多元函數(shù)微分習(xí)題-答案

求在區(qū)域上的最大值和最小值。例18此題是不等式約束問(wèn)題，求解分兩步進(jìn)行:【解】

①在內(nèi)，解方程組得唯一駐點(diǎn)（0，0）。提示先求區(qū)域內(nèi)部的可疑極值點(diǎn)，再求邊界上的可疑極值點(diǎn)，然后比較它們的函數(shù)值。第一頁(yè)第二頁(yè)，共23頁(yè)。②在邊界上，構(gòu)造拉格郎日函數(shù)

解方程組求出函數(shù)值比較大小可知，最大值為45最小值為9.得可疑極值點(diǎn)和第二頁(yè)第三頁(yè)，共23頁(yè)。設(shè)f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.因此，所求的一階微分方程為解得(C為任意常數(shù)).例21，利用已知關(guān)系可得到關(guān)于y的一階微分方程.【分析】先求【解】第三頁(yè)第四頁(yè)，共23頁(yè)。例22【解】其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo),且,求設(shè)第四頁(yè)第五頁(yè)，共23頁(yè)。

設(shè)，其中是由確定，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求兩端對(duì)求導(dǎo)有兩端對(duì)求導(dǎo)有代入化簡(jiǎn)例23【解】在第五頁(yè)第六頁(yè)，共23頁(yè)。上各點(diǎn)的法線總垂直于常向量，并指出此曲面的特征.證明:設(shè)可微,試證〖證法一〗設(shè)為曲面上任意一點(diǎn),其法向量為:所以例24的任意性知曲面上各點(diǎn)的法線總垂直于即常向量.第六頁(yè)第七頁(yè)，共23頁(yè)。〖證法二〗任取曲面上一點(diǎn)則直線L：在曲面上，而L的對(duì)稱式方程為L(zhǎng)：可見(jiàn)過(guò)曲面上任意一點(diǎn)的直線均平行于{a，b，c}，即曲面是母線平行于{a，b，c}的柱面。第七頁(yè)第八頁(yè)，共23頁(yè)。設(shè)可微,試證上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)定點(diǎn).則該處的切平面為:+-[+]=0三個(gè)數(shù)a,b,c出現(xiàn)在方程中,我們首先猜想就是所求的點(diǎn).代入滿足方程,故點(diǎn)在此切平面上.例25〖證法一〗任取曲面上一點(diǎn)第八頁(yè)第九頁(yè)，共23頁(yè)。〖證法二〗分析曲面的幾何性質(zhì)要比機(jī)械地代公式好,任取曲面上一點(diǎn)則連接的直線方程L為:將直線方程代入曲面方程有這說(shuō)明L上的點(diǎn)都在曲面上,即曲面是以為頂點(diǎn)的錐面,而曲面上任意一點(diǎn)的切平面都經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn).設(shè)點(diǎn)第九頁(yè)第十頁(yè)，共23頁(yè)。求由方程所確定的函數(shù)設(shè)的極值。解

對(duì)方程兩邊求全微分，得令，得例26第十頁(yè)第十一頁(yè)，共23頁(yè)。代入原方程得：得駐點(diǎn)又第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共23頁(yè)。所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)。所以對(duì)于點(diǎn)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。對(duì)于點(diǎn)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。這是隱函數(shù)極值問(wèn)題，計(jì)算方法與顯函數(shù)相同，所不同的是計(jì)算可疑極值點(diǎn)要利用隱函數(shù)求導(dǎo)法。注意第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共23頁(yè)。已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),

試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

則

設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組例27最大.

第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共23頁(yè)。得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共23頁(yè)。求在點(diǎn)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)。解當(dāng)時(shí)，類(lèi)似:例28第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共23頁(yè)。當(dāng)時(shí)，顯然第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共23頁(yè)。第六部分考研試題欣賞第十七頁(yè)Heut-第十八頁(yè)，共23頁(yè)。設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求2004年利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的方法直接計(jì)算.提示第十八頁(yè)*第十九頁(yè)，共23頁(yè)。設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.2004年因?yàn)樗蕴崾镜谑彭?yè)*第二十頁(yè)，共23頁(yè)。得令