畫法幾何制圖-平面的投影及相對位置

二、直線上的點⒈從屬性：點的投影在直線的同名投影上。⒉定比性：點分線段之比在投影中不變。AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”b

a

abcc

accbabca

b

c

第一頁第二頁，共74頁。三、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉

同面投影互相平行(注意投影面平行線)。

同面投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合點的投影特性。

同面投影可能相交，但“交點”不符合點的投影特性。所謂“交點”是兩直線上一對重影點的投影。b

abcdc

a

d

abcdb

a

c

d

kk

b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)第二頁第三頁，共74頁。四、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。直角投影定理a

c

b

abc.即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。第三頁第四頁，共74頁。1.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個點●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線*●●●●●●abca

b

c

平面圖形1、用幾何元素表示平面直線及線外一點第四頁第五頁，共74頁。2.跡線表示法

空間平面與投影面的交線叫平面的跡線。平面P與H面的交線為水平跡線PH，與V面的交線為正面跡線PV，與W面的交線為側(cè)面跡線PW。第五頁第六頁，共74頁。a.一般位置平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHb.特殊位置平面的跡線表示法QVPVPHVHPHQV第六頁第七頁，共74頁。平行垂直傾斜實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面的投影特性二、平面的投影平面//投影面投影反映實形面平面⊥投影面投影積聚成直線平面∠投影面投影類似原平面第七頁第八頁，共74頁。⒉各種位置平面的投影(三類七種情況)投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

鉛垂面(⊥H)

正垂面(⊥V)側(cè)垂面(⊥W)

水平面(//H)

正平面(//V)

側(cè)平面(//W)第八頁第九頁，共74頁。VWHPPH

鉛垂面投影特性：1.abc積聚為一條線，與OX、OYH的夾角反映

、

角；

2.a

b

c

、a

b

c

為

ABC的類似形；ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

1）投影面垂直面的投影第九頁第十頁，共74頁。VWHQQV

正垂面

投影特性：1.a

b

c

積聚為一條線，與OX、OZ的夾角反映α、

角；

2.abc、a

b

c

為ABC的類似形。

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B第十頁第十一頁，共74頁。VWHSWS

側(cè)垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線，與OYW、OZ的夾角反映α、β角；2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形。Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

第十一頁第十二頁，共74頁。abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。2.另兩個投影面上的投影有類似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜兩類似第十二頁第十三頁，共74頁。VWH水平面投影特性：1.a

b

c//OX、a

b

c//OYW，分別積聚為直線;2.水平投影abc反映

ABC實形。CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

2）投影面平行面的投影第十三頁第十四頁，共74頁。正平面VWH投影特性：1.abc//OX、a

b

c//OZ，分別積聚為直線；2.正面投影a

b

c

反映

ABC實形。

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA第十四頁第十五頁，共74頁。投影特性：1.abc//OYY、a

b

c//OZ，分別積聚為直線；2.側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實形。

側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

第十五頁第十六頁，共74頁。a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。投影特征：兩線一實形第十六頁第十七頁，共74頁。一般位置平面投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形；2.不反映

、

、

的真實角度。

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB3）一般位置平面的投影（三類似）第十七頁第十八頁，共74頁。QHRV例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過直線AB的正垂面P；過點C的正平面Q；過直線DE的水平面R。a’b’abPVPH第十八頁第十九頁，共74頁。bac水平正垂側(cè)垂投影面平行面:兩線一實形投影面垂直面:一斜兩類似第十九頁第二十頁，共74頁。在平面內(nèi)取直線的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點第二十頁第二十一頁，共74頁。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有無數(shù)解。第二十一頁第二十二頁，共74頁。例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！第二十二頁第二十三頁，共74頁。⒉平面上取點若點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。即：點在線上，則點在面上。第二十三頁第二十四頁，共74頁。

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線(細實線)求解第二十四頁第二十五頁，共74頁。例2已知

ABC給定一平面,試判斷點D是否屬于該平面。d

da

b

c

abcee

點D不屬于平面ABCd

da

b

c

abcee

點D屬于平面ABC第二十五頁第二十六頁，共74頁。例3：作出三角形ABC平面內(nèi)三角形DEF的水平投影。de求線先找兩已知點，求點先找已知線。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12第二十六頁第二十七頁，共74頁。bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例4：AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二找點B先求線DB，求線DB先找點K。利用平行四邊形對邊平行第二十七頁第二十八頁，共74頁。例5：判斷點K是否在平面上（另判斷四點是否在同一平面*）點在面上點不在面上(*)點不在面上第二十八頁第二十九頁，共74頁。例6：已知平面ABCD的邊BC//H面，完成其正面投影。

b’c’11’a’d’abcdBC為水平線b’c’//OX分析：根據(jù)a’d’想辦法求b’c’第二十九頁第三十頁，共74頁。a

b

c

bac例7已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。m

n

nm正平線上的點Y坐標(biāo)相同，水平線上的點Z坐標(biāo)相同，交點K是既滿足Y坐標(biāo)又滿足Z坐標(biāo)的點。k

k第三十頁第三十一頁，共74頁。k’121’k例8：在△ABC內(nèi)確定K點，使K點距H面為18mm，距V面為15mm.

分別畫出：1.距H面18mm的水平線（Z相同=18）。2.距V面15mm的正平線（Y相同=15）。3.兩條線的交點滿足K點的條件。2’1815第三十一頁第三十二頁，共74頁。例9：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下15mm（△Z）、在點A之前20mm處（△Y）。（思考題）K在點A之下15mm的水平線上K在點A之前20mm的正平線上第三十二頁第三十三頁，共74頁。四、圓的投影圓的投影特性：1、圓平面在所平行投影面上的投影反映實形；(實形性)2、圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長度等于圓的直徑φ；(積聚性)3、圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長軸是圓的平行于這個投影面的直徑AB的投影（ab）；短軸是與上述直徑垂直的直徑DE的投影(de)。(類似性)本節(jié)到此第三十三頁第三十四頁，共74頁。橢圓的近似畫法(四心法)：ABCDEF1234橢圓的畫法

一節(jié)到此1.CF=CE=OA-OCO2.作AF的中垂線,與兩軸交得1.2兩點，取對稱點3.4。3.分別以1.2.3.4點為圓心，1A.3B.2C.4D為半徑作弧，拼成近似橢圓。第三十四頁第三十五頁，共74頁。四、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影不一定反映直角。直角投影定理a

c

b

abc.即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。小結(jié)第三十五頁第三十六頁，共74頁。一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面（三類似）⒉投影面垂直面（一斜兩類似）⒊投影面平行面（兩線一實形）三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。另外兩個投影為類似多邊形。

在其平行的投影面上的投影反映實形。另外兩個投影積聚為直線。

a

b

a

b

bacc

c

a

b

b

baa

c

c

cb

b

a

a

c

c

bac第三十六頁第三十七頁，共74頁。二、平面上的點與直線(P27-30)⒈平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上.⒉平面上的直線（求線先找已知點）

⑴過平面上的兩個點。

⑵過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。d

da

b

c

abcee

第三十七頁第三十八頁，共74頁。1.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交（垂直）。一、平行問題直線與平面平行

平面與平面平行⒈直線與平面平行定理:

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必平行。即：將線面//，轉(zhuǎn)化為線線//第三十八頁第三十九頁，共74頁。⒈直線與平面平行

1.

當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影，如圖。g’g//2.當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時，直線與平面的積聚性投影在同面投影上。特殊情況：第三十九頁第四十頁，共74頁。例1：過A點作平面平行于線段BC。b’bc’ca’aXOdd’作圖：ad//bc，a′d′//b′c′故，BC//平面DAF分析：線線//，則線面//；過A點做直線AD//BC。f’f可過A點任意作直線AF第四十頁第四十一頁，共74頁。n

●●a

c

b

m

abcmn有無數(shù)解分析:過M點作一條//平面內(nèi)的任意直線的直線,即得.例2：過M點作直線MN平行于平面ABC。

第四十一頁第四十二頁，共74頁。正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

分析:在平面ABC內(nèi)作一條正平線,MN//此正平線,即得.例3：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。

第四十二頁第四十三頁，共74頁。①若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef2.兩平面平行//第四十三頁第四十四頁，共74頁。平行舉例例判斷下列兩平面是否平行不平行第四十四頁第四十五頁，共74頁。直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交(實物)

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點，且交點是直線與平面可見與不可見的分界點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●判別兩者之間的相互遮擋的可見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個元素處于特殊位置的情況（直線特殊或者平面特殊）。二、相交問題(重點與難點)第四十五頁第四十六頁，共74頁。（1）.直線與平面相交（平面為特殊位置）

VHPHPABCacbkNKM第四十六頁第四十七頁，共74頁。abcmnc

n

b

a

m

1.空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。

①求交點

②判別可見性（V面）

由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上k

n

為可見。再根據(jù):交點是可見與不可見的分界點，求得k

m

上一段不可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)2.作圖k●●2●1●抓住交點是共有點的特點例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性第四十七頁第四十八頁，共74頁。（2）直線為特殊位置

第四十八頁第四十九頁，共74頁。km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線為特殊位置1.空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性（V面）用重影點判斷

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●2.作圖用面上取點法第四十九頁第五十頁，共74頁。⒉兩平面相交(實物)

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點，交線是兩平面可見與不可見的分界線。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個平面處于特殊，兩個平面都處于特殊）。②判別兩平面之間的相互遮擋的可見性。第五十頁第五十一頁，共74頁。（1）兩平面都為特殊平面(書)第五十一頁第五十二頁，共74頁?？赏ㄟ^正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)1.空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線。①求交線②判別可見性（H面）2.作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●例1：求兩平面的交線MN，并判別可見性。⑴第五十二頁第五十三頁，共74頁。VH（2）.其中一平面為特殊平面

FBACEHabcMNmnP第五十三頁第五十四頁，共74頁。b

c

f

h

a

e

abcefh1.空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

fh’的交點m

、b

c

與e’f

h

的交點n,即為兩平面的兩個共有點的正面投影，故m

n

是MN的正面投影。①求交線②判別可見性(H面)

m

nb’在e’f’h’上面，故水平投影mnb可見，其他可見性可根據(jù)投影特點得出。2.作圖m●n

●n●m

●（2）.其中一平面為特殊平面（求交線MN）第五十四頁第五十五頁，共74頁。c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交KN后面的藍色平面的投影第五十五頁第五十六頁，共74頁。三、垂直問題1.直線與平面

與鉛垂面垂直的直線為水平線,H面;與正垂面垂直的直線是正平線,V面.與鉛垂線垂直的平面是水平面,V;與正垂線垂直的平面是正平面,H.1）平面特殊

⊥投影面垂直面的直線是投影面平行線，并在平面積聚性投影上反映直角；即2）直線特殊

⊥投影面垂直線的平面是投影面平行面，并在平面積聚性投影上反映直角；即作點A到平面CDEF的距離？（EFD呢？）第五十六頁第五十七頁，共74頁。2.平面與平面垂直只介紹兩個投影面垂直面相垂直：它們的交線為投影面的垂直線，且在積聚性的投影反映直角;pqq’P’下面舉例第五十七頁第五十八頁，共74頁。垂直

垂直不垂直

ed(e’)第五十八頁第五十九頁，共74頁。1″k″1舉例此點是AB和MN的重影點k′例求直線與平面的交點,并判別可見性.VW第五十九頁第六十頁，共74頁。1′(2′)123′(4′)34本節(jié)到此第六十頁第六十一頁，共74頁。小結(jié)：直線與平面及兩平面的相對位置⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影。⒉兩平面平行若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

一、平行問題（P38）第六十一頁第六十二頁，共74頁。二、相交問題⒈求直線與平面⑴平面特殊，利用交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可投在直線的另一個投影上；可見性直接判斷。(P47)⑵直線特殊，利用交點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用平面上取點的方法求解；可見性用重影點判斷。(P49)km(n)b●n

c

b

a

ac1

(2

)k

●2●1●●abcmnc

n

b

a

m

k

●k●第六十二頁第六十三頁，共74頁。⒉兩平面相交⑵一平面特殊，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共有點，求出交線；可見性可直接判斷。(P54)⑴兩平面特殊，交線為投影面的垂直線，可見性可直接判斷(P52)。acdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)n●m●●b

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

第六十三頁第六十四頁，共74頁。三、垂直問題1）.直線與投影面垂直面：與鉛垂面相垂直的直線是水平線，與正垂面相垂直的是正平線，并在平面積聚的投影面上反映直角。1.直線與平面垂直2）.投影面垂直線與平面：與鉛垂線垂直的是水平面，與正垂線垂直的是正平面，并在平面積聚的投影面上反映直角。垂直不垂直第六十四頁第六十五頁，共74頁。2.兩平面垂直