橫觀各向同性壓電懸臂梁的彎曲問(wèn)題解析解

橫觀各向同性壓電懸臂梁的彎曲問(wèn)題解析解

電壓材料是一種功能材料，具有良好的力-電轉(zhuǎn)換特性。廣泛應(yīng)用于測(cè)量、控制、智能結(jié)構(gòu)、信息服務(wù)等領(lǐng)域。掌握在力、電、磁、光、聲或溫度等載荷作用下壓電材料結(jié)構(gòu)的特性,對(duì)其在感測(cè)和控制等方面的成功應(yīng)用非常重要。由于壓電材料多為各向異性材料,加之壓電材料結(jié)構(gòu)的力電耦合效應(yīng),導(dǎo)致用解析的方法分析該類問(wèn)題相當(dāng)困難。目前的成果多為對(duì)壓電材料結(jié)構(gòu)基本解的研究,如文[1～5]最先給出了壓電結(jié)構(gòu)平面問(wèn)題、軸對(duì)稱以及三維問(wèn)題基本解的解析表達(dá)式,但應(yīng)用起來(lái)相當(dāng)繁瑣。文給出了壓電簡(jiǎn)支梁和簡(jiǎn)支板彎曲問(wèn)題的解析解,然而對(duì)其它一些壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu)的基本理論研究得還不充分,這一現(xiàn)狀對(duì)壓電材料的應(yīng)用是不完善的。本文探索采用彈性力學(xué)理論中的逆解法,推導(dǎo)出壓電材料懸臂梁在外力荷載作用下的彎曲問(wèn)題的多項(xiàng)式解析解。所得結(jié)果豐富了壓電結(jié)構(gòu)分析理論,對(duì)數(shù)值解法的研究與驗(yàn)證也有參考價(jià)值。1懸臂梁應(yīng)力函數(shù)的建立本文考慮由壓電陶瓷和壓電薄膜這類橫觀各向同性的壓電材料組成的結(jié)構(gòu)。設(shè)壓電材料沿z軸正向極化,在x-y平面內(nèi)呈各向同性,在x-z面內(nèi)呈正交各向異性。若所考慮的三維彈性壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu)在y軸方向的尺寸較其它兩個(gè)軸方向的尺寸小得多,全部載荷作用于x-z平面內(nèi)且不沿y軸方向變化,亦不計(jì)電勢(shì)沿y方向的變化,此時(shí)該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為x-z平面內(nèi)的平面應(yīng)力問(wèn)題。若所考慮的三維彈性壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu),其y軸方向尺寸較其它兩個(gè)軸方向的尺寸大得多,全部載荷作用于x-z平面內(nèi)且不沿y軸變化,電勢(shì)分布亦與y方向無(wú)關(guān),則此時(shí)該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為x-z平面內(nèi)的平面應(yīng)變問(wèn)題。設(shè)圖1所示的壓電懸臂梁長(zhǎng)l、高h(yuǎn)、厚b,其厚度遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度及高度,自由端受x-z平面內(nèi)的集中力作用;假定體力不計(jì),梁上下(z=h/2)表面無(wú)自由電荷,下表面(z=h/2)接地。根據(jù)該結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),這一問(wèn)題可作為平面內(nèi)的平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行處理。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題,σy=0,τyz=τxy=0,,將其代入三維壓電材料物理方程可得:γxy=γyz=0,Dy=0,εy=s12σx+s13σz+d31Ez。相應(yīng)簡(jiǎn)化的物理方程為采用類似的方法亦可推導(dǎo)出壓電介質(zhì)平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程簡(jiǎn)單表達(dá)形式,這里不再贅述。壓電懸臂梁的其它控制方程為力學(xué)平衡:電學(xué)平衡:線性小變形下幾何方程為力學(xué)幾何方程:電學(xué)幾何方程:協(xié)調(diào)方程為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程:電場(chǎng)強(qiáng)度協(xié)調(diào)方程:線彈性壓電介質(zhì)平面應(yīng)力問(wèn)題的逆解法由力學(xué)平衡方程(3)可知,必存在一應(yīng)力函數(shù)F(x,z),使得且滿足力學(xué)平衡方程(3)。同理可知必存在一電勢(shì)函數(shù)φ(x,z),使得電場(chǎng)強(qiáng)度滿足電學(xué)平衡方程(6)和電場(chǎng)協(xié)調(diào)方程(8)。將σx,σz,τzx,Ex及Ez的表達(dá)式(9)和(6)代入物理方程(2)得將方程(10)代入電學(xué)平衡方程(4)得將σx,σz,τzx,Ex及Ez的表達(dá)式(9)和(6)代入物理方程(1)得將方程(12)代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(7)得方程(11)和(13)即是用應(yīng)力函數(shù)F(x,z)與電勢(shì)函數(shù)φ(x,z)表達(dá)的壓電介質(zhì)平面應(yīng)力問(wèn)題的電學(xué)平衡方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。由方程(11)可解得上式代入方程(13)整理得對(duì)方程(15)積分后即可得電勢(shì)函數(shù)φ(x,z)。由正交各向異性材料懸臂梁自由端受集中力時(shí)應(yīng)力場(chǎng)分布結(jié)果,再依據(jù)壓電懸臂梁的力-電耦合特性,同時(shí)考慮到在電學(xué)開路情況下,梁變形后產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力影響較小,可假設(shè)對(duì)方程(17)的第一式積分,得應(yīng)力函數(shù)為f0(z),f2(x),f3(x)分別為z,x的任意函數(shù)。將式(18)代入方程(17)的第三式,相應(yīng)可得則有A=-2D,,可得f2(x)=Cx+B,f1(z)=-Cz+E。將式(18)代入方程(17)的第二式,相應(yīng)可得可知f3(x)為x的線性項(xiàng)。故應(yīng)力函數(shù)的形式化為式中省略了對(duì)應(yīng)力無(wú)影響的常數(shù)項(xiàng)與線性項(xiàng)。將式(21)代入方程(15),得令,對(duì)上式積分得式中f0(z),g1(x),g2(x),g3(x)均為待定函數(shù)。將式(21)、(23)代入電學(xué)平衡方程(11)得因?yàn)榉匠?24)對(duì)任意的x,z均成立,可得f0(z),g1(x),g2(x),g3(x)函數(shù)的表達(dá)式:由,,得g1(x)=a1x+b1,g2(x)=a2x+b2,因此壓電懸臂梁應(yīng)力函數(shù)F(x,z)及電勢(shì)φ(x,z)的一般表達(dá)式為將應(yīng)力函數(shù)F(x,z)及電勢(shì)φ(x,z)代入方程(6)、(9)可得電場(chǎng)強(qiáng)度和應(yīng)力的分布。再代入方程(5),積分可得壓電體的位移表達(dá)式。欲確定各函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù),可根據(jù)相應(yīng)的邊界條件。本文壓電懸臂梁應(yīng)力邊界條件滿足:由,根據(jù)應(yīng)力邊界條件解得:由,根據(jù)應(yīng)力邊界條件解得:,所以f0(z)=a0z+b0。根據(jù)f0(z)為線性函數(shù)這一特點(diǎn),它對(duì)應(yīng)力無(wú)影響,故重新考慮應(yīng)力函數(shù)的形式為:本文壓電懸臂梁的電學(xué)邊界條件為::Dz=0;:φ=0。為保證方程(24)對(duì)任意的x,z恒成立,有解得回代入上面各系數(shù)關(guān)系式,所以a2=0,b2=0,g3(x)=將應(yīng)力函數(shù)與電勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式(27)、(28)分別回代方程(14)和(15),可知是滿足的。則壓電懸臂梁自由端受集中力時(shí)應(yīng)力場(chǎng)為電場(chǎng)強(qiáng)度為:電位移場(chǎng)為:由物理方程(1)解得結(jié)構(gòu)應(yīng)變?yōu)橛蓭缀畏匠?5),對(duì)其第一式和第二式積分得:這里ρ(x),β(z)為任意函數(shù)。將(33)式代入幾何方程(5)中的第三式,并移項(xiàng)整理得要使上式恒成立,只有這里k1,k2均為常數(shù),它們滿足將方程(35)積分得這里k2,k4均為常數(shù)。將ρ(x),β(z)代入方程(33),根據(jù)位移邊界條件:x=l,z=0:u=w=0,,確定出:解之得故位移分量當(dāng)z=0時(shí),即得壓電懸臂梁軸線的撓度方程壓電懸臂梁自由端的撓度為這和常規(guī)各向同性材料懸臂梁的結(jié)果不一致,多出了一個(gè)壓電修正項(xiàng)。