2022年廣東省深圳市南山區(qū)某校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）

第1頁（共1頁）2022年廣東省深圳市南山區(qū)某校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共10小題，總共30分）1．（3分）在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師將1～10共十個(gè)整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝下）．他先打亂這些卡片的順序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)叫到講臺上，隨機(jī)地發(fā)給每位同學(xué)兩張卡片，并要求他們把自己的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，結(jié)果分別是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊18．根據(jù)以上信息，判斷錯誤的是（）A．丙同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是7和8 B．戊同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是8和10 C．丁同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是2和4 D．甲同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是5和72．（3分）2021年11月8日至11日，黨的十九屆六中全會在北京召開．全會審議通過的《中共中央關(guān)于黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗(yàn)的決議》，聚焦總結(jié)黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗(yàn)，突出中國特色社會主義新時(shí)代這個(gè)重點(diǎn)．體現(xiàn)了黨中央對黨的百年奮斗的新認(rèn)識，是一篇光輝的馬克思主義綱領(lǐng)性文獻(xiàn)，是新時(shí)代中國共產(chǎn)黨人牢記初心使命、堅(jiān)持和發(fā)展中國特色社會主義的政治宣言，是以史為鑒、開創(chuàng)未來、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的行動指南．如圖為“百年奮斗成就”展示在正方體的展開圖上，則“奮”的相對面是（）A．百 B．斗 C．成 D．就3．（3分）要使式子有意義，則q的取值范圍是（）A．q＝7 B．q≥7 C．q≤7 D．q≠74．（3分）我們定義：如圖，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）并縮短一半得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β并縮短一半得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β＝180°時(shí)，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋半中線”，點(diǎn)A叫做“旋半中心”．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的坐標(biāo)分別是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中線”，連接OD，求OD的最大值，并且寫出當(dāng)OD最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)（）A． B． C． D．5．（3分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）和圖形W，給出如下定義：過點(diǎn)P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形W中的任意一點(diǎn)Q（a，b）滿足a≤x且b≤y，則稱四邊形PMON是圖形W的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)．例：若M（1，3），N（4，3），則點(diǎn)P（5，4）為線段MN的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn)．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4）．若在一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點(diǎn)，得出m的取值范圍是（）A．m≥﹣0.5且m≠0 B．m≤﹣0.5且m≠0 C．m≥﹣0.5 D．m≠﹣0.5且x＜﹣56．（3分）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，可使每天的銷售額最大，求最大銷售額是（）A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元7．（3分）一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm8．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，動點(diǎn)E從A開始，以每秒2個(gè)單位的速度沿路徑A—B—C—D移動，動點(diǎn)F從點(diǎn)A開始，以每秒2個(gè)單位的速度沿路徑A—D移動，F(xiàn)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)D點(diǎn)后停下來不動，另一個(gè)動點(diǎn)繼續(xù)向終點(diǎn)D點(diǎn)移動，直至終點(diǎn)D才停下來，設(shè)點(diǎn)E移動的時(shí)間為x（單位：s），△AEF的面積記為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．9．（3分）過點(diǎn)A用尺規(guī)作出直線MN的垂線AD，如圖所示的作法中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④10．（3分）已知a，b，c為正數(shù)，判斷與的關(guān)系是（）（提示：數(shù)形結(jié)合）A．≤ B．≥ C．＝ D．＜二、填空題（每小題3分，共5小題，總共15分）11．（3分）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式為（3x+a）（x+b），其中a、b均為整數(shù)，則a+3b的值為．12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以邊AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面積為25，正方形ACFG的面積為49，則正方形BDEC的面積是．13．（3分）設(shè)7﹣的整數(shù)部分為h，小數(shù)部分為j，求得（2h+）j的值為．14．（3分）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD外部一點(diǎn)，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，則AC的取值范圍為．15．（3分）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是．三、解答題（本題總分55分，其中16題6分，17題6分，18題7分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）16．（6分）化簡求值：，其中，n＝5m．17．（6分）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們對王老師黑板上的題很感興趣，他們答案都不同，且眾說紛紜．題目如下：化簡：①小浩說：當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，化簡結(jié)果為；②小特說：當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，化簡結(jié)果為；③小凌說：當(dāng)a＜0，b＞0，c＜0時(shí)，化簡結(jié)果為；④小斯說：當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，化簡結(jié)果為；（1）以上同學(xué)的說法正確的是（雙選）；（2）請?jiān)谶@四個(gè)中任選兩個(gè)判斷其正確性．18．（7分）某校學(xué)生會為了解該校2860名學(xué)生喜歡球類活動的情況，采取抽樣調(diào)查的辦法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個(gè)方面調(diào)查了若干名學(xué)生的興趣愛好，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖（1），圖（2），要求每位同學(xué)只能選擇一種自己喜歡的球類；圖中用乒乓球、足球、排球、籃球代表喜歡這四種球類中的某一種球類的學(xué)生人數(shù)），請你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）在這次研究中，一共調(diào)查了名學(xué)生．（2）喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占的圓心角是度．（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布折線統(tǒng)計(jì)圖．（4）估計(jì)該校喜歡排球的學(xué)生有多少人？19．（8分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在BC上，連接AD交BE于點(diǎn)H，且∠DAB＝∠C，BH＝BD，過點(diǎn)H作HF∥BC交AC于點(diǎn)F，BG⊥AD交AC于點(diǎn)G．（1）求證：△ABD∽△CBA．（2）若AE＝6，EF＝2，求GF的長度．20．（9分）某商店銷售一款口罩，每袋的進(jìn)價(jià)為12元，計(jì)劃售價(jià)大于12元但不超過20元，且售價(jià)為整數(shù)元．（1）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每袋18元時(shí)，日均銷售量為50袋，每袋售價(jià)每增加1元，日均銷售量減少5袋．售價(jià)定為每袋多少元時(shí)，所得日均毛利潤最大？最大日均毛利潤為多少元？（2）疫情期間，該商店分兩批共購進(jìn)2萬袋同款口罩，進(jìn)價(jià)不變．該商店將購進(jìn)的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“買一送一”的促銷活動，第二批口罩沒有做促銷活動，且這兩批的售價(jià)相同．若這2萬袋口罩全部售出后的總利潤率為20%，則每袋口罩的售價(jià)可能是多少元？（毛利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率＝毛利潤÷進(jìn)價(jià)）21．（9分）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果＝，那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為．（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為cm；（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時(shí)，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．22．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a﹣1不為整數(shù)）的頂點(diǎn)D（，），AB⊥BC．（1）直接得出拋物線解析式．（2）如圖1所示，點(diǎn)P為拋物線一動點(diǎn)，∠PBC＝3∠ABO，求xP；（3）如圖2，延長DB交x軸于點(diǎn)E，EF平分∠BEO，交線段AB于點(diǎn)F．x軸正半軸有一點(diǎn)S，且AS＝12EF．過點(diǎn)F作FG∥x軸，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)G．該對稱軸交x軸于點(diǎn)H．過點(diǎn)G作線段IM、NQ，且NH＝MH＝IH＝QH．線段IQ交直線FG于點(diǎn)R，若線段MN恰好交FG于點(diǎn)F．那么請求出R點(diǎn)坐標(biāo)．并試問∠EFA與∠RSE是否存在倍數(shù)關(guān)系？若存在，請分別求出它們的角度大小并寫出存在的倍數(shù)關(guān)系；若不存在，請說明理由．

2022年廣東省深圳市南山區(qū)某校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共10小題，總共30分）1．（3分）在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師將1～10共十個(gè)整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝下）．他先打亂這些卡片的順序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)叫到講臺上，隨機(jī)地發(fā)給每位同學(xué)兩張卡片，并要求他們把自己的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，結(jié)果分別是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊18．根據(jù)以上信息，判斷錯誤的是（）A．丙同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是7和8 B．戊同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是8和10 C．丁同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是2和4 D．甲同學(xué)的兩張卡片上的數(shù)字是5和7【解答】解：乙同學(xué)是1，3；丁同學(xué)是2，4；甲同學(xué)是5，7；丙同學(xué)是6，9；戊同學(xué)是8，10；故選：A．2．（3分）2021年11月8日至11日，黨的十九屆六中全會在北京召開．全會審議通過的《中共中央關(guān)于黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗(yàn)的決議》，聚焦總結(jié)黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗(yàn)，突出中國特色社會主義新時(shí)代這個(gè)重點(diǎn)．體現(xiàn)了黨中央對黨的百年奮斗的新認(rèn)識，是一篇光輝的馬克思主義綱領(lǐng)性文獻(xiàn)，是新時(shí)代中國共產(chǎn)黨人牢記初心使命、堅(jiān)持和發(fā)展中國特色社會主義的政治宣言，是以史為鑒、開創(chuàng)未來、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的行動指南．如圖為“百年奮斗成就”展示在正方體的展開圖上，則“奮”的相對面是（）A．百 B．斗 C．成 D．就【解答】解：在正方體的展開圖上，則“奮”的相對面是就，故選：D．3．（3分）要使式子有意義，則q的取值范圍是（）A．q＝7 B．q≥7 C．q≤7 D．q≠7【解答】解：由題意可得：2q﹣14≥0，解得：q≥7，故選：B．4．（3分）我們定義：如圖，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）并縮短一半得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β并縮短一半得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β＝180°時(shí)，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋半中線”，點(diǎn)A叫做“旋半中心”．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的坐標(biāo)分別是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中線”，連接OD，求OD的最大值，并且寫出當(dāng)OD最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)（）A． B． C． D．【解答】解：首先證明結(jié)論AD＝BC．理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M，∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′＝B′M＝2AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝2AB′，∴△BAC∽△AB′M，∴BC＝2AM，∴AD＝BC．如圖，∵A（4，3），B（1，0），C（5，0），∴OA＝5，OB＝1，OC＝5∵AD＝BC，BC＝4，∴AD＝1，∴D在以A為圓心，以1為半徑的圓上，∴當(dāng)D運(yùn)動到直線OA與半圓相交時(shí)OD最大，∵A（4，3），∴OA＝5，∵AD＝1，∴OD的最大值是6．過A作AE⊥x軸于E，過D作DF⊥x軸于F，∴AE∥DF，∴△AOE∽△DOF，∴＝＝＝，∵OE＝4，AE＝3，∴OF＝，DF＝，∴D（，）．故選：A．5．（3分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）和圖形W，給出如下定義：過點(diǎn)P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形W中的任意一點(diǎn)Q（a，b）滿足a≤x且b≤y，則稱四邊形PMON是圖形W的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)．例：若M（1，3），N（4，3），則點(diǎn)P（5，4）為線段MN的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn)．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4）．若在一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點(diǎn)，得出m的取值范圍是（）A．m≥﹣0.5且m≠0 B．m≤﹣0.5且m≠0 C．m≥﹣0.5 D．m≠﹣0.5且x＜﹣5【解答】解：①當(dāng)m＞0時(shí)，符合題意；②當(dāng)m＜0時(shí)，當(dāng)x≥4且y≥4時(shí)，P（x，y）為△ABC的覆蓋特征點(diǎn)，∵點(diǎn)P在一次函數(shù)y＝mx+6上，∴當(dāng)直線y＝mx+6過點(diǎn)（4，4）時(shí)，4＝4m+6，∴m＝﹣，∴﹣≤m＜0，綜上所述：m≥﹣且m≠0．故選：A．6．（3分）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，可使每天的銷售額最大，求最大銷售額是（）A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元【解答】解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，每天的銷售額為y元．依題意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝5時(shí)，y最大，最大值為1800，∴最大銷售額為1800元．故選：C．7．（3分）一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在圓外，則該圓的直徑＝6cm﹣3cm＝3cm；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)，則該圓的直徑＝6cm+3cm＝9cm，即該圓的直徑為3cm或9cm．故選：D．8．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，動點(diǎn)E從A開始，以每秒2個(gè)單位的速度沿路徑A—B—C—D移動，動點(diǎn)F從點(diǎn)A開始，以每秒2個(gè)單位的速度沿路徑A—D移動，F(xiàn)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)D點(diǎn)后停下來不動，另一個(gè)動點(diǎn)繼續(xù)向終點(diǎn)D點(diǎn)移動，直至終點(diǎn)D才停下來，設(shè)點(diǎn)E移動的時(shí)間為x（單位：s），△AEF的面積記為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，點(diǎn)F在AD上，此時(shí)0＜x＜2時(shí)，此時(shí)y＝?（2x）2＝x2，由此可排除B，D；當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)y＝×4×＝4；當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)y＝×2×（12﹣x）＝﹣+12，此時(shí)函數(shù)圖象是一段一次函數(shù)圖象，由此可排除C，故選：A．9．（3分）過點(diǎn)A用尺規(guī)作出直線MN的垂線AD，如圖所示的作法中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【解答】解：圖①中，由圓周角定理可知，∠ADN＝90°，符合題意．圖②中，由作圖可知AD⊥MN，符合題意．圖③中，由作圖可知MN垂直平分線段AD，符合題意．圖④中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD⊥MN，符合題意，故選：D．10．（3分）已知a，b，c為正數(shù)，判斷與的關(guān)系是（）（提示：數(shù)形結(jié)合）A．≤ B．≥ C．＝ D．＜【解答】解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA＝a，BC＝b，BD＝c，連接AC，BD，AD，CD，如圖，∵AB⊥BC，∴AC＝＝．∵BP平分∠MBN，∴∠ABD＝∠CBD＝45°．由余弦定理得：AD＝＝，CD＝＝，∵AD+CD≥AC，∴≥．故選：B．二、填空題（每小題3分，共5小題，總共15分）11．（3分）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式為（3x+a）（x+b），其中a、b均為整數(shù)，則a+3b的值為﹣31．【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）＝（3x﹣7）（x﹣8），∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式為（3x+a）（x+b），∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），則a＝﹣7，b＝﹣8，故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）＝﹣31．故答案為：﹣31．12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以邊AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面積為25，正方形ACFG的面積為49，則正方形BDEC的面積是74．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，∵正方形ABIH的面積為25，正方形ACFG的面積為49，∴AB2＝25，AC2＝49，∴BC2＝AB2+AC2＝25+49＝74，∴正方形BDEC的面積為BC2＝74．故答案為：74．13．（3分）設(shè)7﹣的整數(shù)部分為h，小數(shù)部分為j，求得（2h+）j的值為4﹣21．【解答】解：∵25＜33＜36，∴5＜＜6，∴﹣6＜﹣＜﹣5，∴1＜7﹣＜2，∴7﹣的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為7﹣﹣1，∴h＝1，j＝6﹣，∴（2h+）j＝（2×1+）×（6﹣）＝（2+）×（6﹣）＝12﹣2+6﹣33＝4﹣21，故答案為：4﹣21．14．（3分）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD外部一點(diǎn)，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，則AC的取值范圍為﹣1≤AC＜2．【解答】解：如圖，連接BD交AC于O，連接PO，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，∵PO是△ACP的中線，也是△PBD的中線，∴PA2+PC2＝2（AO2+PO2），PB2+PD2＝2（PO2+OD2），∴PA2+PC2＝PB2+PD2，∴9+9＝1+PB2，∴PB＝，在△PBD中，﹣1≤BD≤+1，∴﹣1≤AC≤+1，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，CD＝＝＝2，∴AC＝＝＝2，故答案為：﹣1≤AC＜2．15．（3分）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是6≤AP＜8．【解答】解：如圖所示，過P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，則△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此時(shí)0＜AP＜8；如圖所示，過P作∠APF＝∠B交AB于F，則△APF∽△ABC，此時(shí)0＜AP≤8；如圖所示，過P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，則△CPG∽△CBA，此時(shí)，△CPG∽△CBA，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此時(shí)，6≤AP＜8；綜上所述，要有4種不同的剪法，使得過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似，則AP長的取值范圍是6≤AP＜8．故答案為：6≤AP＜8．三、解答題（本題總分55分，其中16題6分，17題6分，18題7分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）16．（6分）化簡求值：，其中，n＝5m．【解答】解：∵＝﹣??＝﹣，∴當(dāng)，n＝5m時(shí)，原式＝﹣＝﹣．17．（6分）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們對王老師黑板上的題很感興趣，他們答案都不同，且眾說紛紜．題目如下：化簡：①小浩說：當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，化簡結(jié)果為；②小特說：當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，化簡結(jié)果為；③小凌說：當(dāng)a＜0，b＞0，c＜0時(shí)，化簡結(jié)果為；④小斯說：當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，化簡結(jié)果為；（1）以上同學(xué)的說法正確的是①③④（雙選）；（2）請?jiān)谶@四個(gè)中任選兩個(gè)判斷其正確性．【解答】解：①當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，原式＝++＝++＝．故①正確．②當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，0，無意義，∴②錯誤．③當(dāng)a＜0，b＞0，c＜0時(shí)，原式＝++＝++＝＝．∴③正確．④當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，原式＝++＝+＝＝．∴①③④正確．故答案為：①③④．（2）選①②判斷如下：①當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，原式＝++＝++＝．故①正確．②當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，0，無意義，∴②錯誤．18．（7分）某校學(xué)生會為了解該校2860名學(xué)生喜歡球類活動的情況，采取抽樣調(diào)查的辦法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個(gè)方面調(diào)查了若干名學(xué)生的興趣愛好，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖（1），圖（2），要求每位同學(xué)只能選擇一種自己喜歡的球類；圖中用乒乓球、足球、排球、籃球代表喜歡這四種球類中的某一種球類的學(xué)生人數(shù)），請你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）在這次研究中，一共調(diào)查了100名學(xué)生．（2）喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占的圓心角是36度．（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布折線統(tǒng)計(jì)圖．（4）估計(jì)該校喜歡排球的學(xué)生有多少人？【解答】解：（1）一共調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：20÷20%＝100（名）；故答案為：100．（2）根據(jù)（1）得：喜歡籃球的人數(shù)是：100×40%＝40（名），則喜歡排球的人數(shù)是：100﹣30﹣20﹣40＝10（名），喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占的圓心角是×360°＝36°；故答案為：36．（3）足球的所占的百分比是：×100%＝30%，排球所占的百分比是：×100%＝10%，補(bǔ)圖如下：（4）根據(jù)題意得：2860×＝286（人），答：全校學(xué)生中最喜歡排球的學(xué)生約有286人．19．（8分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在BC上，連接AD交BE于點(diǎn)H，且∠DAB＝∠C，BH＝BD，過點(diǎn)H作HF∥BC交AC于點(diǎn)F，BG⊥AD交AC于點(diǎn)G．（1）求證：△ABD∽△CBA．（2）若AE＝6，EF＝2，求GF的長度．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DAB＝∠C，∠DBA＝∠ABC，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵△ABD∽△CBA，∴∠ADB＝∠CAB，∵BD＝BH，∴∠CAB＝∠ADB＝∠BHD＝∠EHA，∴△EHA∽△EAB，∴∠EAH＝∠EBA＝∠CBE，∴△EAH～DBH，∵HF∥BC，∴∠EHF＝∠EBC＝∠EAH，∴△FEH∽△FHA，∴，，∴FH＝＝4，∴EH＝?HA＝×6＝3，∵∠EBA＝∠EAH，∴△EAH∽△EBA，∴，∴EB＝＝12，∴BH＝EB﹣EH＝9，∴BD＝BH＝9，設(shè)BP與DH交于點(diǎn)M，∵HP∥BD，∴∠HPM＝∠DBM，∠PHM＝∠BDM，∴△HPM∽△DBM，∴，∵BD＝BH，BM⊥DH，∴BM平分HD，∴＝1，HP＝BD＝9，∴PF＝HP﹣HF＝4，過點(diǎn)H作HQ∥PG交EF于Q，∴∠QHF＝∠EPG＝∠PBD＝∠HBD＝∠EHF，∴HQ是△EHF內(nèi)角∠EHF的角平分線，∴存在，∴FQ＝?EF＝，在△PFG和△HFQ中，，∴△PFG≌△HFQ（ASA），∴GF＝FQ＝．20．（9分）某商店銷售一款口罩，每袋的進(jìn)價(jià)為12元，計(jì)劃售價(jià)大于12元但不超過20元，且售價(jià)為整數(shù)元．（1）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每袋18元時(shí)，日均銷售量為50袋，每袋售價(jià)每增加1元，日均銷售量減少5袋．售價(jià)定為每袋多少元時(shí)，所得日均毛利潤最大？最大日均毛利潤為多少元？（2）疫情期間，該商店分兩批共購進(jìn)2萬袋同款口罩，進(jìn)價(jià)不變．該商店將購進(jìn)的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“買一送一”的促銷活動，第二批口罩沒有做促銷活動，且這兩批的售價(jià)相同．若這2萬袋口罩全部售出后的總利潤率為20%，則每袋口罩的售價(jià)可能是多少元？（毛利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率＝毛利潤÷進(jìn)價(jià)）【解答】解：（1）設(shè)每袋口罩的銷售價(jià)格為x元，所得日均毛利潤為y元，由題意可得：y＝（x﹣12）[50﹣5（x﹣18）]＝﹣5x2+200x﹣1680＝﹣5（x﹣20）2+320＝﹣5（x﹣20）2+320，∵﹣5＜0，∴當(dāng)x＝20時(shí)，y有最大值320，∴當(dāng)銷售價(jià)格定為每袋20元時(shí)，所得日均毛利潤最大，最大日均毛利潤為320元；（2）由題意知這批口罩的利潤為：20000×12×20%＝48000（元），第一批口罩a袋，第二批口罩（20000﹣a）袋，設(shè)每袋口罩的售價(jià)為m元，則am+（20000﹣a）m﹣12×20000＝48000，∴m＝，∵8000≤a≤11200，∴18≤m≤20，∵m為整數(shù)，∴每袋口罩的價(jià)格可能為18元或19元或20元．21．（9分）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果＝，那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為．（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為（10）cm；（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時(shí)，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC＝20cm，∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．故答案為：（10﹣10）．（2）延長EA，CG交于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為正方形，∴DM∥BC，∴∠EMC＝∠BCG，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，∴∠EMC＝∠ECM，∴EM＝EC，∵DE＝10，DC＝20，∴EC＝＝＝10，∴EM＝10，∴DM＝10+10，∴tan∠DMC＝＝．∴tan∠BCG＝，即，∵AB＝BC，∴，∴G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）當(dāng)BP＝BC時(shí)，滿足題意．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，∵BE⊥CF，∴∠ABE+∠CFB＝90°，又∵∠BCF+∠BFC＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE，∵AD∥CP，∴△AEF∽△BPF，∴，當(dāng)E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，∵AE＞DE，∴，∵BF＝AE，AB＝BC，∴，∴，∴BP＝BC．22．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a﹣1不為整數(shù)）的頂點(diǎn)D（，），AB⊥BC．（1）直接得出拋物線解析式．（2）如圖1所示，點(diǎn)P為拋物線一動點(diǎn)，∠PBC＝3∠ABO，求xP；（3）如圖2，延長DB交x軸于點(diǎn)E，EF平分∠BEO，交線段AB于點(diǎn)F．x軸正半軸有一點(diǎn)S，且AS＝12EF．過點(diǎn)F作FG∥x軸，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)G．該對稱軸交x軸于點(diǎn)H．過點(diǎn)G作線段IM、NQ，且NH＝MH＝IH＝QH．線段IQ交直線FG于點(diǎn)R，若線段MN恰好交FG于點(diǎn)F．那么請求出R點(diǎn)坐標(biāo)．并試問∠EFA與∠RSE是否存在倍數(shù)關(guān)系？若存在，請分別求出它們的角度大小并寫出存在的倍數(shù)關(guān)系；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)A（x1，0），C（x2，0）由題意，a≠0，其中x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（，），可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y+a（x﹣）2+，即y+ax2﹣3ax+，∴與拋物線的一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c對比，得，當(dāng)x＝0時(shí)，相應(yīng)的拋物線的函數(shù)值為c，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，C），∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠OBA+∠OBC＝90°，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OAB＝∠OBC，∵∠AOB＝∠BOC，∴△OAB∽△OBC，∴∠ABO＝∠BCO，＝，∴OA2＝OB?OC，如圖1中，點(diǎn)A（x1，0）在y軸左側(cè)，點(diǎn)C（x2，0）在y軸右側(cè)，點(diǎn)B（0，c）在y軸正半軸，∴OA＝﹣x1，OB＝OC＝，OC＝x2，其中c＞0，即＞0，∴a＞﹣，將以上數(shù)值代入到OB2＝OA?OC中，得c2＝﹣x1x2，又x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，∴x1x2＝，∴c2＝﹣，∴ac＝﹣1，∴a?＝﹣1，∴a＝﹣或﹣，∵a﹣1不為整數(shù)，而（﹣）﹣1＝﹣2為整數(shù)，∴a＝﹣舍去，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+；（2）如圖1中，∵在第（1）問中已證∠ABO＝∠BCO，∴條件變?yōu)椤螾BC＝3∠BCO，在第（1）問中已求出拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，∴x1，x2是方程﹣x2+x+＝0的兩根，∴x1＝﹣，x2＝，∴A（﹣，0），B（0，），C（，0），滿足∠PBC＝3∠BCO的拋物線上的動點(diǎn)P一共有兩種情形：第一種，如下圖所示，連接BC，作線段BC的垂直平分線交x軸于B1點(diǎn)，連接BB1，再作線段BB1的垂直平分線交x軸于B2點(diǎn)，連接BB2，∴BB1＝B1C，BB2＝B2B1，∴∠BCB1＝∠B1BC，∠BB1B2＝∠B2BB1，∵∠BB1B2＝∠BCB1+∠B1BC＝2∠BCB1，即∠BB1O＝2∠BCO，∴∠B2B1C＝∠B2BB1+∠B1BC＝∠BB1B2+∠BCB1＝2∠BCB1+∠BCB1＝3∠BCB1，又點(diǎn)B1，O都在x軸上，∠BCB1＝∠BCO，∴∠B2BC＝3∠BCO，∴點(diǎn)P只需為直BB2與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即可，此時(shí)∠PBC＝∠B2BC＝3∠BCO，符合題目要求，如下圖所示；所以只需求出點(diǎn)B2的坐標(biāo)，再得出直BB2的解析式，最后得出點(diǎn)P橫坐標(biāo)∵∠BOC＝∠BOB1＝∠BOB2＝90°，B（0，），C（），BB1＝B1C，∴OB＝，OC＝，OB1＝OC﹣B1C＝﹣BB1，在Rt△BOB1中，（BB1）2＝OB2+OB12＝（）2+（﹣BB1）2，∴BB1＝，∴B1C＝BB1＝，OB1＝﹣BB1＝，∴OB2＝OB1﹣B2B1＝﹣BB2，在Rt△BOB2中，B2B2＝OB2+B2O2＝（）2+（﹣B2B）2，∴B2B＝，∴B2B2＝BB2＝，OB2＝﹣BB2＝，∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線BB2的解析式為y＝kx+t1，∴，解方程組得，直線BB2的解析式為y＝﹣x+，由，解得x＝0或，∴滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．第二種，如圖1，過點(diǎn)B作關(guān)于拋物線對稱軸對稱的