理論力學(xué)(哈爾濱工業(yè)大學(xué))課件9.3-考慮摩擦的平衡問(wèn)題(解析法)

3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題(解析法)滑動(dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題（解析法）例2

物體重為P，放在傾角為θ的斜面上，已知重物與斜面間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為fs，今在重物上作用一個(gè)向右的水平力F，試計(jì)算當(dāng)物體靜止時(shí)F的大小。分析：由經(jīng)驗(yàn)已知，當(dāng)F太大時(shí)，物塊將上滑；而當(dāng)F太小時(shí)，物塊將沿斜面滑下。因此F使物塊平衡時(shí)，其大小應(yīng)該介于二者之間，關(guān)鍵是找出這兩個(gè)臨界值。yFN解：取重物為研究對(duì)象，建立如圖坐標(biāo)系。xF1假設(shè)物塊處于往上滑動(dòng)的臨界狀態(tài)，此時(shí)的水平作用力大小為F1，對(duì)應(yīng)的摩擦力為最大靜摩擦力OFmax1max1，方向斜向下，畫出物塊受力。θFP列平衡方程：∑F

cosθ

?

Psinθ

?

F

=

0Fx

=

01max1∑Fy

=

0?

F

sinθ

?

Pcosθ

+

F

=

01N物塊處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜滑動(dòng)摩擦力，故：F

=

f

Fmax1s

Nsin

θ

+

fs

cosθF1

=P此為力F的最大值！cosθ

?

fs

sin

θ滑動(dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題y假設(shè)物塊處于往下滑動(dòng)的臨界狀態(tài)，此時(shí)的水平作用力大小為F2，對(duì)應(yīng)的摩擦力為最大靜摩擦力Fmax2，方向斜向上，畫出物塊受力。'NFxFF2列平衡方程：OFmax2ΣF

=0

F

cosθ

?

Psinθ

+

F

=

0θx2max2PΣF

=

0

?

F

sinθ

?

Pcosθ

+

F′

=

0y2N物塊處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜滑動(dòng)摩擦力，故：F

=

f

F′max2s

Nsinθ

?

fs

cosθF2

=P此為力F的最小值！cosθ

+

fs

sinθ故使物塊保持靜止（平衡）的F大小范圍為：sin

θ

?

fs

cosθcosθ

+

fs

sin

θsin

θ

+

fs

cosθcosθ

?

fs

sin

θP

≤

F

≤P滑動(dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題（解析法）考慮摩擦的平衡問(wèn)題的特點(diǎn)仍為平衡問(wèn)題，平衡方程照用，求解步驟與前面基本相同．幾個(gè)新特點(diǎn)1

畫受力圖時(shí)，必須考慮摩擦力FS；2

要嚴(yán)格區(qū)分物體處于臨界、非臨界平衡狀態(tài)；3

因0

≤

Fs

≤

Fmax，問(wèn)題的解往往在一個(gè)范圍內(nèi)?；瑒?dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題（解析法）例3

凸輪挺桿機(jī)構(gòu)滑道尺寸為d，寬度為b，挺桿與滑道間靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為fs，不計(jì)凸輪與挺桿處摩擦，不計(jì)挺桿質(zhì)量；求：挺桿不被卡住之尺寸a

值.分析：由經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)a太大時(shí)，挺桿會(huì)被卡住，此時(shí)挺桿會(huì)在AB兩點(diǎn)與滑道接觸?？扇傄豢ㄗ∵€沒(méi)被卡住的臨界平衡狀態(tài)分析，此時(shí)對(duì)應(yīng)的是最大的a值。dFNAAbFNBBFSBFFSA解：取挺桿為研究對(duì)象，系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，分析挺桿受力。列平衡方程：MΣFx

=

0F

?

F

=

0NANBΣF

=

0

?

F

?

F

+

F

=

0eySASBdaΣM

=

0

?

F

b

?

F

d

+

F

(a

+

)

=

0ANBSB2挺桿處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜滑動(dòng)摩擦力，故：F

=

f

FF

=

f

FAs

NABs

NBbba

=故挺桿不被卡住時(shí)：a

<2

f2

fss滑動(dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題（解析法）例4

均質(zhì)木箱重P=5kN，與地面的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)fs=0.4，木箱尺寸h=2a=2m，在箱子D點(diǎn)作用一斜向上的拉力F，θ=30°。求：(1)當(dāng)拉力F=1kN時(shí)，木箱是否平衡？y(2)能保持木箱平衡的最大拉力。Faθ解：

(1)假設(shè)木箱平衡，分析木箱受力。列平衡方程：DdΣF

=

0

F

?

F

cosθ

=

0hxsFNPΣF

=

0

F

?

P

+

F

sinθ

=

0yNaAxΣM

A

=

0hF

cos

θ

+

F

d

?

P

?

=

0N2FsFN

=

4500NF

=

f

F

=

1800N>

Fs而maxs

NFs

=

866N故木箱不會(huì)滑動(dòng)；d

>

0

,又因?yàn)槟鞠淦胶鈊

=

0.171m故木箱不會(huì)翻倒。這一類問(wèn)題，我們稱之為一般平衡問(wèn)題，即主動(dòng)力已知，判斷系統(tǒng)是否平衡的問(wèn)題。通常這類問(wèn)題的解法是，假設(shè)系統(tǒng)平衡，此時(shí)物體所受摩擦力為靜摩擦力，可列平衡方程求解，然后驗(yàn)證結(jié)果是否與假設(shè)相符，相符的話則假設(shè)正確；不相符則說(shuō)明假設(shè)有誤，系統(tǒng)處于非平衡態(tài)，需要按照非平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的情況來(lái)計(jì)算?；瑒?dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題(2)設(shè)木箱剛好要滑動(dòng)還未滑動(dòng)時(shí)的拉力為F1，分析受力列平衡方程：（解析法）F1aθDΣF

=

0

F

?

F

cosθ

=

0xmax1d1ΣF

=

0

F

?

P

+

F

sin

θ

=

0yN1hFNF

=

f

Fmaxs

NPfs

PF1

==1876

NAxcosθ

+

fs

sinθFmax設(shè)木箱有翻動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的拉力為F2，分析受力F2aθ列平衡方程：aDΣM

=0

F

cosθ

?h?P?

=0A22PahF2

==

1443NFN2hcosθPA{

}F

≤

min

F

,Fx最大拉力為1443NFs12這一類問(wèn)題，我們稱之為臨界平衡問(wèn)題，即主動(dòng)力未知，計(jì)算系統(tǒng)平衡（不平衡）時(shí)，主動(dòng)力需要滿足何種條件的問(wèn)題。通常這類問(wèn)題的解法是，取系統(tǒng)的臨界平衡狀態(tài)（考慮摩擦?xí)r摩擦力對(duì)應(yīng)的為最大靜摩擦力），計(jì)算此時(shí)的主動(dòng)力大小，得到主動(dòng)力的邊界值，然后根據(jù)實(shí)際情況確定主動(dòng)力范圍，其解通常是在某個(gè)范圍內(nèi)?；瑒?dòng)摩擦和考慮摩擦的平衡問(wèn)題3、考慮摩擦的平衡問(wèn)題（解析法）