專題42空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系（原卷版）

專題42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理考綱要求考點(diǎn)預(yù)測(cè)常用結(jié)論方法技巧題型歸類題型一：平面的基本性質(zhì)題型二：空間兩直線的位置關(guān)系題型三：求兩條異面直線所成的角題型四：空間幾何體的切割(截面)問題題型五：題型六：題型七：題型八：題型九：培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：訓(xùn)練二：訓(xùn)練三：訓(xùn)練四：訓(xùn)練五：訓(xùn)練六：強(qiáng)化測(cè)試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題.【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線a?α3.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).【常用結(jié)論】1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.【方法技巧】1.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．2.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長(zhǎng)方體、正方體)模型來(lái)判斷，常借助正方體為模型．3.求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．4.作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．5.作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．二、【題型歸類】【題型一】平面的基本性質(zhì)【典例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【典例2】(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A1，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面【典例3】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【題型二】空間兩直線的位置關(guān)系【典例1】如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【典例2】已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能【典例3】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論是________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．【題型三】求兩條異面直線所成的角【典例1】如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【典例2】在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)【典例3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【題型四】空間幾何體的切割(截面)問題【典例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形【典例2】(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形D．截面面積最大值為3eq\r(3)【典例3】如圖，正方體A1C的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為________．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)【訓(xùn)練二】已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．【訓(xùn)練三】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)m，n滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.【訓(xùn)練四】如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；(2)求多面體的體積．【訓(xùn)練五】如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．圖1圖2(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；(2)求多面體的體積．【訓(xùn)練六】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為4，E為AB的中點(diǎn)，PE⊥平面ABCD.(1)若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P－ABCD的體積；(2)若CD的中點(diǎn)為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的正切值.四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面2.在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點(diǎn)一定()A．在直線DB上 B．在直線AB上C．在直線CB上 D．都不對(duì)3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°5.已知直線l?平面α，直線m?平面α，給出下面四個(gè)結(jié)論：①若l與m不垂直，則l與α一定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m一定是異面直線．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．46.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于對(duì)角線AC′，且平面α截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則()A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值7.如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡()A．是圓 B．是橢圓C．是拋物線 D．不是平面圖形8.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【多選題】9.四棱錐P－ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB10.下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()11.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A.A，M，O三點(diǎn)共線 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面12.如圖，已知二面角A－BD－C的大小為eq\f(π,3)，G，H分別是BC，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，且AC⊥平面BCD，則以下說法正確的是()A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B.FG∥平面ADCC.若直線FG，HE交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線D.若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為3【填空題】13.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．14.在空間中，給出下面四個(gè)命題，其中假命題為________．(填序號(hào))①過平面α外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面α垂直；②若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，則α∥β；③若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點(diǎn)，則直線EF與PQ所成角的大小是________．16.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點(diǎn)，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長(zhǎng)是________．【解答題】17.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中