大學物理安培環(huán)路定理

10-4安培環(huán)路定理靜電場的一個重要特征是電場強度E沿任意閉合路徑的積分等于零，即'產d=0,那么，磁場中的磁感強度B沿任意閉合路徑的積分'B?"等于多少呢？可以證明：在真空的穩(wěn)恒磁場中，磁感強度B沿任一閉合路徑的積分（即B的環(huán)流）的值，等于R0乘以該閉合路徑所包圍的各電流的代數和，即（10-8）這就是真空中磁場的環(huán)路定理，也稱安培環(huán)路定理。它是電流與磁場之間的基本規(guī)律之一。在式（10-8）中，若電流流向與積分回路呈右螺旋關系，電流取正值；反之則取負值。安培環(huán)路定理與靜電場環(huán)路定理的比較討論：安培環(huán)路定理的證明如圖（a）所示，有一通有電流1的長直載流導線垂直于屏幕平面，且電流流向垂直屏幕平面向內.在屏幕平面上取兩個閉合路徑C1和C2，其中閉合路徑C1內包圍的電流為1，而，、―，,一C.在閉合路徑2內沒有電流.從圖（b）可以看出，由于磁感強度B的方向總是沿著環(huán)繞直導線的圓形回路的切線方向，所以對閉合路徑C1或C2上任意一線元d1，磁感強度B與d1的點積為B-dI=Bdlcosa=Brd甲式中r為載流導線至線元d1的距離.由第10-2節(jié)二中例1的式（2），上式可寫成B-dl=艮^rd9=E^d中2nr 2n （］）對于圖（a）的閉合回路Ci，9將由0增至2^.于是，磁感強度B沿閉合路徑Ci的環(huán)流(2)JB-dl=孕Jd中=羿2n=^01(2)可見，真空中磁感強度B沿閉合路徑的環(huán)流等于閉合路徑所包圍的電流乘以*0，而與閉合路徑的形狀無關.然而，對于圖（a）中的閉合路徑C2，將得到不同的結果，當我們從閉合路徑C2上某一點出發(fā)，繞行一周后，角中的凈增量為零，即Jd中=0于是，由式（1）可得JB-dl=0比較式（2）和式（3）可以看出，它們是有差別的.這是由于閉合路徑C1包圍了電流，而閉合路徑°2卻未包圍電流.于是我們可以得到普遍的安培環(huán)路定理：沿任意閉合路徑的磁感強度B的環(huán)流為JB-dl=*0￡/°2式中￡1是該閉合路徑所包圍電流的代數和人物簡介：安培簡介安培（AndreMarieAmpere,1775-1855），法國物理學家，對數學和化學也有貢獻，他在電磁理論的建立和發(fā)展方面建樹頗豐。1820年9月提出了物質磁性起源的分子電流假設，并在1821-1825年精巧實驗的基礎上導出兩電流元間相互作用力的公式，后來人們結合畢奧一薩伐爾定律而將該公式寫成現在通用的安培力公式，即安培定律。討論：安培環(huán)路定理與靜電場環(huán)路定理的比較靜電場環(huán)流為零說明靜電場是保守場，并由此引入了電勢能的概念，靜電場環(huán)流定理是描述靜電場性質的基本定理。對于安培環(huán)路定理，其中B-d1顯然并不代表磁場力的功，定理只是表明磁場中存在環(huán)流，它用數學形式表述了磁場環(huán)流與電流的關系。恒穩(wěn)磁場的環(huán)流不為零，因此磁場不是保守場，磁場是無源的渦旋場，磁場的安培環(huán)路定理是描述穩(wěn)恒磁場性質的重要定理。一、例1載流長直螺線管內的磁場處于真空中的載流長直螺線管內外的磁場分布情況與管上各匝線圈的疏密程度及管的尺寸有關。對于線圈較稀疏的載流螺線管，它的磁感線分布如下圖所示。由圖可以看出，在螺線管內中間部分靠近管軸處的磁感線趨于與管軸平行；而導線附近的磁感線幾乎是一些以導線為軸的同心圓。這樣，管外中間部分貼近外管壁的區(qū)域里，存在著磁場，磁感強度不為零。然而對于繞得非常密集的直螺線管，它的磁感線分布如上圖所示。由圖可以看出，在螺線管內中部，從管壁到管軸的區(qū)域里，磁感線可看成是趨于與管軸平行；而管外中部貼近外管壁附近的磁場很弱，磁感強度趨于零。當螺線管繞得很密，而且管的長度1比管的直徑d大得很多時（/>>d）。可將此螺線管當成無限長的螺線管。

右圖是一個密繞的無限長螺線管中間的一段，在單位長度上繞有n匝線圈，通過的電流為I。管內的磁感強度B的方向處處與管軸平行，且大小均相等；在管外貼近管壁處的磁感強度可視為零。下面我們用安培環(huán)路定理來討論管內的磁感強度。在圖中作一矩形閉合路徑MNOPM。則』B-d=』B-d+』B-dl+』B-dl+』B-dl MN NO OP PM』B-d=0』B-d=』B-dl=0其中，OP。NOPM 。而在MN段，磁感強度B的大小均相同，且B的方向與d1相同，所以上式為JB-dl=BMNl根據安培環(huán)路定理，有』B-dl=BMN=七MNnI得B=%nI上式表明，無限長載流螺線管內中部，任意點磁感強度的大小與通過螺線管的電流和單位長度線圈的匝數成正比。討論：載流螺繞環(huán)內的磁場圖示為一螺繞環(huán)，環(huán)內為真空。環(huán)上均勻地密繞有N匝線圈，線圈中的電流為1。由于環(huán)上的線圈繞得很密集，環(huán)外的磁場很微弱，可以略去不計，磁場幾乎全部集中在螺繞環(huán)內，此時，呈對稱分布的電流使磁場也具對稱性，導致環(huán)內的磁感線形成同心圓，且同一圓周上各點的磁感強度B的大小相等，方向處處和環(huán)面平行?，F通過環(huán)內點P，以半徑R作一圓形閉合路徑，如圖所示。顯然閉合路徑上各點的磁感強度方向都和閉合路徑相切，各點B的值都相等，并且圓形閉合路徑內電流的流向和此圓形閉合路徑構成右螺旋關系。這樣，根據安培環(huán)路定理有可得2nR如果L表示螺繞環(huán)中心線所在的圓形閉合路徑的長度，那么，圓環(huán)中心線上一點處的磁感強度為NI0~L當螺繞環(huán)中心線的直徑比線圈的直徑大得多，即2R?d時，管內的磁場可近似看成是均勻的，管內任意點的磁感強度均可用上式表示。二、無限長載流圓柱體的磁場設在半徑為R的圓柱形導體中，電流沿軸向流動，且電流在截面積上的分布是均勻的。如果圓柱形導體很長，那么在導體的中部，磁場的分布可視為是對稱的。下面先用安培環(huán)路定理來求圓柱體外的磁感強度。如下圖（右）所示，設點P離圓柱體軸線的垂直距離為〃，且〃〉R。通過P作半徑為尸的圓，圓面與圓柱體的軸線垂直，由于對稱性，在以r為半徑的圓周上，B的值相等，方向都是沿圓的切線，故礦dI=BdI。于是根據安培環(huán)路定理有』B?dl=JBdl=B2兀r=RIi iB=芟（r〉R）由此可見，無限長載流圓柱體外的磁感強度與無限長載流直導線的磁感強度是相同的?，F在來計算圓柱體內距軸線垂直距離為r處（r<R）的磁感強度。如上圖（左）所示，通過點P作半徑為r的圓，圓面與圓柱體的軸線垂直。由于磁場的對稱性，圓周上各點B的值相等，方向均與圓周相切。故根據安培環(huán)路定理有JB-dl=B2nr=pZI式中￡1是以〃為半徑的圓所包圍的電流。如果在圓柱體內電流密度是均勻的，有j=1/狀2那么，通過截面積nr2的電流￡1刁”2=Ir11R2。于是上式為r2JB-dl=B2nr=p—l °R2得B=Ar1^（r<R）

2nR2三、思考題1.在下面三種情況下，能否用安培環(huán)路定律來求磁感強度？為什么？（1） 有限長載流