第四講最不利原則

四年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練之最不利原則20161106在國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常出現(xiàn)一些在自然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問(wèn)題，我們稱(chēng)之為離散最值問(wèn)題。解決這類(lèi)非常規(guī)問(wèn)題，尚無(wú)統(tǒng)一的方法，對(duì)不同的題目要用不同的策略和方法，就具體的題目而言，大致可從以下幾個(gè)方面著手：1.著眼于極端情形；2.分析推理——確定最值；3.枚舉比較——確定最值；4.估計(jì)并構(gòu)造。常常需要從最不利的情況出發(fā)分析問(wèn)題，這就是最不利原則。例1口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各20個(gè)。問(wèn)：一次最少摸出幾個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)小球顏色相同？分析與解答：如果碰巧，可能你一次取出的4個(gè)小球的顏色都相同。但顯然，僅僅摸出4個(gè)小球，并不能保證它們的顏色相同，因?yàn)樗鼈兊念伾部赡懿幌嗤?。因此，為了“保證至少有4個(gè)小球顏色相同”，我們就要從最“不利”的情況出發(fā)來(lái)考慮。如果最不利的情況都滿(mǎn)足題目要求，那么其它情況必然也能滿(mǎn)足題目要求?！白畈焕钡那闆r是什么呢？它就是我們俗話(huà)說(shuō)的運(yùn)氣最差的情況，實(shí)際總是與所希望的相反。那么，在這里，什么樣的情況最“慘”呢？那就是我們摸出了3個(gè)紅球、3個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球，此時(shí)三種顏色的球都是3個(gè)，卻無(wú)4個(gè)球同色。為什么說(shuō)這就是最不利的了呢？因?yàn)檫@時(shí)我們接著再摸出一個(gè)球的話(huà)，無(wú)論是紅色還是黃色或者藍(lán)色，都能保證有4個(gè)小球顏色相同。所以，一次最少摸出10個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)小球顏色相同。由此我們看到了，最不利原則就是從“極端糟糕”、從“運(yùn)氣最差”的角度來(lái)考慮問(wèn)題。什么樣的情況我們要用最不利原則來(lái)考慮呢？那就是題目中出現(xiàn)要“保證……”時(shí)，這“保證”二字就要求我們必須從最不利的情況去分析問(wèn)題。

通過(guò)上面分析，列式為：

例2一把鑰匙只能開(kāi)一把鎖，現(xiàn)有10把鑰匙和10把鎖，最少要試驗(yàn)多少次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配？

分析與解：從最不利的情形考慮。用10把鑰匙依次去試第一把鎖，最不利的情況是試驗(yàn)了9次，前8次都沒(méi)打開(kāi)，第9次無(wú)論打開(kāi)或沒(méi)打開(kāi)，都能確定與這把鎖相匹配的鑰匙（若沒(méi)打開(kāi)，則第10把鑰匙與這把鎖相匹配）。同理，第二把鎖試驗(yàn)8次……第九把鎖只需試驗(yàn)1次，第十把鎖不用再試（為什么？）。通過(guò)上面分析，列式為：

例3在一副撲克牌中，最少要取出多少?gòu)?，才能保證取出的牌中四種花色都有？

分析與解：一副撲克牌有大、小王牌各1張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四種花色各13張，共計(jì)有54張牌。最不利的情形是：取出四種花色中的三種花色的牌各13張，再加上2張王牌。這41張牌中沒(méi)有四種花色。剩下的正好是另一種花色的13張牌，再抽1張，四種花色都有了。因此最少要拿出42張牌，才能保證四種花色都有。

例4口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共18個(gè)。其中紅球3個(gè)、黃球5個(gè)、藍(lán)球10個(gè)?，F(xiàn)在一次從中任意取出幾個(gè)，為保證這幾個(gè)小球至少有5個(gè)同色，那么最少要取多少個(gè)？分析與解：與上例類(lèi)似，這也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是什么呢？是取了3個(gè)紅球、4個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球，共11個(gè)。此時(shí)袋中只剩下黃球和藍(lán)球，所以再取一個(gè)球，無(wú)論是黃球還是藍(lán)球，都可以保證有5個(gè)球顏色相同。因此，所求的最小值是12。熱身操

1.口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各20個(gè)。問(wèn)：一次最少摸出幾個(gè)，才能保證至少有5個(gè)小球顏色相同？2.口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共20個(gè)，其中紅球4個(gè)、黃球6個(gè)、藍(lán)球10個(gè)。問(wèn)：一次最少取出幾個(gè)，才能保證至少有6個(gè)小球顏色相同？3.口袋里有三種顏色的筷子各10根。問(wèn)：（1）至少取幾根才能保證三種顏色的筷子都取到？至少取幾根才能保證有顏色不同的兩雙筷子？至少取幾根才能保證有顏色相同的兩雙筷子？一個(gè)布袋里有紅色、黃色、黑色襪子各20只。問(wèn)：最少要拿多少只襪子才能保證其中至少有2雙顏色不相同的襪子？最不利原則練習(xí)題集1、肉包子7個(gè)，素包子6個(gè)，至少吃幾個(gè)，才能吃到兩種餡？2、白球7個(gè)，黑球8個(gè)，至少摸幾個(gè)，才能保證：1）有2個(gè)相同顏色的球？2）有2個(gè)不同顏色的球？3）、有2個(gè)黑球？4）、有2個(gè)白球？5）、有1個(gè)黑，1個(gè)白？6）、每種顏色都有5個(gè)球？7）、保證有5球同色？3、黃球10個(gè)，白球7個(gè)，黑球8個(gè)，至少摸多少個(gè)，才能保證：1）有3種顏色的球？2）、一定會(huì)有黑球？3）、一定會(huì)有黃球？4）、有3球同色？4、黃球3個(gè)，白球7個(gè)，黑球8個(gè)，至少摸幾個(gè)，才能保證5個(gè)球同色？5、在一副撲克牌種，最少取出多少?gòu)?，才能保證：1）、四種花色都有？2）取出2張紅桃？3）有1張10？4）有1張紅桃10？5）有2張花色相同？6、口袋里有足夠多的紅，白，藍(lán)，黑四種顏色的單色球，從口袋中任意取出若干個(gè)球，至少要取出多少個(gè)球才能保證有9個(gè)球是同一顏色的？7、一排椅子只有27個(gè)座位，部分座位已有人就座，東東來(lái)后一看，他無(wú)論坐哪個(gè)座位，都將與已就座得人相鄰。在東東來(lái)之前就已就座的最少有幾人？8、一排椅子只有35個(gè)座位，部分座位已有人就座，樂(lè)樂(lè)來(lái)后一看，她無(wú)論坐在那個(gè)座位，都將與已就座的人相鄰，在樂(lè)樂(lè)來(lái)之前就已就座的最少有幾人？9、一排椅子只有22個(gè)座位，部分座位已有人就座，樂(lè)樂(lè)來(lái)后一看，她無(wú)論坐在那個(gè)座位，都將與已就座的人相鄰，在樂(lè)樂(lè)來(lái)之前就已就座的最少有幾人？10、一個(gè)布袋里有大小相同，顏色不同的一些小球，其中紅的10個(gè)，白的9個(gè)，黃的8個(gè)，藍(lán)的2個(gè)，一次至少取多少個(gè)球，才能保證有4個(gè)相同顏色的？11、將3支紅筷子，9支黃筷子，18支綠筷子，2支白筷子和1支黑筷子放在一個(gè)布袋里，至少摸多少支才能保證有兩雙顏色相同的筷子？12、口袋中放有紅，黃，白，黑四種顏色的襪子各10只，只許用手摸，不許用眼看，至少要從口袋中取出多少只襪子才能保證配成5雙，（一雙指同顏色的襪子兩只）13、參加學(xué)校歌詠比賽的學(xué)生中，最小的9歲，最大的13歲，那么從這些學(xué)生中任選(

)位就一定能保證其中有兩位隊(duì)員的年齡相同。14、桃、梨、蘋(píng)果、草莓四種水果各若干個(gè)混放在一起，每個(gè)人取出兩個(gè)，那么至少需要(

)個(gè)人才能保證有兩人取出的水果是完全相同的。15有布娃娃、書(shū)包、文具盒三種禮品各若干個(gè)。每個(gè)小朋友任意拿兩個(gè)，需要(

)個(gè)小朋友才能保證至少有兩人選的禮品相同。16、文具盒中有5枝黑筆和3支藍(lán)筆混合放在一起，那么一次至少摸出(

)枝筆才能保證至少有一枝藍(lán)筆“一同一和十”速算法請(qǐng)你運(yùn)用前面介紹的“首同末和十”和“末同首和十”的速算方法來(lái)推理“一同一和十”的速算方法。1）嘗試筆算下面的題目，仔細(xì)觀(guān)察有什么樣的規(guī)律。33×19＝66×82＝37×44＝77×46＝91×88＝2）說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律。3）和老師一起總結(jié)速算方法：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“同×（頭+1）”仍注意：如果“尾×尾”只有一位則在前面補(bǔ)“0”。4）速算高手擂臺(tái)22×37＝99×64＝28×55＝91×44＝73×44＝91×33＝77×82＝37×55＝82×44＝28×66＝22×64＝73×44＝28×11＝91×88＝73×99＝55×64＝19×44＝37×11＝46×88＝28×99＝56×56=86×84=73×33=63×67=27×87=29×21=36×76=87×83=95×15=76×74=38×78=56×54=62×42=