多元函數(shù)微分習(xí)題-答案

求在區(qū)域上的最大值和最小值。例18此題是不等式約束問題，求解分兩步進行:【解】

①在內(nèi)，解方程組得唯一駐點（0，0）。提示先求區(qū)域內(nèi)部的可疑極值點，再求邊界上的可疑極值點，然后比較它們的函數(shù)值。第一頁第二頁，共23頁。②在邊界上，構(gòu)造拉格郎日函數(shù)

解方程組求出函數(shù)值比較大小可知，最大值為45最小值為9.得可疑極值點和第二頁第三頁，共23頁。設(shè)f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.因此，所求的一階微分方程為解得(C為任意常數(shù)).例21，利用已知關(guān)系可得到關(guān)于y的一階微分方程.【分析】先求【解】第三頁第四頁，共23頁。例22【解】其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo),且,求設(shè)第四頁第五頁，共23頁。

設(shè)，其中是由確定，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求兩端對求導(dǎo)有兩端對求導(dǎo)有代入化簡例23【解】在第五頁第六頁，共23頁。上各點的法線總垂直于常向量，并指出此曲面的特征.證明:設(shè)可微,試證〖證法一〗設(shè)為曲面上任意一點,其法向量為:所以例24的任意性知曲面上各點的法線總垂直于即常向量.第六頁第七頁，共23頁。〖證法二〗任取曲面上一點則直線L：在曲面上，而L的對稱式方程為L：可見過曲面上任意一點的直線均平行于{a，b，c}，即曲面是母線平行于{a，b，c}的柱面。第七頁第八頁，共23頁。設(shè)可微,試證上任一點處的切平面都通過定點.則該處的切平面為:+-[+]=0三個數(shù)a,b,c出現(xiàn)在方程中,我們首先猜想就是所求的點.代入滿足方程,故點在此切平面上.例25〖證法一〗任取曲面上一點第八頁第九頁，共23頁?！甲C法二〗分析曲面的幾何性質(zhì)要比機械地代公式好,任取曲面上一點則連接的直線方程L為:將直線方程代入曲面方程有這說明L上的點都在曲面上,即曲面是以為頂點的錐面,而曲面上任意一點的切平面都經(jīng)過其頂點.設(shè)點第九頁第十頁，共23頁。求由方程所確定的函數(shù)設(shè)的極值。解

對方程兩邊求全微分，得令，得例26第十頁第十一頁，共23頁。代入原方程得：得駐點又第十一頁第十二頁，共23頁。所以函數(shù)沒有極值點。所以對于點，點不是極值點。對于點，點不是極值點。這是隱函數(shù)極值問題，計算方法與顯函數(shù)相同，所不同的是計算可疑極值點要利用隱函數(shù)求導(dǎo)法。注意第十二頁第十三頁，共23頁。已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),

試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC面積解：設(shè)C點坐標(biāo)為(x,y),

則

設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組例27最大.

第十三頁第十四頁，共23頁。得駐點對應(yīng)面積而比較可知,點C與E重合時,三角形面積最大.第十四頁第十五頁，共23頁。求在點的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)。解當(dāng)時，類似:例28第十五頁第十六頁，共23頁。當(dāng)時，顯然第十六頁第十七頁，共23頁。第六部分考研試題欣賞第十七頁Heut-第十八頁，共23頁。設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求2004年利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的方法直接計算.提示第十八頁*第十九頁，共23頁。設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.2004年因為所以提示第十九頁*第二十頁，共23頁。得令