重慶市2022屆高考數(shù)學(xué)模擬一試題含解析

Page24重慶市2022屆高考數(shù)學(xué)模擬（一）試題共4頁(yè)，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則對(duì)原式化簡(jiǎn)成的形式，即可的虛部

【詳解】因?yàn)樗蕴摬繛?.故選：B

2.已知集合，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.【詳解】且，且，又，則.故選：B3.已知兩個(gè)變量和之間存在線性相關(guān)關(guān)系，某興趣小組收集了一組，的樣本數(shù)據(jù)如下表所示：123450.50.611.41.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，，由回歸直線必過(guò)樣本中心，將點(diǎn)（，）依次代入各項(xiàng)檢驗(yàn)是否成立可得結(jié)果.【詳解】∵，∴回歸直線必過(guò)樣本中心（3,1），而A、B、D項(xiàng)中的回歸直線方程不過(guò)點(diǎn)（3,1），C項(xiàng)的回歸直線方程過(guò)點(diǎn)（3,1），故選：C.4.使得不等式對(duì)恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由不等式對(duì)恒成立得，再由充分不必要條件的概念即可求解【詳解】由不等式對(duì)恒成立，得，即，解得，從選項(xiàng)可知是的充分不必要條件，故選：A.5.中國(guó)古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中，，，且數(shù)列是第二項(xiàng)為的等差數(shù)列.若以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的斜率為（）A0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列是第二項(xiàng)為的等差數(shù)列可得，令，則根據(jù)題干可得：，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知：，令，，因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是第二項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，因?yàn)椋?，同理則直線的斜率，故選：.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，化簡(jiǎn)得到，，代入計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，則，，即，，，故，.故選：D7.已知函數(shù)，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍，將用a表示，可得表示為以a為自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值.【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下圖所示：由圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，，，則，可得，，構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，，故選：B.8.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，，即，進(jìn)而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的范圍.【詳解】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線左支上，所以有，即.由已知得，存在點(diǎn)，使得，即，顯然，所以.又，即當(dāng)點(diǎn)位于圖中位置時(shí)，等號(hào)成立，所以，又，所以，整理可得，，解得或（舍去），所以，則，則，所以，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)最小正周期和對(duì)稱軸可求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式得到；利用代入檢驗(yàn)法可判斷出ABC正誤；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明此時(shí)存在唯一零點(diǎn)；分析和的情況下與的最值，可知此時(shí)無(wú)交點(diǎn)，由此可確定D正確.【詳解】的最小正周期，；關(guān)于對(duì)稱，，解得：，又，，；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)先增后減，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，取得極值，即為在上的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則是的對(duì)稱中心，C正確；對(duì)于D，令，則；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；在，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；又，，，，，當(dāng)時(shí)，存在唯一的零點(diǎn)，即與在上有唯一交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，則與在上無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，則與在上無(wú)交點(diǎn)；綜上所述：與圖象有唯一公共點(diǎn)，D正確.故選：BCD.10.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷A；利用作差法可判斷B；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷C；構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，令，則，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，故B正確；對(duì)于C，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，得，即，，所以，故C正確．對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，即，所以，故D正確．故選：BCD．11.如圖，在正方體中，，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），則（）A.B.的面積等于與的面積之和C.三棱錐的體積有最大值D.三棱錐的體積等于三棱錐與的體積之和【答案】ABD【解析】【分析】由平面判斷A；由面積公式判斷B；由棱錐體積公式判斷CD.【詳解】，由線面垂直的判定可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；不妨設(shè)，則，，，所以的面積等于與的面積之和，故B正確；，因?yàn)?，所以三棱錐的體積沒有最大值，故C錯(cuò)誤；，即三棱錐的體積等于三棱錐與的體積之和，故D正確；故選：ABD12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，則（）A.存在實(shí)數(shù)使得B.存在實(shí)數(shù)使得C.若，則D.若為數(shù)列中的最大項(xiàng)，則【答案】BD【解析】【分析】利用倒數(shù)法判斷得是等差數(shù)列，從而求得，對(duì)于A，利用作差法得到，由與推得不等式不成立，而的情況，取可得，從而判斷得不恒成立；對(duì)于B，利用及，取即可判斷；對(duì)于C，利用選項(xiàng)A中結(jié)論，由推得，從而得到，則，由此得以判斷；對(duì)于D，先由條件推得，再分類討論與兩種情況，得到的正負(fù)情況，從而證得，據(jù)此判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，這與矛盾，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，則，對(duì)于A，若，則，整理得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，所以不等式不成立；?dāng)時(shí)，?。ū硎静怀^(guò)的最大整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，所以，而，則，所以不恒成立，綜上：不存在實(shí)數(shù)使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，因?yàn)椋瑒t有，所以，即，故B正確；對(duì)于C，若，則，當(dāng)時(shí)，，取，則，，即上述不等式不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，則恒成立，綜上：，則，所以，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為數(shù)列中的最大項(xiàng)，則，即，當(dāng)時(shí)，，，則不成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得，解得，綜上：，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，即，所以，則，即；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，則，即，所以，則，即；綜上：，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有二：一是利用倒數(shù)法求得；二是分類討論的正負(fù)情況，得到的正負(fù)情況，再利用與的關(guān)系判斷所需結(jié)論.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，且與共線，則實(shí)數(shù)___________.【答案】或##或【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】與共線，，即，解得：或.故答案為：或.14.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為121，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，找出對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積為常數(shù)項(xiàng)即可算出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知，二項(xiàng)式的展開通項(xiàng)當(dāng)時(shí)，此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：15.已知直線：與直線關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值為____________.【答案】6【解析】【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，從而得到直線恒過(guò)點(diǎn)，求出圓心，從而得到，數(shù)形結(jié)合得到動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值.【詳解】變形為，令，解得：，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，故直線恒過(guò)點(diǎn)，變形為，圓心為，半徑為1，故圓心與的距離為，則動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值為BC的長(zhǎng)加上半徑，即.故答案為：616.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，邊的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，且，則____________.【答案】【解析】【分析】由向量的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)量積公式，可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及正余弦定理角化邊，由計(jì)算即可.【詳解】邊的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，∴，又，∴，即，由同角三角函數(shù)的關(guān)系及正余弦定理，有：.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，，，，.（1）求；（2）若的外接圓面積為，求面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理及求得，由余弦定理求得，進(jìn)而得到；（2）由正弦定理求得，結(jié)合即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，即，，所以，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)榈耐饨訄A面積為，即，，由正弦定理可得，即，.所以面積為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見解析（2）250【解析】【分析】（1）令、、、、代入求出，，，，判斷可得答案；（2）由（1）判斷出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列，分別求，，再求和可得答案.【小問(wèn)1詳解】知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，令代入得，又，解得，所以，，，，，以上各式相加得，所以，兩式相減得，所以，從而，，所以，則數(shù)列是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，，，?shù)列是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列，由（1）數(shù)列是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列，因?yàn)橹泄灿?0個(gè)奇數(shù)項(xiàng)50個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，所以，，因此.19.為了保障學(xué)生們的合法權(quán)益，并保證高考的公平性，重慶市施行的新高考方案中再選科目的高考成績(jī)采用賦分制.賦分制在一定程度上縮小了試題難度不同帶來(lái)的分?jǐn)?shù)差，也在一定程度上減少了學(xué)科難度不一造成的分?jǐn)?shù)差.2022年高考成績(jī)公布后，重慶市某中學(xué)收集了部分學(xué)生的高考成績(jī)，其中地理成績(jī)均在（單位：分），將收集到的地理成績(jī)按分組，得到頻率分布直方圖如下.（1）求，并估計(jì)該校2022年高考地理科的平均成績(jī)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）已知該校2022年所有參加高考的學(xué)生中歷史類考生占20%，物理類考生占80%，歷史類考生中選考地理的占90%，物理類考生中選考地理的占5%，歷史類考生中高考地理成績(jī)不低于90分的占8%，若從該校2022年高考地理成績(jī)不低于90分的學(xué)生中任選1名代表進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流，求選到歷史類考生的概率（以樣本中各區(qū)間的頻率作為相應(yīng)事件的概率）.【答案】（1），估計(jì)該校2022年高考地理科的平均成績(jī)?yōu)椋?）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合所有頻率和為1求，并根據(jù)加權(quán)平均數(shù)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合條件概率運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，解得，估計(jì)該校2022年高考地理科平均成績(jī)?yōu)?【小問(wèn)2詳解】該校2022年所有參加高考的學(xué)生中任選1名，記“選到歷史類考生”為事件A，“選到物理類考生”為事件B，“選到選考地理的考生”為事件C，則有，∴，記“選到高考地理成績(jī)不低于90分”為事件D，則，∴，故，若從該校2022年高考地理成績(jī)不低于90分的學(xué)生中任選1名代表進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流，選到歷史類考生的概率.20.如圖，在三棱柱中，，.（1）證明：平面平面；（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】(1)設(shè),連接,由題意可得為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以，，從而可得平面，即可證明平面平面；(2)建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸的空間坐標(biāo)系，利用向量法求解.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè),連接,如圖所示：則為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)椋詾檎切?，四邊形為菱形，因?yàn)椋?，設(shè)，則，，所以為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，，又因?yàn)椋?，所以，即兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系：所以，，，，，設(shè)，由可得，所以，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即有，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則有.所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù).（1）證明：；（2）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而可求最值求解，（2）分類討論的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，且，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此，即【小問(wèn)2詳解】設(shè)，將函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)，即時(shí)，令，解得或，所以此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，由于，此時(shí)最多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在單調(diào)遞增，此時(shí)最多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)，即時(shí)，令，解得或，所以此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由于，，由于，所以，進(jìn)而，因此，此時(shí)最多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，要使恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上可知：22.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.（1）求拋物