高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)內(nèi)附類型題以及歷年高考真題

三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法任意角的三角函數(shù)：弧長公式：R為圓弧的半徑，為圓心角弧度數(shù)，為弧長。扇形的面積公式：R為圓弧的半徑，為弧長。同角三角函數(shù)關(guān)系式：①倒數(shù)關(guān)系：②商數(shù)關(guān)系：，③平方關(guān)系：誘導(dǎo)公式：〔奇變偶不變，符號(hào)看象限〕k·/2+所謂奇偶指的是整數(shù)k的奇偶性函數(shù)2.兩角和與差的三角函數(shù)：〔1〕兩角和與差公式：注：公式的逆用或者變形〔2〕二倍角公式：從二倍角的余弦公式里面可得出降冪公式：，〔3〕半角公式〔可由降冪公式推導(dǎo)出〕：，，3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：〔其中〕三角函數(shù)定義域〔-∞，+∞〕〔-∞，+∞〕值域[-1,1][-1,1]〔-∞，+∞〕最小正周期奇偶性奇偶奇單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增對(duì)稱性零值點(diǎn)最值點(diǎn)，；，無4.函數(shù)的圖像與性質(zhì)：〔本節(jié)知識(shí)考察一般能化成形如圖像及性質(zhì)〕函數(shù)和的周期都是函數(shù)和的周期都是五點(diǎn)法作的簡圖，設(shè)，取0、、、、來求相應(yīng)的值以及對(duì)應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平移后伸縮。切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖像變換要看“變量〞起多大變化，而不是“角變化〞多少。〔附上函數(shù)平移伸縮變換〕:函數(shù)的平移變換：①將圖像沿軸向左〔右〕平移個(gè)單位〔左加右減〕②將圖像沿軸向上〔下〕平移個(gè)單位〔上加下減〕函數(shù)的伸縮變換：①將圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的倍〔縮短，伸長〕②將圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A倍〔伸長，縮短〕函數(shù)的對(duì)稱變換：=1\*GB3①)將圖像繞軸翻折180°〔整體翻折〕〔對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于軸對(duì)稱〕=2\*GB3②將圖像繞軸翻折180°〔整體翻折〕〔對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于軸對(duì)稱〕③將圖像在軸右側(cè)保存，并把右側(cè)圖像繞軸翻折到左側(cè)〔偶函數(shù)局部翻折〕=4\*GB3④保存在軸上方圖像，軸下方圖像繞軸翻折上去〔局部翻動(dòng)〕5、方法技巧——三角函數(shù)恒等變形的根本策略?！?〕常值代換：特別是用“1〞的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tan*·cot*=tan45°等?！?〕項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2*+2cos2*=(sin2*+cos2*)+cos2*=1+cos2*；配湊角：α=〔α+β〕－β，β=－等。〔3〕降次與升次?！?〕化弦〔切〕法?！?〕引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。類題：1．tan*=2，求sin*，cos*的值．解：因?yàn)椋謘in2*＋cos2*=1，聯(lián)立得解這個(gè)方程組得2．求的值．解：原式3．假設(shè)，求sin*cos*的值．解：法一：因?yàn)樗詓in*－cos*=2(sin*＋cos*)，得到sin*=－3cos*，又sin2*＋cos2*=1，聯(lián)立方程組，解得所以法二：因?yàn)樗詓in*－cos*=2(sin*＋cos*)，所以(sin*－cos*)2=4(sin*＋cos*)2，所以1－2sin*cos*=4＋8sin*cos*，所以有4．求證：tan2*·sin2*=tan2*－sin2*．證明：法一：右邊＝tan2*－sin2*=tan2*－(tan2*·cos2*)=tan2*(1－cos2*)=tan2*·sin2*，問題得證．法二：左邊=tan2*·sin2*=tan2*(1－cos2*)=tan2*－tan2*·cos2*=tan2*－sin2*，問題得證．5．求函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的值域．解：因?yàn)?≤*≤2π，所以由正弦函數(shù)的圖象，得到所以y∈[－1，2]．6．求以下函數(shù)的值域．(1)y＝sin2*－cos*+2；(2)y＝2sin*cos*－(sin*＋cos*)．解：(1)y=sin2*－cos*＋2＝1－cos2*－cos*＋2=－(cos2*＋cos*)＋3，令t=cos*，則利用二次函數(shù)的圖象得到(2)y＝2sin*cos*－(sin*＋cos*)=(sin*＋cos*)2－1－(sin*＋cos*)，令t=sin*＋cos*，，則則，利用二次函數(shù)的圖象得到7．假設(shè)函數(shù)y=Asin(ω*+φ)(ω＞0，φ＞0)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為，它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與*軸交于(6，0)，求這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式．解：由最高點(diǎn)為，得到，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個(gè)周期，從而與*軸交點(diǎn)的間隔是個(gè)周期，這樣求得，T=16，所以又由，得到可以取8．函數(shù)f(*)=cos4*－2sin*cos*－sin4*．(Ⅰ)求f(*)的最小正周期；(Ⅱ)假設(shè)求f(*)的最大值、最小值．?dāng)?shù)的值域．解：(Ⅰ)因?yàn)閒(*)=cos4*－2sin*cos*－sin4*＝(cos2*－sin2*)(cos2*＋sin2*)－sin2*所以最小正周期為π．(Ⅱ)假設(shè)，則，所以當(dāng)*=0時(shí)，f(*)取最大值為當(dāng)時(shí)，f(*)取最小值為，求〔1〕；〔2〕的值.解：〔1〕；(2).說明：利用齊次式的構(gòu)造特點(diǎn)〔如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到〕，進(jìn)展弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡化。求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域?yàn)椤?．函數(shù)?！?〕求的最小正周期、的最大值及此時(shí)*的集合；〔2〕證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。解：(1)所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，只要證明對(duì)任意，有成立，因?yàn)?，，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。4．函數(shù)y=cos2*+sin*·cos*+1〔*∈R〕,〔1〕當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量*的集合；〔2〕該函數(shù)的圖像可由y=sin*(*∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：〔1〕y=cos2*+sin*·cos*+1=(2cos2*－1)++〔2sin*·cos*〕+1=cos2*+sin2*+=(cos2*·sin+sin2*·cos)+=sin(2*+)+所以y取最大值時(shí)，只需2*+=+2kπ,〔k∈Z〕，即*=+kπ,〔k∈Z〕。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量*的集合為{*|*=+kπ,k∈Z}〔2〕將函數(shù)y=sin*依次進(jìn)展如下變換：〔i〕把函數(shù)y=sin*的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(*+)的圖像；〔ii〕把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)y=sin(2*+)的圖像；〔iii〕把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍〔橫坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)y=sin(2*+)的圖像；〔iv〕把得到的圖像向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin(2*+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2*+sin*cos*+1的圖像。歷年高考綜合題一，選擇題1.〔08全國一6〕是〔〕A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)2.〔08全國一9〕為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像〔〕A．向左平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位3.(08全國二1)假設(shè)且是，則是〔〕A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4.〔08全國二10〕．函數(shù)的最大值為〔〕A．1B．C．D．25.〔08**卷8〕函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程可能是〔〕A． B． C． D．6.〔08**卷7〕函數(shù)y=cos*(*∈R)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g(*)的圖象，則g(*)的解析式為()A.-sin*B.sin*C.-cos*D.cos*7.〔08**卷5〕函數(shù)，則是〔〕A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為的偶函數(shù)8.〔08**卷11〕函數(shù)的最小值和最大值分別為〔〕A.－3，1 B.－2，2 C.－3， D.－2，9.〔08**卷7〕將函數(shù)的圖象F向右平移個(gè)單位長度得到圖象F′，假設(shè)F′的一條對(duì)稱軸是直線則的一個(gè)可能取值是〔〕A.B.C.D.10.〔08**卷6〕函數(shù)是〔〕A．以為周期的偶函數(shù)B．以為周期的奇函數(shù)C．以為周期的偶函數(shù)D．以為周期的奇函數(shù)11.假設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為〔〕A．1 B． C． D．212.〔08**卷10〕，則的值是〔〕A． B． C． D．13.〔08**卷1〕等于〔〕A． B． C． D．14.〔08**卷4〕()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.15.〔08**卷6〕把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，得到的圖象所表示的函數(shù)是〔〕A． B．C． D．16.〔08**卷9〕設(shè)，，，則〔〕A． B． C． D．17.〔08**卷2〕函數(shù)的最小正周期是〔〕A.B.C.D.18.〔08**卷7〕在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔〕A.0B.1C二，填空題19.〔08卷9〕假設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．20.〔08**卷1〕的最小正周期為，其中，則=．21.〔08**卷16〕設(shè)，則函數(shù)的最小值為．22.〔08**卷12〕假設(shè)，則_________。23.〔08**卷6〕函數(shù)f(*)＝eq\r(3)sin*+sin(eq\f(,2)+*)的最大值是三，解答題24.〔08**卷17〕求函數(shù)的最大值與最小值。25.〔08卷15〕函數(shù)〔〕的最小正周期為．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)在區(qū)間上的取值*圍．26.〔08**卷17〕函數(shù)〔〕的最小值正周期是．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合．27.〔08**卷17〕函數(shù)〔Ⅰ〕求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程〔Ⅱ〕求函數(shù)在區(qū)間上的值域28.〔08**卷17〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)的最小正周期及最值；〔Ⅱ〕令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A11.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C19.20.1021.22.23.224.解：由于函數(shù)在中的最大值為最小值為故當(dāng)時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取得最小值【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)根本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降冪，利