北師大版數(shù)學九年級上冊 3.1 用樹狀圖或表格求概率

3.1

用樹狀圖或表格求概率第三章概率的進一步認識第1課時用樹狀圖和表格求概率做一做：小明、小凡和小穎都想去看周末電影，但只有一張電影票.三人決定一起做游戲，誰獲勝誰就去看電影.游戲規(guī)則如下：

連續(xù)拋擲兩枚均勻的硬幣，如果兩枚正面朝上，則小明獲勝；如果兩枚反面朝上，則小穎獲勝；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡獲勝.小明小穎小凡用樹狀圖或表格求概率問題1：你認為上面游戲公平嗎？活動探究：（1）每人拋擲硬幣20次，并記錄每次試驗的結果，根據(jù)記錄填寫下面的表格：拋擲的結果兩枚正面朝上兩枚反面朝上一枚正面朝上，一枚反面朝上頻數(shù)頻率（2）由上面的數(shù)據(jù)，請你分別估計“兩枚正面朝上”“兩枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”這三個事件的概率.問題2：通過實驗數(shù)據(jù)，你認為該游戲公平嗎？

從上面的試驗中我們發(fā)現(xiàn)，試驗次數(shù)較大時，試驗頻率基本穩(wěn)定，而且在一般情況下，“一枚正面朝上.一枚反面朝上”發(fā)生的概率大于其他兩個事件發(fā)生的概率.所以，這個游戲不公平，它對小凡比較有利.議一議：在上面拋擲硬幣試驗中，（1）拋擲第一枚硬幣可能出現(xiàn)哪些結果？它們發(fā)生的可能性是否一樣？（2）拋擲第二枚硬幣可能出現(xiàn)哪些結果？它們發(fā)生的可能性是否一樣？（3）在第一枚硬幣正面朝上的情況下，第二枚硬幣可能出現(xiàn)哪些結果？它們發(fā)生可能性是否一樣？如果第一枚硬幣反面朝上呢？我們可以用樹狀圖或表格表示所有可能出現(xiàn)的結果.開始正正第一枚硬幣樹狀圖反（正，正）（正，反）反正反（反，正）（反，反）第二枚硬幣所有可能出現(xiàn)的結果表格正反正反第一枚硬幣第二枚硬幣（正，正）（反，正）（正，反）（反，反）總共有4中結果,每種結果出現(xiàn)的可能性相同.其中：小明獲勝的概率：小穎獲勝的概率：小凡獲勝的概率：

利用樹狀圖或表格，我們可以不重復、不遺漏地列出所有可能性相同的結果，從而比較方便地求出某些事件發(fā)生的概率.方法歸納典例精析例1

某班有1名男生、2名女生在校文藝演出中獲演唱獎，另有2名男生、2名女生獲演奏獎.從獲演唱獎和演奏獎的學生中各任選一人去領獎，求兩人都是女生的概率.解：記兩名領獎學生都是女生為事件

A，兩種獎項各任選1人的結果用“樹狀圖”來表示.開始

獲演唱獎的獲演奏獎的男女''女'女1男2男1女2女1男2男1女1男2男1女2女2共有12種等可能的結果，其中2名都是女生的結果有4種，所以事件

A發(fā)生的概率為

P(A)=.計算等可能情形下概率的關鍵是確定所有可能性相等的結果總數(shù)

n和事件

A發(fā)生的結果總數(shù)

m，“樹狀圖”能幫助我們有序的思考，不重復，不遺漏地求出

n和

m.例2

甲、乙、丙三人做傳球的游戲，開始時，球在甲手中，每次傳球，持球的人將球任意傳給其余兩人中的一人，如此傳球三次.(1)寫出三次傳球的所有可能結果(即傳球的方式)；(2)指定事件

A：“傳球三次后，球又回到甲的手中”，寫出A發(fā)生的所有可能結果；(3)求P(A).解：(1)第二次第三次結果開始：甲共有八種可能的結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同；(2)事件

A

發(fā)生有兩種可能出現(xiàn)的結果：（乙，丙，甲）（丙，乙，甲）；乙丙第一次甲甲丙乙甲甲丙丙乙乙乙丙（丙，乙，丙）（乙，甲，丙）（乙，丙，甲）（乙，丙，乙）（丙，甲，乙）（丙，甲，丙）（丙，乙，甲）（乙，甲，乙）(3)P(A)=方法歸納

當試驗包含兩步時，列表法比較方便；當然，此時也可以用樹狀圖法；當事件要經(jīng)過多個(三個或三個以上)步驟完成時，應選用樹狀圖法求事件的概率.思考：你能夠用列表法寫出3次傳球的所有可能結果嗎？若再用列表法表示所有結果已經(jīng)不方便！1.經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉.如果這三種可能性大小相同，求三輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，下列事件的概率：（1）三輛車全部繼續(xù)直行；（2）兩車向右，一車向左；（3）至少兩車向左.練一練第一輛左右左右第二輛直直左右直左右直共有

27種行駛方向(1)P(全部繼續(xù)直行)=

；(2)P(兩車向右，一車向左)=

；(3)P(至少兩車向左)=

左直右第三輛左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右2.現(xiàn)在學校決定由甲同學代表學校參加全縣的詩歌朗誦比賽，甲同學有

3

件上衣，分別為紅色、黃色、藍色，有

2

條褲子，分別為藍色和棕色．甲同學想要穿藍色上衣和藍色褲子參加比賽，你知道甲同學任意拿出

1

件上衣和

1

條褲子，恰好是藍色上衣和藍色褲子的概率是多少嗎？上衣：褲子：解:“樹狀圖”如右：開始上衣褲子所有可能出現(xiàn)的結果每種結果的出現(xiàn)是等可能的.“取出1件藍色上衣和1條藍色褲子”記為事件

A，那么事件

A發(fā)生的概率是

P(A)＝.典例精析例3

同時拋擲2枚均勻的骰子一次，骰子各面上的點數(shù)分別是1，2，···，6.試分別計算如下事件的概率.(1)拋出的點數(shù)之和等于8；(2)拋出的點數(shù)之和等于12.分析：首先要弄清楚一共有多少個可能結果.第1枚骰子可能擲出1，2，···，6中的每一種情況，第2枚骰子也可能擲出1，2，···，6中的每一種情況.用“列表法”表示出所有可能的結果如下：第2枚骰子第1枚骰子結

果123456123456(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,2)(5,2)(6,2)(4,3)(5,3)(6,3)(4,4)(5,4)(6,4)(4,5)(5,5)(6,5)(4,6)(5,6)(6,6)解：從上表可以看出，同時拋擲兩枚骰子一次，所有可能出現(xiàn)的結果有36種.由于骰子是均勻的，所以每個結果出現(xiàn)的可能性相等.(1)拋出點數(shù)之和等于8的結果有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)和(6,2)這5種，所以拋出的點數(shù)之和等于8的這個事件發(fā)生的概率為(2)拋出點數(shù)之和等于12的結果僅有(6,6)這1種，所以拋出的點數(shù)之和等于12的這個事件發(fā)生的概率為

當一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩枚骰子）并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能結果，通常采用列表法.歸納總結例4

一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，記錄下顏色后放回袋中并攪勻，再從中任意摸出一個球，兩次都摸出紅球的概率是多少？12結果第一次第二次解：利用表格列出所有可能的結果：白紅1紅2白紅1紅2（白，白）（白，紅1）（白，紅2）（紅1，白）（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅2，白）（紅2，紅1）（紅2，紅2）變式：一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，記錄下顏色后不再放回袋中，再從中任意摸出一個球，兩次都摸出紅球的概率是多少？12解：利用表格列出所有等可能的結果：白紅1紅2白紅1紅2（白，紅1）（白，紅2）（紅1，白）（紅1，紅2）（紅2，白）（紅2，紅1）結果第一次第二次

當一次試驗所有可能出現(xiàn)的結果較多時，用表格比較方便！真知灼見源于實踐想一想：什么時候用“列表法”方便，什么時候用“樹狀圖”方便？

當一次試驗涉及兩個因素時，且可能出現(xiàn)的結果較多時，為不重復不遺漏地列出所有可能的結果，通常用列表法.

當一次試驗涉及

3個因素或3個以上的因素時，列表法就不方便了，為不重復不遺漏地列出所有可能的結果，通常用樹狀圖.1.小明與小紅玩一次“石頭、剪刀、布”游戲，則小明贏的概率是

(

)2.某次考試中，每道單項選擇題一般有4個選項，某同學有兩道題不會做，于是他以“抓鬮”的方式選定其中一個答案，則該同學的這兩道題全對的概率是()BDA.B.C.D.A.B.C.D.3.如果有兩組牌，它們的牌面數(shù)字分別是

1，2，3，

那么從每組牌中各摸出一張牌.(1)摸出兩張牌的數(shù)字之和為4的概率為多少？(2)摸出兩張牌的數(shù)字相等的概率為多少？

第二張牌的牌面數(shù)字第一張牌的牌面數(shù)字2解：(1)P(數(shù)字之和為

4)=.

(2)P(數(shù)字相等)=.3321(2，3)(3，3)(3，2)(3，1)(2，2)(2，1)(1，3)(1，2)(1，1)14.在6張卡片上分別寫有

1~6的整數(shù)，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第一次取出的數(shù)字能夠整除第二次取出的數(shù)字的概率是多少？1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)第一張第二張解：由列表得，兩次抽取卡片后，可能出現(xiàn)的結果有36個，它們出現(xiàn)的可能性相等.P(A)==滿足第一次取出的數(shù)字能夠整除第二次取出的數(shù)字(記為事件A)的結果有14個，則

5.現(xiàn)有

A、B、C

三盤包子，已知

A

盤中有兩個酸菜包和一個糖包，B

盤中有一個酸菜包、一個糖包和一個韭菜包，C

盤中有一個酸菜包、一個糖包和一個饅頭.老師就愛吃酸菜包，如果老師從每個盤中各選一個包子(饅頭除外)，那請你幫老師算算選的包子全部是酸菜包的概率是多少？ABC解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下：由樹狀圖得，所有可能出現(xiàn)的結果有

18種，它們出現(xiàn)的可能性相等.選的包子全部是酸菜包有

2種，所以選的包子全部是酸菜包的概率是A

盤B盤C盤酸酸糖韭酸糖酸酸糖韭酸糖酸糖酸糖糖酸糖韭酸糖酸糖酸糖酸酸酸酸糖酸酸糖酸酸糖酸糖酸糖糖酸韭酸酸韭糖酸酸酸酸酸糖酸糖酸酸糖糖酸韭酸酸韭糖糖酸酸糖酸糖糖糖酸糖糖糖糖韭酸糖韭糖列舉法關鍵常用方法直接列舉法列表法畫樹狀圖法適用對象兩個試驗因素或分兩步進行的試驗.基本步驟列表；確定

m、n值代入概率公式計算.正確列舉出試驗結果的各種可能性.確保試驗中每種結果出現(xiàn)的可能性大小相等.前提條件樹狀圖步驟用法是一種解決試驗有多步（或涉及多個因素）的好方法.注意弄清試驗涉及試驗因素個數(shù)或試驗步驟分幾步；在摸球試驗一定要弄清“放回”還是“不放回”.關鍵要弄清楚每一步有幾種結果；在樹狀圖下面對應寫著所有可能的結果，并找出事件所包含的結果數(shù)；利用概率公式進行計算.3.1

用樹狀圖或表格求概率第三章概率的進一步認識第2課時概率與游戲的綜合運用

小穎為學校聯(lián)歡會設計一個“配紫色”游戲：如下圖是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形.游戲者同時轉動兩個轉盤，如果轉盤

A

轉出紅色，轉盤

B

轉出了藍色，那么他就贏了，因為紅色和藍色在一起配成了紫色.問題：利用畫樹狀圖或列表的方法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結果.A盤紅白B盤綠藍黃樹狀圖畫樹狀圖如圖所示：開始白色紅色黃色綠色A盤B盤藍色黃色綠色藍色列表法黃色藍色綠色白色(白，黃)（白，藍）（白，綠）紅色（紅，黃）（紅，藍）（紅，綠）B盤A盤用表格或樹狀圖求“配紫色”概率引例：若將

A，B盤進行以下修改.其他條件不變，請求出獲勝概率？A盤紅藍B盤藍紅問題1：下面是小穎和小亮的解答過程，兩人結果都是，你認為誰對?120°小穎制作下圖：開始藍色紅色藍色紅色A盤B盤藍色紅色配成紫色的情況有：（紅，藍），（藍，紅）2種.總共有4種結果.所以配成紫色的概率

P=.小亮制作下表：小亮將

A盤中紅色區(qū)域等分成2份，分別記“紅1”，“紅2”.紅色藍色藍色(藍，紅)（藍，紅）紅1色（紅1，紅）（紅1，藍）紅2色（紅2，紅）（紅2，藍）B盤A盤紅藍120°紅1紅2配成紫色的情況有：(紅1，藍)，(紅2，藍)，(藍，紅)3種.所以配成紫色的概率

P=

.小穎的做法不正確.因為轉盤

A中紅色部分和藍色部分的面積不相同，因而指針落在這兩個區(qū)域的可能性不同.小亮的做法是解決這類問題的一種常用方法.問題2：用樹狀圖和列表的方法求概率時應注意些什么?

用樹狀圖和列表的方法求概率時應注意各種結果出現(xiàn)的可能性務必相同.112例1一個盒子中裝有兩個紅球，兩個白球和一個藍球，這些球除顏色外都相同了.從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出一個球，求兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率.2解：現(xiàn)將兩個紅球分別記作“紅1”“紅2”，兩個白球分別記作“白1”“白2”，然后列表如下.紅1紅2白1白2藍紅1（紅1,紅1）（紅1,紅2）(紅1,白1)（紅1,白2）（紅1,藍）紅2（紅2,紅1）（紅2,紅2）(紅2,白1)（紅2,白2）（紅2,藍）白1（白1,紅1）（白1,紅2）(白1,白1)（白1,白2）（白1,藍）白2（白2,紅1）（白2,紅2）(白2,白1)（白2,白2）（白2,藍）藍（藍,紅1）（藍,紅2）(藍,白1)（藍,白2）（藍,藍）第二次第一次總共有25種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次摸到的球的顏色能配成紫色的結果有4種即(紅1，藍)，(紅2，藍)，(藍，紅1)，(藍，紅2)，

P(配成紫色)=例2在一個不透明的盒子里，裝有三個分別寫有數(shù)字

6，-2，7的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字后放回盒子里，搖勻后再隨機取出一個小球，記下數(shù)字.請你用列表或畫樹狀圖的方法求下列事件的概率.（1）兩次取出的小球上的數(shù)字相同；（2）兩次取出的小球上的數(shù)字之和大于10.6-27(1)兩次取出的小球上的數(shù)字相同的可能性只有

3

種，所以

P(數(shù)字相同)

=(2)兩次取出的小球上的數(shù)字之和大于

10

的可能性只有

4

種，所以

P(數(shù)字之和大于10)

=解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下第一個數(shù)字第二個數(shù)字66-27-26-2776-27例3小錚擅長球類運動，課外活動時，足球隊、籃球隊都力邀他到自己的陣營，小錚左右為難，最后決定通過擲硬幣來確定.游戲規(guī)則如下：連續(xù)拋擲硬幣三次，如果兩次正面朝上一次正面朝下，則小錚加入足球陣營；如果兩次反面朝上，一次反面朝下，則小錚加入籃球陣營.（1）用畫樹狀圖的方法表示三次拋擲硬幣的所有結果；（2）這個游戲規(guī)則對兩個球隊是否公平？為什么？解：(1)根據(jù)題意畫出樹狀圖，如圖.開始正反正反第一次第二次正反第三次正反正反正反正反（2）這個游戲規(guī)則對兩個球隊公平.理由如下：兩次正面朝上一次正面朝下有3種結果:正正反，正反正，反正正；兩次反面朝上一次反面朝下有3種結果:正反反，反正反，反反正.所以

P(小錚去足球隊)=P(小錚去籃球隊)=

1.a、b、c、d四本不同的書放入一個書包，至少放一本，最多放

2本，共有

種不同的放法.2.三女一男四人同行，從中任意選出兩人，其性別不同的概率為（

）3.在一個不透明的布袋中裝有

2

個白球和

n

個黃球，它們除顏色外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球，摸到黃球的概率為

，則

n

=

.10C8A.B.C.D.4.如圖，袋中裝有兩個完全相同的球，分別標有數(shù)字“1”和“2”.小明設計了一個游戲：游戲者每次從袋中隨機摸出一個球，并自由轉動圖中的轉盤(轉盤被分成相等的三個扇形).如果所摸球上的數(shù)字與轉盤轉出的數(shù)字之和為2，那么游戲者獲勝.求游戲者獲勝的概率.12123總共有6種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而所摸球上的數(shù)字與轉盤轉出的數(shù)字之和為2的結果只有一種：（1，1），因此游戲者獲勝的概率為解:每次游戲時，所有可能出現(xiàn)的結果如下:1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）轉盤摸球5.甲、乙、丙三個