高中數學解題中函數思想的應用 論文

高中數學解題中函數思想的應用體教學內容展示函數思想在解題中的具體應用，使其更好地把握不同題型的解題細節(jié)與關鍵，幫助其積累應用經驗，有效提升其數學解題能力。關鍵詞：高中數學；解題；函數思想；運用展示運用函數思想解答不同習題的過程，為以后更為高效地解題提供針對性指導。一、用于解答基本函數類的習題題。例1，設cos+sin=

3，sin+cos的范圍為D，則函數y=log12

2x3(x4x10的最小值為 。時需充分挖掘、運用隱含條件，結合三角函數知識求解出2x32x34x10t=sin+cos①，cos+sin=

3②，則①2+②2+)，即，2x32sin(+)=t2+1[-2，2]，解得-1≤t≤1，則D為[-1，1]， ＞0。2x2x34x102x2x3)= ≤)

12 = 2

2x3=2(2x4

2(2x3 2 2x3

4 2x3

2 82x32 1 取等號，此時x=-2x3 2

[-1，1]。因函數y=log1x在其定義域內為減函數，則y=22x2x32log1

≥y=log1

= ，即，其最小值為 。24x10

28 2 2二、用于解答三角形類的習題余弦定理構建參數之間的內在聯系[3]。但是解答有關最值問題有時還需要應用函數思想。教算正確性。例2，在△ABC中，角所對的邊分別為a、b、c，a=2，cos2C=cos2A+4sin2B，則△ABC面積的最大值為 。應的函數，借助函數性質便能順利得出結果。2解：由cos2C=cos2A+4sin2B，可得1-2sin2C=1-2sin2A+4sin2B，即，sin2A=sin2C+2sin2B，由正弦定理可得：a2=c2+2b2=4，則c2=4-2b2，故0＜b＜ 。由余弦定理可得a2=b2+c2-2b2b214c2cosA=- A(0，sinA= 2cb2c2b2c21 )b24c2b4b2c24b4b2(4b2)4= = =2 2 2 221 9b42

9b4 9 4b+4b2=- t2+4t，由二次函數性質可知，2 48 9 9 8

4 4816當t= t2+4t取得最大值- ×( = 面積的最大值為9 4 4 9 9 91691 1×4=21692 2 3 3三、用于解答數列類的習題數知識處理數列問題的方法與技巧，避免在解題中走彎路。例3，已知數列{an}滿足：a1=2，an+1Sn+(Sn-1)2=0(nN*)，且Sn為{an}的前n項和。若對任意的n均有(S1+1)×(S2+1)×···×(Sn+1)≥kn2恒成立，則正數k的最大值為 。數在何處取得最值。當然針對該題首先需運用數列知識，求出數列的前n項和Sn的表達式。an+1=Sn+1-Sn，an+1Sn+(Sn-1)2=01 S1 1 1 1 1 1即Sn+1=2- n - = =1Sn Sn

Sn11

Sn1

Sn11

Sn11 n1}是以1為首項公差為1的等差數列，即 =n，則Sn= ，問題可轉化為k≤(Sn1 n(S1n2

)min，令 f(n)=

(S1，則n2

f(n=f(n)n2(S

n2(2n

n33n2n3

f(n n= = n=1n≥2(n1)2

(n

n33n23n1

f(n)f(n15 15時，n3＞3n+1， ＞1；則f(n)min=f(2)= ，則正數k的最大值為 。f(n) 8 8四、用于解答圓錐曲線類的習題圓錐曲線習題在高中數學中占有重要地位。相關習題常作為壓軸題出現在各類測試中，要內容加以講解。x2 y2 1C： + =1(a＞b＞0)的離心率為 為不與a2 b2 23C的直線和橢圓C4交于P、Q兩點，以P、Q為邊的平行四邊形PQRS和橢圓C交于R、S兩點，求S△PQR的最大值以及此時直線PQ的方程。妙轉化，并運用函數知識對運算結果進行處理，借助函數性質計算出S△PQR的最大值。3 1MkMA·kMB=- 和e= ，不難求出橢圓C的方程為4 2x2 y2+ =1，具體過程不再贅述。4 3圖1問題（2）根據題意畫出圖形，如圖1所示，由橢圓對稱性可知平行四邊形PQRS的一x2 y2邊RS過橢圓C的左焦點F1，因PQ∥RS，則S△PQR=S△PQF1。由橢圓方程C為 + =14 3xny12 2可知PQ的方程為x

y 6n 9431得(3n2+4)y2+6ny-9=0，顯然＞0，y1+y2=- ，y1y2=- ，易得y1y2＜0。由圖13n24可知

3n241 2 2

(yy)24yy=

6n2

36=12

n1=12·n1。2 1 2

12 ( )3n24 3n24

(3n24)2

3n24n21 t 1 1令= = f(t)=9t+f(t)9t16(3n24)21)2 ttn21 1 1在t≥1≤ t=1，(3n24)2 16 4即n=0時，S△PQR的最大值為3。即直線PQ的方程為x=1。五、用于解答導數類的習題導數是研究函數的重要工具，是運用函數思想解答一些特殊函數的必備知識[5]。教學實例滿足x+a(y-2ex)lny=a(y-2ex)lnx，其中ea的取值范圍為 。分析：該題給出的已知條件較少，但是難度并不小。需先對給出的已知條件進行轉化，并構造新的函數，通過求導判斷函數單調性。基于對函數單調性的整體把握構建不等關系。y y yx+a(y-2ex)lny=a(y-2ex)lnx，易得x+a(y-2ex)ln -2e)ln t=x x xy1+a(t-2e)lnt=0，其等價于(t-2e)lnt=-1f(t)=(t-2e)lnt(t＞0)，則f'x a

(t)=lnt+1-2eft

'f

'f

'(t)=0僅有一解0＜t＜e時，f't＞e時，f't→01 1時，f(t)→+∞，當t→+∞時，f(t)→+∞，則要想滿足題意應有- ≥-e， ≤e，解得a＜0a a1 1或a≥ ，故a的取值范圍為(-∞，0)∪[ ，+∞)。e e六、總結通，以不變應萬變。參考文獻：[1]鄒嬌嬌.高中數學函數教學中滲透數學思想方法的應用[J].數理化解題研究,2021(27):2-3.[2]王建.高中數學函數教學滲透數學思想方法淺探[J].試題與研究,2020(