直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的軋機(jī)速度系統(tǒng)積分反步控制設(shè)計(jì)

直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的軋機(jī)速度系統(tǒng)積分反步控制設(shè)計(jì)

1非線性反饋控制律設(shè)計(jì)隨著現(xiàn)代工業(yè)控制單元性能要求的不斷提高，傳統(tǒng)的線性反饋控制難以滿足不同的實(shí)際需要。線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性不足以解釋許多常見(jiàn)的非線性現(xiàn)象。因此非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題受到了控制界的重視,非線性反饋控制也成了人們關(guān)注的焦點(diǎn)。Khalil,Vidyasagar,Sastry等都討論了非線性反饋控制問(wèn)題?；诜床椒ǖ姆蔷€性反饋控制是應(yīng)用廣泛的設(shè)計(jì)方法之一。ZhangT&GeSS等利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和反步法對(duì)嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì);GongJQ&YaoBin利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和反步法對(duì)半嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì);Jiang&Nijmeijer,Fierro&Lewis利用反步法設(shè)計(jì)了不能用光滑靜態(tài)反饋控制律穩(wěn)定的系統(tǒng);Tanner&Kyriakopoulos利用反步法處理了非光滑系統(tǒng)。直流電機(jī)速度控制系統(tǒng)具有調(diào)速范圍寬、穩(wěn)速精度高、控制方便等優(yōu)點(diǎn),因此被廣泛應(yīng)用于冶金、建材、印刷、電纜、機(jī)床和礦山等行業(yè),在拖動(dòng)領(lǐng)域中發(fā)揮著極其重要的作用。本文利用積分反步法(Backstepping)對(duì)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的軋機(jī)速度系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。這種方法通過(guò)逐步修正算法設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)或跟蹤,每一步把狀態(tài)坐標(biāo)的變化和一個(gè)已知Lyapunov函數(shù)的虛擬控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定函數(shù)等聯(lián)系起來(lái),最終得到一個(gè)控制李雅普諾夫函數(shù)(clf)。仿真研究結(jié)果表明,本文所設(shè)計(jì)的非線性反饋魯棒控制系統(tǒng)具有較好的魯棒穩(wěn)定性和跟蹤性能。2基于積分方法的反饋管理系統(tǒng)設(shè)計(jì)2.1李雅普夫函數(shù)的性質(zhì)和作用這里先介紹幾個(gè)引理及概念。引理1對(duì)于系統(tǒng):˙x=f(x,t),x(t0)=x0,x≈Rn,t≥0(1)設(shè)x=0是它的一個(gè)平衡點(diǎn),且f(x,t)對(duì)x是局部李普西茨(Lipschitz)的,對(duì)t是一致的。若存在連續(xù)可微、正定有界、徑向無(wú)界的函數(shù)V(x):Rn→R+,使得˙V=?V?x(x)f(x,t)≤-W(x)≤0,?t≥0??x∈Rn(2)其中是連續(xù)函數(shù)。則系統(tǒng)(1)的所有解全局一致有界且滿足limt→∞W(x(t))=0(3)另外,如果W(x(t))是正定有界的,則平衡點(diǎn)x=0是全局一致漸近穩(wěn)定的。引理2設(shè)Ω是系統(tǒng)(1)的正不變集,且存在連續(xù)可微函數(shù)V(x):Ω→R+,使得˙V(x)≤0??x∈Ω,并設(shè)E={x∈Ω|˙V(x)=0}?Μ為E中最大的不變集。則對(duì)任意的x0∈Ω,當(dāng)t→∞時(shí),x(t)趨于M。若x=0是系統(tǒng)的唯一平衡點(diǎn),且集合E中不包含x(t)=0外的非平凡解,則原點(diǎn)x=0是全局漸近穩(wěn)定的。穩(wěn)定化控制系統(tǒng)的一個(gè)重要方法是選擇一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)V(x),并找到一個(gè)反饋控制u=α(x)使˙V(x,α(x))為負(fù)定的。然而并不是任意的V(x)都能滿足系統(tǒng)的要求的。但只要V(x)是控制李雅普諾夫函數(shù),便可以找到穩(wěn)定化控制律u。定義對(duì)于系統(tǒng)˙x=f(x)+g(x)u,x∈Rn,u∈R(4)V(x)稱(chēng)為控制李雅普諾夫函數(shù),若對(duì)于任意的x≠0,存在LgV(x)=0?LfV(x)<0(5)其中LgV(x)=?V(x)?xg(x),LfV(x)=?V(x)?xf(x),其滿足控制李雅普諾夫函數(shù)不等式?V?x(x)f(x)+?V?x(x)g(x)u≤-W(x)(6)對(duì)于絕大多數(shù)系統(tǒng),控制李雅普諾夫函數(shù)是未知的,因此尋找系統(tǒng)的控制李雅普諾夫函數(shù)與設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定化反饋控制律同樣復(fù)雜,為了同時(shí)解決這兩個(gè)問(wèn)題,可以利用積分反步法來(lái)設(shè)計(jì)。2.2控制律設(shè)計(jì)的一般方法積分反步法是以一維系統(tǒng)設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單性為出發(fā)點(diǎn)的。對(duì)于一維系統(tǒng),V(x)和α(x)的尋找比較簡(jiǎn)單,一般地,V(x)=12x2就是合理的控制李雅普諾夫函數(shù),且很容易的滿足不等式(6)。引理3(積分反步法)若系統(tǒng)(4)的積分增廣系統(tǒng)為{˙x=f(x)+g(x)ζ˙ζ=u(7)假設(shè)式(7)的第一式存在滿足不等式(6)的α(x),其中ζ是虛擬控制。(1)若W(x)是正定的,則系統(tǒng)(7)存在形如下式的控制李雅普諾夫函數(shù)Va(x,ζ)=V(x)+12[ζ-α(x)]2(8)也就是,存在反饋控制律u=αa(x,ζ)使系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)為全局漸近穩(wěn)定的。其中V(x)是式(7)中第一式的控制李雅普諾夫函數(shù),可選為V(x)=12x2?α(x)是根據(jù)所選的V(x)并保證˙V<0而得到的?？刂坡煽蛇x為u=-c(ζ-α(x))+?α?x(x)[f(x)+g(x)ζ]-?V?x(x)g(x),c＞0(9)(2)若W(x)是半正定的,則存在反饋控制律使˙Va≤-Wa(x,ζ)≤0成立,對(duì)于任意的W(x)>0或ζ≠α(x),Wa(x,ζ)>0。這保證了的全局有界性,并促使收斂于如下所示集合所包含的最大不變集Ma。證明:引進(jìn)誤差變量z=ζ-α(x)(10)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),系統(tǒng)(7)可重寫(xiě)為{˙x=f(x)+g(x)[α(x)+z]˙z=u-?α?x(x)[f(x)+g(x)[α(x)+z](11)沿著式(11)的解對(duì)式(8)求導(dǎo)得V˙a=?V?x(x)(f(x)+g(x)α(x))+g(x)z)+z[u-?α?x(x)(f(x)+g(x)(α(x)+z))]=?V?x(x)(f(x)+g(x)α(x))+z[u-?α?x(x)(f(x)+g(x)(α(x)+z))+?V?x(x)g(x)]≤-W(x)+z[u-?α?x(x)(f(x)+g(x)(α(x)+z))+?V?x(x)g(x)](12)由引理1,使V˙a≤-Wa(x,ζ)≤-W(x)(Wa在z=ζ-α(x)上是正定有界的)成立的任意控制u能保證x,z和ζ=z+α(x)的全局有界性,且保證對(duì)W(x(t)),z(t)的調(diào)整。此外,引理2保證收斂于包含的最大不變集。使V˙a為負(fù)定的最簡(jiǎn)單的方法是選擇如式(9)所示的控制律,此時(shí)V˙a≤-W(x)-cz2=-Wa(x,ζ)≤0(13)顯然,若W(x)>0,引理1保證x=0,z=0為全局漸近穩(wěn)定,也即Wa(x,ζ)是系統(tǒng)(7)的控制李雅普諾夫函數(shù),且x=0,ζ=0,為全局漸近穩(wěn)定。雖然控制(9)的選擇很簡(jiǎn)單,但是它可能不是所期望的,因?yàn)樗赡苋∠艘恍?duì)系統(tǒng)有益的非線性。而且使式(13)中的V˙a為負(fù)定的控制u并不是唯一的,只要選擇u滿足下式V˙a≤-W(x)+z[u-?α?x(x)(f(x)+g(x)(α(x)+z))+?V?x(x)g(x)]=-Wa(x,ζ)(14)即可?？梢钥闯?反步法對(duì)控制u的選擇相當(dāng)靈活,在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)構(gòu)造適當(dāng)?shù)目刂评钛牌罩Z夫函數(shù),以使系統(tǒng)設(shè)計(jì)達(dá)到預(yù)期目的。以上給出的積分反步法主要是用來(lái)設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)的。然而,在處理線性系統(tǒng)時(shí),若期望得到非線性的閉環(huán)響應(yīng)時(shí),反步積分法可用來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的非線性控制器。下面就用軋機(jī)速度系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明此問(wèn)題。3電機(jī)的轉(zhuǎn)速能力直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的軋機(jī)速度系統(tǒng)被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中:i為電機(jī)的電樞電流,ω為電機(jī)的角速度,R為電機(jī)的電樞電阻,J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Cm?為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù),M=Cm?i為電磁轉(zhuǎn)矩,ML為電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩,L為電樞電感,Ks為可控硅整流裝置的放大倍數(shù),Ts為可控硅失控時(shí)間。仿真時(shí)的電機(jī)參數(shù)為:電動(dòng)機(jī)額定功率1500kW;額定電流1720A;Cm?=29N·m/A;額定電磁轉(zhuǎn)矩為50kN·m;R=0.0314Ω;L=0.003H;J=1547kg·m2;Ks=152。4u3000模型軋機(jī)在軋制過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)來(lái)料厚度、材質(zhì)、摩擦力及外界影響等因素的不同。為了能軋制出厚度均勻的軋板,軋制速度應(yīng)作出相應(yīng)的調(diào)整,可以用非線性反饋速度控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)。軋機(jī)被控對(duì)象如圖1所示。由于整流裝置的慣性時(shí)間常數(shù)Ts很小,所以在公式推導(dǎo)中將ΚsΤss+1近似為一比例環(huán)節(jié)Ks。取為參考輸入。則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為{dωdt=1JCm?i-1JΜLdidt=-RLi-1LCm?ω+ΚsLu(15)選擇V=12ω2,則V˙=ω(1JCm?i=1JΜL),取i的期望值為ides=α(x)=1Cm?ΜL-JCm?cω3(16)則V˙=-cω4≤0,且除原點(diǎn)這個(gè)平衡點(diǎn)外不恒為0,因此,由拉薩爾不變集原理知,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。由積分反步法,把i看成ω的虛擬控制,令z=i-α(x),結(jié)合式(16),式(15)中的第一式變?yōu)閐ωdt=Cm?Jz-cω3(17)利用式(15)的第二式,可得z˙=-RLi=1LCm?ω+ΚsLr-ΚsLu-1Cm?Μ˙L+3cω2i-3cCm?ω2ΜL(18)利用引理2,可得控制律為u=-LΚs(3cCm?ω2ΜL-3cω2i+1Cm?Μ˙l+RLα(ω)+Cm?Lω-ΚsLr)(19)利用MATLAB中的SIMULINK軟件對(duì)軋機(jī)速度系統(tǒng)進(jìn)行仿真。圖2為參考輸入是階躍信號(hào)時(shí)的跟蹤曲線,nd=260r/min,此時(shí)控制器中的c=0.013。圖3為參考輸入是復(fù)合信號(hào)時(shí)的跟蹤曲線,此時(shí),nd=(260+28sin(12t))r/min。由圖可以看出,所設(shè)計(jì)的基于積分反步法的非線性反饋控制器使軋機(jī)速度系統(tǒng)良好的跟蹤給定的速度,其調(diào)整時(shí)間快,并使系統(tǒng)無(wú)超調(diào)。需要注意的是控制李雅普諾夫函數(shù)和控制u的選擇并不是唯一的,只要選擇的李雅普諾夫函數(shù)和u滿足式(17)就可以。當(dāng)然在設(shè)計(jì)時(shí)也要根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)和設(shè)計(jì)要求進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪x擇。5反饋控制器設(shè)計(jì)本文給出了基于積分反步法的反饋控制設(shè)計(jì)方法,