簡單的三角函數(shù)恒等變換講解

PAGE 第4頁版權(quán)所有不得復(fù)制年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題簡單的三角函數(shù)恒等變換編稿老師褚哲一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解積化和差、和差化積的推導(dǎo)過程，能初步運用公式進(jìn)行和、積互化.2.能應(yīng)用公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡、證明.二、重點、難點：重點：三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式，能正確運用此公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式的證明.難點：公式的靈活應(yīng)用.考點分析：三角函數(shù)的積化和差與和差化積這兩種轉(zhuǎn)化，對于三角函數(shù)式的求值、化簡及恒等變形都有一定的作用，積化和差公式的推導(dǎo)運用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)運用了“換元”思想.高中階段對這兩組公式的教學(xué)與考查，只是將其作為基本的訓(xùn)練素材，結(jié)果不要求記憶，但同學(xué)們要注意體會并能運用它們進(jìn)行簡單的三角變換.三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式1、公式的推導(dǎo)得即 （1） （2） （3） （4）公式（1）（2）（3）（4）叫做積化和差公式.其特點為：同名函數(shù)之積化為兩角和與差余弦的和（差）的一半，異名函數(shù)之積化為兩角和與差正弦的和（差）的一半，等式左邊為單角α、β，等式右邊為它們的和差角.在積化和差的公式中，如果“從右往左”看，實質(zhì)上就是和差化積.為了用起來方便，在積化和差的公式中，如果令，則.把這些值代入積化和差的公式（1）中，就有 （5）同理可得， （6） （7） （8）公式（5）（6）（7）（8）叫做和差化積公式.其特點為：同名函數(shù)的和（或差）才可化積；余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積；正弦函數(shù)的和（或差）化為異名函數(shù)之積；等式左邊為單角θ與，等式右邊為與的形式.牢記兩組公式的區(qū)別與聯(lián)系，才能正確使用.2、明確公式是由兩角和與差的三角函數(shù)公式推導(dǎo)而得，進(jìn)一步明確三角函數(shù)中雖然公式較多，但它們都不是孤立存在的.另外，弄清公式的來源及其內(nèi)在聯(lián)系，才能更好地記憶和使用它們.（2）對于形如，可化為的形式，也能達(dá)到實現(xiàn)和差化積形式的目的.例3：求值：（1）；（2）csc40°+cot80°.思路分析：最常見的方法是降冪擴(kuò)角及積化和差公式的應(yīng)用，但對偶式的應(yīng)用可能會使問題變得更簡單.解題過程：（1）（2）解題后思考：三角函數(shù)變換的靈活性更多地體現(xiàn)在拆角的靈活性上，題（1）的解題過程對這一點展現(xiàn)得淋漓盡致；題（2）巧妙地運用了對偶式，使解答變得簡單.這種方法也可以解形如的求值題.例4：求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.思路分析：本題的解法具有一定的技巧性，可以用二倍角公式引起連鎖反應(yīng)，也可用積化和差公式解題.解題過程：方法一：sin6°sin42°sin66°sin78°方法二：sin6°sin42°sin66°sin78°解題后思考：積化和差、和差化積兩套公式的運用靈活性較大.做題時既要注意公式的正確選擇，還要認(rèn)真考慮項與項之間的適當(dāng)組合.三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)運算中起什么作用，和差化積公式在三角函數(shù)運算中就起什么作用.積化和差與積差化和是一對“孿生兄弟”，兩者不可分離，在解題過程中，要切實注意兩者的交替使用.在一般情況下，如遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡或計算.（答題時間：45分鐘）一、填空題1.已知，則.2.已知，則.3.積化成和差為.4.的值是_______________.5.在中，，則的大小為________.二、解答題1.已知.（1）求sinx－cosx的值；（2）求的值.2.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.3.已知A、B、C是△ABC的內(nèi)角，向量，且（1）求角A；（2）若.求4.是否存在銳角和，使得（1）；（2）同時成立，若存在，求出、的值，若不存在，說明理由.

一、填空題1.解析：，且所以.2. 3. 4. 5.解析：由平方相加得若則又二、解答題1.解：（1）由即..又. ，故（2）2.解析：3.解：（1），，即（2）由題意