ａlpha∈(0,1）,本文定義基于序的評(píng)價(jià)函數(shù)為evａl（vi）=ａｌpha*(１－aｌｐha）。＾（i-1)。［隨機(jī)規(guī)劃與模糊規(guī)劃］?選擇過(guò)程:選擇過(guò)程是以旋轉(zhuǎn)賭輪pop—ｓizｅ次為基礎(chǔ)，每次旋轉(zhuǎn)都為新的種群選擇一個(gè)染色體。賭輪是按每個(gè)染色體的適應(yīng)度進(jìn)行選擇染色體的.

stｅp1、對(duì)每個(gè)染色體vi,計(jì)算累計(jì)概率qi，q0=0；ｑｉ=σevaｌ(vj)j＝１，…,ｉ；ｉ=1,…pop－siｚe．?sｔeｐ2、從區(qū)間（０，pop—size）中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)r;?ｓteｐ3、若qi—1＜r＜qi,則選擇第i個(gè)染色體；?ｓｔeｐ４、重復(fù)ｓtep2和sｔeｐ3共poｐ-ｓｉze次，這樣可以得到ｐop—siｚｅ個(gè)復(fù)制的染色體。?ｇrefensｔetｔｅ編碼：由于常規(guī)的交叉運(yùn)算和變異運(yùn)算會(huì)使種群中產(chǎn)生一些無(wú)實(shí)際意義的染色體，本文采納grｅｆeｎstｅtｔe編碼《遺傳算法原理及應(yīng)用》可以避開這種情況的消滅。所謂的grｅｆensｔｅtte編碼就是用所選隊(duì)員在未選（不含淘汰）隊(duì)員中的位置,如：

815216１０74３１114６１２951813１7１?對(duì)應(yīng)：

８1421386325７34３２４22１。?交叉過(guò)程：本文采納常規(guī)單點(diǎn)交叉。為確定交叉操作的父代，從到pｏp—ｓizｅ重復(fù)以下過(guò)程：從［0,1]中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)r,如果r〈ｐc，則選擇ｖi作為一個(gè)父代。?將所選的父代兩兩組隊(duì)，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)位置進(jìn)行交叉,如:?814２１386３２５73４３24２2１?６１２35６8５６３1８563321１?交叉后為:?814２1３8６3２518５63３21１

612３56８5637343２4221

變異過(guò)程:本文采納均勻多點(diǎn)變異。類似交叉操作中選擇父代的過(guò)程，在r＜ｐm的標(biāo)準(zhǔn)下選擇多個(gè)染色體vi作為父代。對(duì)每一個(gè)選擇的父代，隨機(jī)選擇多個(gè)位置，使其在每位置按均勻變異（該變異點(diǎn)xｋ的取值范圍為［ukmiｎ,ｕｋmax］，產(chǎn)生一個(gè)[０,1]中隨機(jī)數(shù)ｒ，該點(diǎn)變異為x'k＝ukmｉn+r（ukmａx—ukmｉｎ)）操作.如：

８142138６32５734324２21

變異后:?８1421３1０６32273４52４1２1?反ｇｒｅfeｎstetｔe編碼:交叉和變異都是在grefenstｅｔｔe編碼之后進(jìn)行的，為了循環(huán)操作和返回最終結(jié)果,必須逆grｅfenｓtette編碼過(guò)程,將編碼恢復(fù)到自然編碼。?循環(huán)操作：推斷是否滿意設(shè)定的帶數(shù)xｚome,否，則跳入適應(yīng)度f(wàn)的計(jì)算;是，結(jié)束遺傳操作,跳出。Matlab程序：ｆunction[ｂestpop，trａce］=ｇａ（d，terｍｏpｓ，num,pｃ，cxoｐs，pm,ａｌｐha）?％?%—-—————————-—-—-——————-—?％［bｅｓtpop,ｔrａce］＝gａ（ｄ，tｅrmops，num，ｐｃ，ｃxopｓ，ｐm，ａlｐha)?%d：距離矩陣

％terｍｏpｓ：種群代數(shù)

％ｎum：每代染色體的個(gè)數(shù)?％ｐc:交叉概率?％ｃxoｐｓ：由于本程序采納單點(diǎn)交叉,交叉點(diǎn)的設(shè)置在本程序中沒(méi)有很好的解決,所以本文了采納定點(diǎn),即第ｃxops，可以隨機(jī)產(chǎn)生。

％ｐｍ：變異概率

％alｐｈａ:評(píng)價(jià)函數(shù)evaｌ（vi）=alｐha＊（1—ａlpha）。^（ｉ－1）.?％ｂｅｓtpoｐ:返回的最優(yōu)種群?％trａｃe：進(jìn)化軌跡?％－—-－——-——-－－－—－－—-—-—－－———--—-－—－——-—-——-———－-——?%＃#＃＃＠＠@＃＃版權(quán)全部!歡迎寬闊網(wǎng)友改正,改進(jìn)！＃#@＠＠#＃##?％e-mａil:ｔobｙsidney33＠ｓｏhｕ。ｃom?％#＃＃＃#＃#＃＃＃＃#＃＃#＃＃###＃#＃＃#＃#＃＃＃＃＃＃＃＃#＃＃###＃＃#＃#＃#＃＃#＃?%?cｉtynum=size(ｄ，２);

n=nａｒgｉｎ；?ｉfn<2

disｐ(’缺少變量?。。В?diｓp（'^＿^(guò)開個(gè)玩笑^_＾’)?enｄ?ｉfn<2?teｒmoｐs=500;?ｎum＝50;

pc=０.25；?cxopｓ＝3；?pm=0。30；?ａｌｐha＝０。１０;?ｅｎｄ?ｉfn<3?nｕm=５０；?ｐc=0.2５；?cxｏps＝3；?ｐm＝０．３0；?alｐha=0。10；?eｎｄ

ｉｆn<4?pc=０.25；?ｃxops=3；

pm=0．30；?ａｌｐha=0。１0；

ｅｎｄ

ifn<5

cxｏpｓ=3;?pm=０。30；

aｌｐha=0．１0；

end?iｆn〈６?pm=０．３0；?aｌpｈａ=0.１０；

eｎｄ?ifn〈7?aｌｐha＝0.10；?ｅnｄ?ifisempty（cxopｓ）?cｘｏｐs＝3；?ｅｎd[t]=inｉtiａlizegａ（num，ｃitｙnｕm)；?foｒｉ=１：teｒmops?［l]=f（d,t)；?［x，y]=find（l==ｍax(ｌ）)；?ｔｒａｃｅ（i）=－l（ｙ（1)）；

ｂｅstｐｏp＝t（y(1）,：）；

[t］＝select(t,l,ａlｐｈa）;

［g］=gｒefｅnstｅｔte（t）；?［g1］=ｃｒoｓsovｅｒ(ｇ,ｐｃ,cxops）；?[g]＝mutatｉoｎ（g1，ｐm）;％均勻變異

[ｔ]=congrefenstｅｔte(g);?ｅnｄ-－--——-—--—-—-－－-－－-—－--—－——－——－——－——--——－--—－—-———-－-－—-

funｃｔiｏn［t]=inｉtｉａlｉｚｅｇa（ｎｕm，cｉtynuｍ)?foｒi=1：num?ｔ（ｉ，：）=rａｎdperｍ（ciｔynuｍ）；?ｅnd?————--－-—-—-——－－－－－－--—-－——-－———－-———－－——－—--—－——－—－－－—---—?ｆｕnｃｔｉｏｎ［l］＝f（d,t）?[ｍ，ｎ]＝sizｅ(t）；?fｏｒk＝１:m?fｏrｉ=１：n-1?ｌ(k，ｉ)＝d（ｔ(ｋ，i）,t（ｋ，ｉ+1））;?end?l(k,n）＝ｄ（t（k,n)，t(ｋ,1)）；

l(k)＝—ｓum（l（ｋ，：));?end?－-－—－-－—－—-—－——---－－－-——-－————－－—--－－———－--－--——-—-——－--－－-?function［ｔ］=selecｔ(ｔ，ｌ,alpｈa）?［m,n]=size（l）;?ｔ1=t；

［beｆｏrｅsorｔ,afｔersorｔ1］＝sｏrt（l，2）;%fｓorｔｆromlｔou?foｒi=1:ｎ?ａftersoｒｔ（ｉ）＝ａftersｏrｔ１(ｎ+１—i）；％cｈａnｇe

eｎd?foｒｋ=1:n;?ｔ(ｋ,:)=t１（aftersort（k)，：）；?l１（k）＝l(afterｓｏｒｔ（k））；?ｅｎd?t１=t；?l=l１;?fｏｒｉ=1：sｉze(aftｅｒｓoｒt，2)

ｅvａlv（i)=alpha*(1-aｌpｈa)。^(i-1)；?eｎd

m=size（t,1)；?ｑ＝ｃumｓum（evaｌｖ）；

ｑmax=max(q）;

ｆｏｒｋ=1：m?r=qmａx*ｒaｎｄ（１）;?forj=１：ｍ

ifｊ==１&ｒ〈=ｑ（1）?t（ｋ,:)＝ｔ１(1,:）；

eｌseiｆｊ~＝１＆r＞ｑ（j－1)&r<=q（j）

t(ｋ，：）=t１(j，：）;?end?enｄ?enｄ?---－—－－－－———————-—－－--—－—－———--——－-——－－－——－——－－——-

fｕnctｉｏn［g]=grｅｆenstetｔe(t）

[m,ｎ］＝sizｅ（t);?fork＝１:m

ｔ0=1:n；

ｆoｒi＝1：n?ｆoｒj＝１：leｎｇｔｈ(t０)?ift（ｋ，i)==t０(j)

ｇ（ｋ,i）＝j(luò)；

ｔ0(j）=［];?breaｋ

ｅnd?enｄ

enｄ

eｎd

－-—－-—－-－－—－----——-—－—-—－－—－-－-—－－-－－－－－--—?fｕnction[ｇ］＝cｒosｓoveｒ(ｇ，ｐc，ｃxoｐｓ)?［m,n]=size（g）；?raｎ=rａnd(１，m)；?ｒ=ｃxoｐｓ;?[x，rｕ］=find(ｒａn＜pc）;

ifｒｕ>=２?fｏｒk＝1：2：ｌengｔｈ（ru)-1?g１（ｒｕ(k），：）=[ｇ(ｒu(ｋ）,[１:ｒ］）,g（ｒu（k+1），[（r+1):n]）］;

g（ｒu(k+１)，:)=［ｇ(ru（k+1），[１:ｒ］），g（ru(k),[（ｒ+1)：n])］；?ｇ（ｒu（k），：）=g1（rｕ(k)，：）；?eｎd?ｅｎd?—－－－－－——————---—－-—--—-—－-－—-----—---—－－—--—?funｃtiｏn[g］＝mutａt(yī)ion(ｇ,pm）%均勻變異

[m,n]＝sｉze(g）；?ｒan=rａnd（1，m）；

r＝rand(１,3）;％ｄaigaijin?rr=ｆlｏｏr(ｎ＊rand（1,3）+1);?［x,ｍu]＝fiｎd（ran<pｍ)；?ｆoｒk=1：ｌenｇtｈ(mu）?ｆorｉ=1：ｌｅｎｇth(ｒ)

ｕmaｘ（i）＝ｎ+1—ｒｒ（i)；?ｕmｉn（i）=1;?g（mu（ｋ)，rr（ｉ）)=umｉｎ（ｉ)+ｆloｏr((umａx（i)—ｕmin(ｉ)）＊r（ｉ））；?eｎｄ?ｅnｄ?--－－————--—-－—－——－—－-—-－———－－—－——－－－－－－--－－－－—－－－－-?funｃtiｏｎ［ｔ]=congrｅｆｅｎｓtette（ｇ）?[ｍ，n]=size（g)；?ｆoｒk＝1:m?ｔ0=1:n;?ｆｏｒi=1：n?t（k，i）=t0（ｇ(k，ｉ))；?t0(g(k，i））＝[]；

ｅnｄ?ｅnｄ?—－-———---－—－—－－－－—-—－－—-－-－－--—-－－－－—-—-—－－－－—-－－又一個(gè)Maｔｌａb程序,其中交叉算法采納的是由Gｏlｄbｅrｇ和Liｎgｌe于19８5年提出的PMX(部分匹配交叉)，淘汰保護(hù)指數(shù)aｌｐha是我自己設(shè)計(jì)的，起到了加速優(yōu)勝劣汰的作用。％TＳＰ問(wèn)題（又名：旅行商問(wèn)題，貨郎擔(dān)問(wèn)題）遺傳算法通用maｔｌab程序?％D是距離矩陣,n為種群個(gè)數(shù)，建議取為城市個(gè)數(shù)的1～２倍，?%Ｃ為停止代數(shù)，遺傳到第Ｃ代時(shí)程序停止，C的簡(jiǎn)略取值視問(wèn)題的規(guī)模和耗費(fèi)的時(shí)間而定

％m為適應(yīng)值歸一化淘汰加速指數(shù)，最好取為1，2,3,4，不宜太大?%ａlｐha為淘汰保護(hù)指數(shù),可取為0～1之間任意小數(shù),?。睍r(shí)關(guān)閉保護(hù)功能，最好取為0。8～1．0

％Ｒ為最短路徑，Rlｅngｔh為路徑長(zhǎng)度?fｕnctiｏn［R，Rlｅngｔh]＝gｅｎetｉcTＳＰ（D，ｎ，C，m,alpha）［N,NＮ］=sｉze(Ｄ);

fａｒm＝zerｏs(n，N）;％用于存儲(chǔ)種群?fori=1:n

fａｒm（ｉ,:）=rａｎdpeｒｍ（N)；%隨機(jī)生成初始種群?eｎｄ?Ｒ=farm(１,：)；%存儲(chǔ)最優(yōu)種群

leｎ＝zｅrｏs（n，1）；%存儲(chǔ)路徑長(zhǎng)度?fiｔnｅss=zerｏs(n，１）；％存儲(chǔ)歸一化適應(yīng)值?cｏunter=０;whｉlecoｕntｅr<Cｆｏｒi=1:n?leｎ（i，1）=myLengｔh(Ｄ,ｆarm（i,:））；%計(jì)算路徑長(zhǎng)度?end?maｘlｅn＝ｍａｘ（lｅn）；

mｉnlen=mｉn(len）;?fitneｓs=fit(lｅn，ｍ，ｍａxlｅｎ，mｉnlen）；%計(jì)算歸一化適應(yīng)值?rr=ｆinｄ（len＝=minlen）;

R=farm（ｒr(1，1),：);％更新最短路徑FＡRM=ｆarm；％優(yōu)勝劣汰,nn記錄了復(fù)制的個(gè)數(shù)?nｎ=０；?ｆori=1：ｎ?iｆfitnｅss(ｉ,1）>=alphａ*ｒaｎｄ?nn＝ｎｎ＋1;?FＡRM（nn,：）=ｆarm(ｉ，:)；?enｄ?eｎd

FAＲM=FARM(1:ｎn，：）；［ａa,bb]=ｓｉｚｅ(FAＲM)；％交叉和變異

ｗhileaa＜ｎ

ifｎn<＝2?nｎｐｅr=rａndperm（2）；?elsｅ?nｎpｅr=randpｅｒｍ(ｎn）；

eｎｄ?Ａ＝FAＲM(ｎnｐer(1),:）;?B=ＦARM(nnpeｒ(２），:);

[A，B]=interｃrosｓ(A，B);?FARＭ＝［FAＲM;A；B]；?[aａ，bb］=sｉzｅ(FARM）；?eｎd?ifａa>n?FＡRM=FAＲＭ(１：n，：);%保持種群規(guī)模為n?enｄｆarｍ＝FＡRＭ;?cｌeａｒFＡRM

ｃounｔer＝ｃｏuｎter+1ｅndRlｅnｇｔh＝myＬenｇｔh(Ｄ，Ｒ)；functioｎ[a,b］=iｎtercｒoss（a，ｂ)

L=ｌｅngｔh（a）；?ifL<＝10%確定交叉寬度

Ｗ＝１；?elｓeif((Ｌ／10)—ｆloor（L／10））>＝ｒaｎd＆&L〉10?W=ceil（Ｌ/1０）；?else

Ｗ=floor(L/１0）；?end?p=ｕnｉdrｎｄ(Ｌ—Ｗ+1);％隨機(jī)選擇交叉范圍，從ｐ到p+Ｗ?fｏrｉ=１：W%交叉?ｘ=find（a=＝ｂ（1，p+i-1)）；?y=find(b==a(1,ｐ+i－1））；?[a（1,p+i－１）,b(1,ｐ＋i-1）］=excｈａｎｇe(ａ(1,ｐ＋i—1），b(１，ｐ+ｉ-1））；?［ａ（１，x），b（１,y）］=eｘｃhａnge(a（1,x)，b（1，ｙ）);?ｅnｄ?fuｎｃtiｏｎ[ｘ,y]=exchange(x，y）

ｔemｐ=ｘ；?x＝ｙ;?y=ｔeｍp；%計(jì)算路徑的子程序?ｆｕｎctionｌen=myＬength（Ｄ，p)?［Ｎ，ＮＮ］=ｓｉzｅ（Ｄ);?lｅｎ=D（ｐ（1，N),p（1,1))；?ｆoｒi=1:（N－１)?ｌen＝ｌen+D（p（1，ｉ）,p（１,ｉ+1））；?eｎｄ%計(jì)算歸一化適應(yīng)值子程序?ｆuｎcｔiｏnｆiｔｎess＝fiｔ(leｎ，m,maxｌｅn，minｌeｎ）?fitness=lｅn；?fori=1:ｌｅngth（leｎ）?fｉtｎess（i，1)＝（1－(（ｌen(i，1）－miｎｌen）／(maxlen—minlen+０．000０0１）））．＾ｍ；?enｄ一個(gè)C＋＋的程序：／/ｃ++的程序?#iｎｃluｄe<iostｒｅam.h＞

＃inclｕde〈stdliｂ.ｈ〉?teｍｐｌaｔe<classＴ＞?cｌasｓGraｐｈ?｛?

ｐｕｂlic:?

Graph（intｖｅｒｔｉceｓ=10)

｛?

n=veｒticeｓ；

e＝0；

｝?

~Ｇｒａｐh（){｝?

viｒtualbｏoｌAdd（inｔｕ，intｖ，coｎｓｔＴ&w)=0;?

viｒtｕａlboolDｅleｔe（intu,iｎtv)=0；

vｉｒtuaｌboolEｘist（inｔｕ，iｎtv）cｏnｓｔ=０;?

intVeｒtices(）cｏｎsｔ{reｔｕrnｎ;}

iｎtEdges（)const{ｒeturnｅ;｝?

protｅcteｄ:?

ｉｎtｎ；

ｉｎte；

｝;?ｔｅmｐlate＜ｃlaｓsT>

cｌassＭGrａph：pｕbｌｉcGｒapｈ〈Ｔ>?｛?

puｂlic：?

MGraｐh(intＶeｒtices＝10,TｎｏEdｇｅ=0）;?

～MGraph（）;?

boolAdd(intu，iｎtv，constT&w)；?

boolDeｌｅtｅ（iｎtu,intv）；?

ｂoｏlExist（ｉnｔｕ，inｔv)coｎsｔ；?

voｉdFｌoｙｄ（T＊＊&d，int*＊＆path）;

voidprint(inｔＶeｒtices);?

pｒiｖaｔe：?

TNoEdgｅ;?

Ｔ**a;

};?tｅmpｌａt(yī)ｅ〈clasｓＴ〉?MGrapｈ<T>:：MGraph（intVｅrticeｓ,TnoEdge）?{?

n=Vertｉcｅs；?

NoＥdgｅ=noEdｇｅ;?

a=newT＊［n]；

for(iｎtｉ=０;i〈n；i＋＋）{

a[ｉ］＝nｅwＴ[n］；

ａ［ｉ][i］=0；?

ｆor（iｎtj＝0;j<n;j++）ｉｆ（i！=j）a[ｉ][j]=NoＥｄge;?

｝

｝?tｅmｐｌaｔe〈ｃlａssT>

MＧraph＜Ｔ>::～MＧｒaph()

｛?

fｏr（inti＝０；i＜n;ｉ++)dｅlete［]a[i]；?

deletｅ［］ａ；

}?ｔempｌate<cｌassT〉?bｏｏｌＭＧraph<T>：：Ｅxist（intu,ｉnｔｖ）const?｛?

iｆ（u＜０|｜ｖ<０｜｜ｕ〉ｎ－1｜｜v>n-1|｜ｕ=＝v|｜a[u］［ｖ］=＝ＮoEdge)retｕrnｆalse；

ｒetuｒnｔｒue；

｝?temｐlate＜clａssT>?bｏolＭＧraph〈T＞:：Aｄd（iｎtu，intv,conｓtT＆w）

{?

if(ｕ＜０｜|ｖ＜０｜｜u＞n—1｜｜ｖ>n—1｜｜u==v|｜ａ[u］[ｖ］!=NoＥdgｅ){?

ｃｅrｒ<<＂BaｄIｎpｕt!"〈<ｅndｌ;?

returnfalｓe；

｝

a［ｕ］[v]=w；?

ｅ＋+;?

reｔuｒntｒuｅ；?}?tｅｍｐlａt(yī)e<ｃｌasｓＴ＞?booｌMＧrａph<T〉:deleｔe(intu，inｔv)?｛

if(u＜0||v<0||u〉n-１|｜ｖ〉n-1｜｜u=＝v||ａ[u][v］==NoＥdge){?

cｅrr<<"BａｄIｎput！"〈〈ｅndl；?

retｕrnｆａｌse;?

｝?

ａ［u］[ｖ］=NｏEdge；?

e－-；?

reｔｕrntｒue；?}?teｍplatｅ＜classT〉

voidMGrａph〈T>：：Floyd（Ｔ＊*&d，iｎt＊*＆paｔh）?｛?

d=neｗＴ*［n］;?

path＝neｗint＊［n］;?

fｏr（inti=0;i<ｎ;i++）｛

ｄ［i]＝nｅwT［ｎ］；?

pａt(yī)h［i］＝ｎewinｔ［n];?

fｏｒ（intｊ＝0;j＜n;j++)｛?

ｄ[i］[ｊ］=ａ[ｉ]［j］;?

iｆ（i！=j&＆a［i]［j］＜NoＥdge)paｔh［i］[ｊ］=ｉ；?

elsepａt(yī)h[ｉ］[j]=—1；?

｝?

}?

for（inｔｋ＝0；k＜n;k++）{?

fｏr(i=0;ｉ〈n;i+＋）

fｏｒ（ｉｎｔj=0；ｊ〈n;ｊ++）?

if(d［ｉ][k］+ｄ［k］［j］〈d[i]［j]）｛?

ｄ［ｉ］［ｊ］=d［i]［k］+d[k］［j]；?

patｈ［i］［j］=patｈ［k］［j］；?

}?

}?}?tempｌatｅ<cｌａssT〉

ｖoiｄＭGｒapｈ<Ｔ〉：：ｐriｎt（iｎｔＶｅｒticeｓ）?｛?

ｆｏr（iｎti=0；ｉ＜Ｖertｉｃes;ｉ++）?

fｏr（inｔj＝０;j＜Vertiｃes;j++)?

｛?

?

ｃouｔ＜＜a［i]［j]〈＜’＇；ｉf(ｊ=＝Verticｅｓ-1)cｏuｔ<〈enｄl;?

｝?}?#ｄefｉneｎoＥdge１000０?#inｃluｄe<ｉosｔreａm.h>?ｖoidmain（）

｛?

couｔ<<＂請(qǐng)輸入該圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)："〈〈eｎdl；?

intverｔices；?

cｉn＞>vｅｒｔices；?

MGraｐh＜ｆlｏaｔ＞b（ｖｅrtｉｃes，ｎoEdge）;

coｕt〈＜"請(qǐng)輸入u,v,w："<＜ｅnｄl；

inｔｕ,v;

ｆloatw；?

cｉｎ>>u＞＞v〉〉w；?

whｉｌe（w！=nｏEｄge)｛?

//ｕ＝ｕ—1；

b．Adｄ（ｕ－1,ｖ—1,w)；?

b.Ａｄｄ（v—1，ｕ—１,ｗ）；?

cout〈<"請(qǐng)輸入ｕ，ｖ，w："＜＜ｅndｌ;?

cｉn>＞ｕ＞>v〉＞w；?

｝?

b．priｎｔ(vertices)；?

iｎt＊＊Path；?

int**&path=Path；?

ｆｌoat*＊D；?

floａt(yī)＊＊&d＝D；?

b．Ｆｌｏyｄ(d,ｐath）；?

foｒ（ｉntｉ=0；i〈vertｉｃes;i++）｛

foｒ（iｎtｊ=0；j〈vertｉceｓ;j++）｛?

couｔ<＜Paｔh［ｉ][j]＜＜＇’；?

if（ｊ==vertｉｃｅs-1）cｏｕt〈〈endl;?

｝?

}?

ｉnt*V；?

V=neｗｉｎt[ｖｅrｔiｃes+1］;

coｕt<＜”請(qǐng)輸入任意一個(gè)初始H－圈：＂〈<endl；?

ｆoｒ(ｉntn=0；n〈=veｒｔiceｓ;ｎ++)｛

?

cin>>V［ｎ］;?

}?

ｆoｒ（n=0;n〈5５；ｎ++）｛

ｆor（i＝0;ｉ〈n-１;ｉ++)｛?

ｆｏr（inｔｊ=0；j〈ｎ—1；j++)?

｛?

iｆ（ｉ+1〉０＆&j〉i+1&&j〈n—1)｛

ｉｆ(D［V［i]］[V[ｊ］]＋D[Ｖ[i+1］］［V[j＋1]］<Ｄ［V［i]］[V［i+１]]＋D[V[ｊ]］［V［j＋１］］)｛?

ｉntl；?

ｌ＝V[i＋1]；Ｖ[ｉ+1］=V[ｊ］；V［j］=l；?

｝

｝?

}

｝?

｝

floatｔｏtal=０；?

ｃout<〈”最小回路："＜<enｄl；?

fｏr（i=０；ｉ<＝ｖｅrtｉceｓ；ｉ+＋){?

?

cout＜<Ｖ［ｉ]+１<<'＇；?

｝?

cｏut〈<ｅndｌ；?

for(i＝0;i〈vertｉces；i＋+）?

toｔal+=D［V［i］][V[i+1]]；

coｕｔ<<＂最短路徑長(zhǎng)度:＂＜〈endl；?

cｏｕt〈<tｏｔａl;?｝Ｃ語(yǔ)言程序＃ｉnｃｌude〈stdｉｏ．h＞?#include〈sｔｄｌiｂ。h＞?＃iｎclude＜matｈ。ｈ>?＃incluｄｅ〈alloc.ｈ＞

＃ｉncluｄｅ＜cｏnio。ｈ＞?＃ｉnｃｌｕdｅ<ｆloａt(yī)．h＞?＃inclｕde〈tiｍｅ．h>

#ｉｎｃluｄe〈graphｉcs。ｈ〉?#ｉnclude＜bios。ｈ〉＃defｉne

ｍａxpop

100?#define

ｍaxsｔｒｉng

100?stｒｕct

ｐｐ｛ｕnsｉgnｅdｃharchroｍ［mａｘstrｉng]；?

ｆｌoatx，fiｔnesｓ；?

ｕnｓiｇneｄiｎtparenｔ1,parent2，xｓiｔe；

｝;

sｔructpp＊ｏｌdpoｐ，＊nｅwｐoｐ，＊p1；

unｓiｇnｅｄiｎtpopsize,ｌｃhrom,gem，mａxｇen,co＿min，ｊｒanｄ；?unsｉgnｅｄintｎmuｔaｔｉｏn,ｎcross，jｃrｏss,ｍaxpp，ｍinpp，mａｘxｙ；?flｏatpcross，ｐmｕｔatiｏn，ｓｕｍｆiｔｎeｓｓ，avg，ｍax,min，seed,ｍaxolｄ,oldrａnd[ｍａxstring］；

ｕnsigneｄcｈａrx［maxsｔriｎg]，ｙ［ｍａxｓtｒｉng］；?fｌoat*dd,ff，maxdｄ,reｆpｄ，ｆｍ[２０1］;?ＦＩLE＊fp,*fp1；

fｌoａt(yī)ｏbｊfuｎｃ(flｏaｔ)；?voｉdstatｉsｔics（)；?intｓeｌect（)；?intflip(fｌoａt(yī)）;?ｉｎｔcroｓｓｏvｅr()；?voｉdgenｅratｉoｎ（);?vｏidiｎｉtializｅ（)；

vｏidrepoｒt(）；?fｌoａt(yī)ｄｅcodｅ()；?ｖoidｃｒtiｎｉt(）；?voidｉnveｒsｉon(）;?ｆlｏaｔｒandom1（);?voｉｄｒandomize1(）;mａin（）?{ｕnｓigｎedｉnｔｇeｎ,ｋ，j，tt；?ｃhａｒfnａｍe[10］;?fｌoａt(yī)tｔt；?cｌｒsｃｒ()；

co_min=0;?if(（oldpop＝（struｃtｐp*)ｆarmaｌlｏc(mａxpｏｐ＊sizｅoｆ(ｓtｒuｃｔpp)）)==ＮＵＬL）?

｛ｐｒｉｎtｆ("memorｙｒequｓtｆaｉｌ！\n＂）;ｅxｉt（０）；}?if（（dd=（float＊）faｒｍａllｏc（maxｓｔrｉng＊maｘｓｔrｉng*ｓizｅof（floaｔ）)）＝＝NULL）?

{pｒiｎｔf(”ｍemoｒyreqｕstｆail!\n"）；ｅｘiｔ(０）；｝?if(（ｎewpｏp=（ｓｔruｃｔpｐ＊)ｆaｒmalｌｏc(maxｐop＊ｓｉｚeｏｆ(structpｐ)))==NULL)?

{prｉntｆ（＂memoryrequstfaiｌ?。躰")；eｘit(０）；}?iｆ（(p１=（structｐp*)farｍalｌｏc(sｉzeof(stｒuctpp)））=＝NＵＬL）?

{pｒｉntｆ("memｏｒｙｒeｑustfaｉl！＼n”)；exｉt（０);｝?foｒ(k＝0;k〈maxpoｐ；k++)oｌdpop[k]．chｒom[０]=＇\0＇；?fｏr(k＝０；k〈mａxpop；k++)neｗpop［k］.ｃｈrom［0］=＇\0＇;?printf(”ＥnterＲesulｔDaｔaFilename：”)；?getｓ（fｎａｍe）；?if（（ｆp=fｏpeｎ（fnaｍe,"w+”)）=＝NＵLL）?

｛printｆ（"caｎnotoｐenfiｌe\n”)；ｅxｉt(0）;｝?gｅｎ=０；?rａnｄｏmize（);?inｉｔiａｌｉｚe（）;fputs（”thiｓｉsresｕltofthｅＴＳPproblｅm：＂，fp）；?fｐｒiｎｔｆ(fp，”ｃity:％2dpｓｉze：％３dReｆ．ＴＳＰ_patｈ:％ｆ\n"，lchrｏm,ｐopｓize，reｆｐｄ）;

ｆｐrｉntf（fｐ，"Pｃ：％ｆPm:％ｆＳｅe(cuò)ｄ:％f\n＂,pｃｒoss，pmutａｔioｎ,seed）；?fpriｎtf（fp，＂Xｓite：\n”);?fｏｒ（k＝０;k＜ｌchrｏｍ；k++)

｛iｆ((k％1６）==０）fprintf（ｆｐ,”\n"）;

ｆｐrinｔf（ｆｐ，＂%5d”,ｘ［k]）；?

｝?fｐriｎtf（fp,"＼nＹsｉｔe：＼n")；?ｆｏｒ(k＝０；k<ｌｃhroｍ;k++）

{iｆ（（k%16）==0)fpriｎtf(fp，"\ｎ")；?

ｆpｒintf（fp,”％5d",y[k］）；

}

ｆｐrｉｎtf(fp，”\ｎ”）；?crｔinit（);?stａt(yī)isｔics（ｏldｐｏp)；

rｅpｏｒｔ（gｅｎ，oldｐｏp)；?getｃh（）；?maｘold=ｍｉn；?fm[０］=1００.0*oldｐｏp［ｍaxpp］．x/ff；?dｏ｛

gen＝gen＋1；?

generatｉon();?

sｔａt(yī)iｓtiｃｓ（ｏldpop);?

if（maｘ〉mａxｏld）

{maxoｌｄ=max；

co_mｉn=０;?

｝?

fｍ［ｇen％2０0]＝１00．０＊olｄpoｐ[mａxpp].ｘ/ff；?

report（geｎ,oldｐop）;

gotoxy（30,２5);

ｔtt=cｌock（)/１8．2；?

tt=ｔtｔ/60；?

ｐrintf（”ＲunＣloｃk:%２d：％2d：％4．2f”,ｔt／６0，tt%60，ｔtt—tt＊6０。0）；

ｐrintｆ（"Min=%6.4ｆNm：％ｄ\ｎ”,ｍin,cｏ_ｍｉｎ）;?

｝while（(gen<1００）＆＆!bioｓkｅy（1))；?priｎｔf(＂\ｎｇen＝％d”，geｎ);

dｏ{?

gｅn=geｎ＋1；?

gｅｎｅrａt(yī)ion（)；

ｓtatｉstics(ｏｌdpｏｐ）;?

if(max〉ｍaxold)?

｛mａxoｌd＝ｍax；?co_mｉn＝０；?

｝?

fm［gｅn%2０0］=１０0.0*ｏｌdpｏｐ［ｍａｘｐp].x／ff；?

ｒeｐoｒt（gen,oｌdpop）；?

ｉｆ（(gen%１00）==０)ｒｅｐorｔ（ｇeｎ，olｄpop)；

gｏｔoxy（30，25）;?

ｔtt=ｃloｃｋ（）/1８.2;?

tｔ=ｔtt／6０；?

printf（"RｕｎClock:%２ｄ：％２d：%4．2f＂，tt／60，ｔt％60，ｔｔｔ－tt＊60.０）；?

printf（”Mｉn＝%６。4fNm：％d＼ｎ＂,ｍiｎ,co＿ｍin)；

｝whiｌｅ(（gen〈maxｇen）＆&!bｉoｓｋｅｙ(1）)；ｇeｔｃｈ（）；?for（k=0;ｋ<lｃhrom;k＋＋)?

{ｉf（(ｋ％16)=＝０）ｆprintf（ｆp，＂＼n”）;

ｆpｒｉntｆ（fp，＂％5ｄ”,oｌdpoｐ［ｍaｘｐp］．ｃhrom［k])；?

}?fprinｔf(fp，”\ｎ”);fclose（fｐ）;

ｆａｒfreｅ(ｄd)；?ｆarｆrｅｅ(ｐ１）；

ｆarfreｅ(ｏldpｏp);?farｆｒee（neｗpoｐ）；?rｅｓｔoｒｅｃrtmoｄe();?eｘit（０）；?}／*％%％%％%％％%％％%％％％％＊/ｆｌｏat

objfｕnｃ（ｆlｏａt(yī)ｘ1）?｛fｌoａt(yī)y；?

y=10０．0＊ｆf/ｘ1;?

ｒｅtｕrnｙ；?

}/＊＆&＆＆&&&＆&＆&＆&&＆&＆&＆*／voidｓｔａt(yī)iｓtｉcs（pop）

structpｐ*ｐop；

｛iｎtj；?sumfitｎｅss＝pop［０］.fiｔnesｓ；

mｉn=poｐ［0]．ｆitnｅｓs；

maｘ=ｐop［0］.fｉtness；?maxpp=0；?mｉnpp=0；?for(ｊ=1;j＜popsize;ｊ+＋）?

｛sｕmfitnｅｓｓ=ｓumfitnesｓ+pop[ｊ]。fitneｓs;

if(poｐ[j］．ｆiｔnｅss>ｍax）?｛mａx＝pop［ｊ］。ｆｉtｎｅsｓ；?

ｍaｘpp=j；?｝?

if（pｏp[j]．ｆiｔｎｅｓs<min)?{min=ｐop［ｊ]。fiｔnｅsｓ；?

mｉnpp=j;?｝

｝avg=sｕｍfitneｓｓ／(ｆｌoａｔ）popsiｚe;

}/＊％％%%%%%％%%%％％％%％％％%%*/ｖoｉdgeｎeration(）

{uｎsｉgnedｉｎtk,j,ｊ１，j2，i1,ｉ2,maｔe1,ｍate２；?floatf１，f2；

ｊ=0；?do{?

maｔe1=seleｃt(）；?

pp：ｍａt(yī)e２=selecｔ(）；?

iｆ（maｔe1＝＝ｍatｅ2）gｏtopp；?

cｒoｓｓｏｖer（oｌdpｏp[matｅ１］。ｃhrom,oｌdpｏp［ｍａt(yī)e2］．chrom,j）;?

newpop［j]．x＝(flｏａｔ)ｄeｃｏde（nｅwpop[j].ｃhrom）；?

ｎｅｗpop[j］．fiｔness=oｂjfunc（ｎeｗｐｏp[j]．x）;?

newｐｏp[j]。ｐａｒenｔ1=maｔe1；?

nｅwpop[j]。ｐaｒeｎｔ２=maｔe２；?

nｅｗpｏp［j］．xsiｔe＝j(luò)ｃrｏss;?

ｎｅｗpop[j+1］．ｘ=（ｆloaｔ）deｃｏde（newpoｐ[j＋１］。chrom）；?

neｗpoｐ［j+1]．ｆｉtnｅss＝obｊfuｎc（ｎewpop［ｊ＋1］.ｘ）；?

nｅｗpop[ｊ＋1]。parｅnt1=ｍate1;

neｗpoｐ［ｊ＋1］．paｒent２=maｔe2;?

newpop［j+１］．xsitｅ=jcross;?

ｉf（nｅwpop［j].fitｎeｓｓ〉ｍin）?{foｒ（ｋ＝0;k＜ｌchｒom;ｋ+＋）?

oldｐop［minpp］．chroｍ[k]=newｐｏp［ｊ]。cｈｒｏm［k］;?

oldpop[ｍｉnｐp］.x=ｎｅwpoｐ[j].x；

olｄpop[mｉｎｐp］．fitneｓs＝nｅwｐｏｐ［ｊ］。ｆｉｔｎｅｓｓ;?

co＿ｍin＋＋；?

rｅtuｒn;?｝

if（ｎｅwpop［ｊ+1］.fｉｔｎess>miｎ)?{ｆｏｒ(ｋ=0；k〈ｌcｈrom;k++)?

oldpoｐ[ｍinpp]．chｒoｍ[k］＝ｎewpｏｐ［j+1］.chrｏm［ｋ]；?

ｏlｄpｏp[miｎpp］．x=ｎewｐｏp[j+1］。x;?

olｄpop［minｐｐ]。ｆitnｅｓｓ=nｅwpop［j+1］。fitｎesｓ;?

co_miｎ＋+；?

ｒetuｒn;?}

j=j+2;?

}wｈｉle（ｊ＜popｓize）;?}/*%％%％%％％％％%％%％％％％％*／voｉｄｉｎiｔdaｔａ（)?{unsiｇｎｅｄiｎtｃh,j；

clｒｓcr（);?prｉnｔｆ(＂－——--－—－———-——-－－－—－－-－\ｎ”）；

priｎtf（”AＳＧA＼ｎ＂）；?pｒｉnｔf(”—--—-—-－—--－—-－-—－－－-－—－＼n＂）;

/＊paｕｓe（）；＊/ｃlrscr（)；?priｎtｆ（”＊***＊**SＧADＡTＡEＮTRＹＡNＤINIＴILIZATIＯＮ*＊*＊＊**\ｎ")；?ｐriｎtf（＂＼n"）；?prｉｎtf（＂iｎpuｔpopsize”）;sｃanf（"％d",&ｐoｐｓｉze）；?printｆ("iｎｐutcｈｒomｌeｎgth＂）;scanf（＂％d＂，＆ｌｃhrom)；

printf（＂inpuｔmaｘgeｎｅraｔｉoｎs"）；sｃａnf(＂％d",＆maｘgen）;

pｒiｎtf（"inｐuｔcroｓsoverｐrｏbabｉｌiｔy＂）；sｃａnｆ(”%f＂,＆pcｒoss）；?ｐｒiｎｔｆ（"ｉnputｍutａｔionpｒob”）;scａnｆ（＂％f＂,&ｐmutaｔion);?ｒandomｉze1（）;?clrｓｃｒ（);?nｍutａt(yī)ｉoｎ=0;?ncrｏss＝0；

｝／*％％%％％％%％％%%％%％%%%％%％＊/ｖｏｉdiniｔｒｅport（)

{ｉｎtj,k;?priｎｔｆ(＂ｐｏpsize＝%d\ｎ”,poｐｓiｚｅ);?pｒintf(”chroｍoｓｏmeｌｅngｔh=％d＼ｎ"，lchrom）；?ｐｒｉntｆ（"maxgｅn=％d\ｎ＂,ｍaxgeｎ);?printf("pmutatiｏn＝%f\n＂,ｐmuｔａt(yī)ion）；

ｐrinｔf(＂pcrｏｓｓ＝%f\n"，ｐｃｒosｓ);?ｐｒｉntｆ(”iｎiｔiaｌｇｅｎｅrationsｔａｔisｔｉｃs＼n"）;?priｎtf（”inipopmａｘfitneｓs=%f\n"，max）；

ｐrintf(”inｉpopａvrfiｔnｅｓs=％f\n＂，aｖｇ）；?ｐrｉntf(”inｉｐｏpmｉnfiｔnｅｓs=％f＼n＂,mｉn);?pｒinｔf(”ｉｎipopｓumfｉt＝％ｆ\n"，sumｆitness）；?｝

ｖｏiｄｉｎitｐop（）

{unｓignedchａｒj1;?unｓigｎedintk5,i1,i２,ｊ，i，ｋ，j2,j3,ｊ4,ｐ５[ｍaxｓtrinｇ]；?ｆloaｔｆ１,ｆ2；?j=0；?for(k=０;k<lchroｍ;ｋ＋+)?

olｄpｏp［j］。ｃhｒom［k］＝ｋ；?ｆor（k=0；ｋ<lchrｏｍ；ｋ+＋)?

p5［ｋ］＝oldpoｐ[j］．ｃｈｒoｍ［ｋ］；?ｒandoｍizｅ（);

for(;ｊ〈pｏpｓｉｚｅ;ｊ++）?

｛ｊ２=random(lｃhｒom）;

ｆor(k=０;k<ｊ2+２0;k++）?

{j３＝ranｄom（lchrｏｍ）；

ｊ４＝ｒａｎｄom（lchroｍ)；

j1＝ｐ5[j3］;?

p5［j３］=p5［j4］;?

p5［ｊ4］=j１;?

｝?

foｒ（k=0；ｋ＜lｃhｒom；k＋+）?

oｌｄｐｏp[j］．ｃhrom［k]=p5［ｋ];?

｝

fｏｒ（ｋ=０;ｋ＜ｌｃhrom；ｋ＋+)?

foｒ(ｊ＝0；j〈ｌchrｏm;j++)?

dｄ［k＊ｌchrom+j］=hyｐot（x［k］－x［j］,y［k]－y[j］）；?

foｒ（ｊ＝0;j＜poｐｓizｅ；ｊ+＋）?

{oldpop［j］．x=（ｆｌoat）decodｅ（oldpop［j］.chrom）;?

oldｐop［j].fｉtｎeｓs=obｊfｕnｃ（oｌdpｏｐ[ｊ］．x）；?

olｄpｏp［j]．ｐａreｎｔ１=0;?

ｏｌｄｐｏp［ｊ］.pａrenｔ2=０；

oldpop［j］．xsiｔe=０;?

｝?｝／＊＆＆＆＆＆＆＆＆＆&&&＆＆＆&＆＊/?voｉdｉnｉｔialiｚｅ()?｛intｋ，j,mｉnｘ，miny，mａxx,mａxｙ；?iｎitdａt(yī)a（)；?mｉnx＝０;?miny=０；

mａｘx=０；maxy=0；?ｆor（k=0;k<lｃhrom；k+＋)

｛ｘ［k]＝rand(）；?

if(x［k］>mａｘx)maxx=ｘ[k］；?

if（x［ｋ］〈ｍinx）miｎx＝x［ｋ］;?

y［k］=rand();?

if(y[ｋ］〉ｍａxｙ）maxｙ=y［k］；?

if（ｙ［ｋ]<ｍiny）miny=y[k］；?

｝?iｆ（（maｘｘ—minx）＞（maxy-miny））?

｛ｍaxxy=mａｘｘ—ｍｉｎx；｝?

elｓe{maxｘy＝ｍａxy－ｍiny;}?maｘdd=0．0；

ｆｏr（ｋ=0;k〈ｌｃhｒoｍ；k+＋)?

for（ｊ＝０；ｊ＜lchrom；j++)?

｛dｄ［k＊lcｈroｍ+j]=hypｏt(ｘ[k］—x［j］，ｙ［k］－y［j］）;?

if（maｘdｄ＜dd[k＊lchrom＋ｊ］）ｍａｘdｄ＝ｄd［k＊ｌchrom+ｊ］；?

}?refpd＝ｄｄ［lchｒｏm－１];

ｆｏr（ｋ＝0；k＜lchrom；k++)?

refpｄ＝rｅfpd+dｄ［k＊ｌcｈrｏm+ｋ+2］；?for（j=０;ｊ〈ｌｃhｒｏm；j＋＋）?

dd[j*ｌchｒom+j]＝4.０*ｍaxdd；?ff=（０.765＊ｍａｘxy＊ｐow(lchｒom,0．5））；

ｍinpp=0；

ｍｉn=dd[lｃｈｒom—1];?ｆｏｒ（ｊ＝0；j＜lcｈrom-1；j＋+)?

{if(dd[ｌchｒom＊j＋lchｒｏm—1］<ｍin)?｛mｉｎ=ｄd［lchrom＊j+lｃhroｍ－１］；

minpｐ=j；

｝?

｝

iｎｉtpop（）；?statiｓtiｃs（oldpop)；?inｉtｒｅport(）；?｝／＊＆&&＆&＆&&&&＆&＆&＆＆＆&＊/voidreport（ｉntl，stｒuctpp*poｐ）

｛inｔk，ｉｘ,ｉy，ｊx，jy；?uｎsigｎｅdinttt；?floattｔｔ；?cleａrdevｉｃe（)；

gotoxy（1，１）；?pｒｉntf(＂ciｔy:％4d

pａra_siｚe：％4ｄ

maｘｇen：%4d

ｒef_touｒ:%f\n”?

，lｃｈrom,popｓiｚe，maｘｇen，reｆpｄ);?ｐｒintf（”nｃross:%4d

Nｍuｔation:%4dRｕngen:％4dAＶG=%8.４ｆMＩN=％８.4f＼ｎ＼n"

，ncｒoｓｓ，ｎｍｕtatioｎ，l，avg,min）;?priｎtf(＂Rｅｆ．ｃｏminpatｈ:％6．4fＭｉnpaｔhlｅngtｈ：%1０.4ｆＲef_ｃo＿ｔｏｕr:％f\n＂

，pｏp[ｍaxpp］.x/ｍaxxy，pop[maxpp]．x，ff）;?priｎtf(”Cｏ＿minpath：％6。４fＭaｘｆit：%10.８ｆ＂?

，1００．0＊pop［mａxpp］。ｘ/ff，pop[ｍaxｐp］。ｆｉtｎess）；?ｔｔt=cｌｏｃｋ()/18。2;

tt=tｔt/60；

printｆ("Ｒunｃｌoｃk:％２ｄ：%２d：%４d．２f\n"，tt/60,tt％6０，tｔt-tt＊6０．０)；?setcolｏr(1％１5+1）；

foｒ(k=０;ｋ<lｃhrｏm－１；ｋ+＋)?

｛ix=x[pｏｐ［maｘpｐ]。ｃhrｏm[k］];?

ｉｙ=y［ｐop[mａxpp]．chrｏm［ｋ］]+110;?

ｊｘ＝x［pop［maｘpp]．cｈrom［k+1］］;?

jｙ＝y(tǒng)［ｐｏp［ｍaｘpｐ］。ｃｈｒom[k+1］］+１１0;

line(ix,ｉｙ，ｊｘ，jy)；?

ｐuｔpixel(ix，iｙ，ＲED);?

｝

ix＝x［pop[maxpp］．chrｏｍ［０]]；?iy=ｙ[pｏｐ［ｍaxpp]。cｈrｏm［０］]＋1１0；?ｊx=x[pop［maxpp]．chroｍ［ｌｃhｒｏm－１］]；

jｙ=y［pop[maxpp］.ｃhroｍ［lchｒoｍ－1］］+110；?ｌｉnｅ（ix,iy，jｘ，jｙ）；?ｐutｐｉｘel（ｊx，jy，RED）；

setcolor（1１）；?oｕttｅｘtxｙ（ix，iy,"＊”）;?ｓetcolor(1２)；?foｒ（k=0；k〈1％２00；k+＋)

{ix=k+2８０;

iy=３６６-ｆm[k]／3;?

jx=ix+１;?