四年級(jí)奧數(shù)輔導(dǎo)資料

四年級(jí)奧數(shù)輔導(dǎo)資料四年級(jí)奧數(shù)輔導(dǎo)資料四年級(jí)奧數(shù)輔導(dǎo)資料V:1.0精細(xì)整理，僅供參考四年級(jí)奧數(shù)輔導(dǎo)資料日期：20xx年X月第一講：找規(guī)律1．知識(shí)要點(diǎn)：觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．?dāng)?shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。1．例題：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（），16，19分析：在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3，即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或16－3=132．例2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，2，4，7，（），16，22分析：在這列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號(hào)里的數(shù)少4，括號(hào)里應(yīng)填：7+4=11。3．例3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（），（），11，12分析：在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上2的和是第四個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)……依此規(guī)律，8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=104．例4：在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？分析：經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：

8+13=21或34－13=215．例5：下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）分析：經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)相加的和都是12。根據(jù)這一規(guī)律，□里所填的數(shù)應(yīng)為：12－9=3模仿訓(xùn)練:1.先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，32.先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（），31（2）1，4，9，16，25，（），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（），（）（4）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8（5）81，64，49，36，（），16，（），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（），（），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（），（），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（），（），13，141．知識(shí)要點(diǎn)：觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．?dāng)?shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。3.先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（），（）（2）13，2，15，4，17，6，（），（）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（），（）（5）32，20，29，18，26，16，（），（），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，2，4，6，10，16，（），（）（2）34，21，13，8，5，（），2，（）（3）0，1，3，8，21，（），144（4）3，7，15，31，63，（），（）（5）33，17，9，5，3，（）（5）33，17，9，5，3，（）（6）0，1，4，15，56，（）（7）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78（8）0，1，2，4，7，12，20，（）下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（6，9）（7，8）（10，5）（□，4）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）第二講：等差數(shù)列求和1．知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列：若干個(gè)數(shù)排成一列，稱為數(shù)列。等差數(shù)列：從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列。首項(xiàng)與末項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。項(xiàng)數(shù)：數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。公差：后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。例如：等差數(shù)列：3、6、9……96，這是一個(gè)首項(xiàng)為3，末項(xiàng)為96，項(xiàng)數(shù)為32，公差為3的數(shù)列。2．計(jì)算等差數(shù)列的相關(guān)公式：通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)－1）×公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1求和公式：總和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2平均數(shù)公式：平均數(shù)＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）÷21．例題：總和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2（1）1＋2＋3＋4＋…＋49＋50（2）2＋4＋6＋8＋…＋1002．例題：項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1（1）已知數(shù)列2、5、8、11、14……，47應(yīng)該是其中的第幾項(xiàng)？

（2）3＋6＋9＋12＋…＋33＋363．例題：第n項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)－1）×公差（1）已知數(shù)列2、5、8、11、14……，第21項(xiàng)是多少

（2）劇院有31排座位，第一排有35個(gè)座位，以后每排都比前一排多一個(gè)座位，最后一排有幾個(gè)座位？4．例題：平均數(shù)＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）÷2有五個(gè)連續(xù)的偶數(shù)：4、6、8、10、12，他們的平均數(shù)是多少？（2）已知5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是75，求這五個(gè)數(shù)分別是幾？5.模仿練習(xí)（1）1＋2＋3＋…＋99＋100（2）1＋3＋5＋7＋…＋99已知數(shù)列1、4、7、10、13……，298應(yīng)該是其中的第幾項(xiàng)？

（4）6＋10＋14＋…＋398＋402（5）21＋23＋23＋…＋197＋199（6）已知數(shù)列3、6、9、12、15……第51項(xiàng)是多少？

（7）麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)會(huì)1個(gè)，那么第11天學(xué)會(huì)了學(xué)會(huì)了多少個(gè)單詞？

（8）5個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是200，那么這10個(gè)數(shù)分別是多少？（9）有一列數(shù)：13、16、19、22、……307，這些數(shù)的平均數(shù)是多少？

第三講：速算與巧算1．運(yùn)算定律與性質(zhì)：（1）加減法運(yùn)算定律：a+b-c=a-c+b(a+b)+c=a+(b+c)a-b-c=a-（b+c）（2）乘除法運(yùn)算定律：a×b×c=a×（b×c）a×（b+c）=a×b+a×ca÷b÷c=a÷（b×c）a×b÷c=a÷c×b（a×b）÷c=a÷c×b（a+b）÷c=a÷c+b÷c（3）去、添括號(hào)的性質(zhì)：-（），÷（）去掉括號(hào)或添上括號(hào)要變號(hào)；+（），×（）去掉或添上括號(hào)不變號(hào)。（4）利用商不變的性質(zhì)使計(jì)算簡(jiǎn)單。1．例題：a+b-c=a-c+b（1）843＋78-43（2）843-86＋1572．例題：a-b-c=a-（b+c）；去、添括號(hào)的性質(zhì)（1）528-（186＋328）（2）564-（387-136）3．例題：a×b×c=a×（b×c）；a÷b÷c=a÷（b×c）（1）25×32×125（2）75000÷125÷85．例題：（a×b）÷c=a÷c×b；a×（b+c）=a×b+a×c（1）56×165÷7÷11（2）44×256．例題：a×（b+c）=a×b+a×c利用商不變的性質(zhì)（1）72×53+72×47（2）2400÷251．運(yùn)算定律與性質(zhì)：（1）加減法運(yùn)算定律：a+b-c=a-c+b(a+b)+c=a+(b+c)a-b-c=a-（b+c）（2）乘除法運(yùn)算定律：a×b×c=a×（b×c）a×（b+c）=a×b+a×ca÷b÷c=a÷（b×c）a×b÷c=a÷c×b（a×b）÷c=a÷c×b（a+b）÷c=a÷c+b÷c（3）去、添括號(hào)的性質(zhì)：-（），÷（）去掉括號(hào)或添上括號(hào)要變號(hào)；+（），×（）去掉或添上括號(hào)不變號(hào)。（4）利用商不變的性質(zhì)使計(jì)算簡(jiǎn)單。5．模仿訓(xùn)練（1）329＋46-129（2）647-86＋153（3）528-186-314（4）728-（347-172）（5）25×64×125×5（6）3600÷25÷4（7）8÷7+9÷7+11÷7（8）88×125（9）75×27+19×25（10）9000÷125（11）20112011×2010-2011×20102010第四講：錯(cuò)中求解1．知識(shí)要點(diǎn)：（1）和的變化規(guī)律：如果一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，那么它們和也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。（2）差的變化規(guī)律：如果減數(shù)不變，被減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，那么它們的差也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。如果被減數(shù)不變，減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，那么它們的差反而減少（或增加）同一個(gè)數(shù)。（3）多加要減，少加再加；多減要加，少減再減。1．例題：【多加要減，少加再加】（1）小明在做一道加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位的2看作了4，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的7看作9，結(jié)果計(jì)算的和為25，正確的和為多少？（2）小華在計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，把第1個(gè)加數(shù)百位上的7錯(cuò)寫成1，把第2個(gè)加數(shù)十位上的6錯(cuò)寫成9，這樣算得的和是443，正確的和應(yīng)是多少？2．例題：【多減要加，少減再減】（1）小馬虎在做一道減法題時(shí)，把減數(shù)十位上的2看作5，結(jié)果得到的差是342，正確的差是多少？,（2）在減法算式中，錯(cuò)把減數(shù)百位上的5看成3，十位上的1看成7，結(jié)果得到的差是254，正確的差是多少？3．例題：（1）小馬虎在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)百位上的6看成4，結(jié)果得到的差是212，正確的差是多少？（2）小馬虎在做減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的3寫成8，個(gè)位上的2寫成了5，結(jié)果得到的差是284，正確的差是多少？

4．例題：（1）小馬虎在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的4看成6，把減數(shù)十位上的2看作5，結(jié)果得到的差是52，正確的差是多少？

（2）小聰在計(jì)算一道減法題時(shí)，把被減數(shù)5023錯(cuò)寫成5032，把減數(shù)千位上的3錯(cuò)寫成2，十位上的5錯(cuò)寫成8，這樣得到的差是2352。正確的差應(yīng)是多少？

1．知識(shí)要點(diǎn)：（1）和的變化規(guī)律：如果一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，那么它們和也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。（2）差的變化規(guī)律：如果減數(shù)不變，被減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，那么它們的差也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。如果被減數(shù)不變，減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，那么它們的差反而減少（或增加）同一個(gè)數(shù)。（3）多加要減，少加再加；多減要加，少減再減。5．模仿訓(xùn)練（1）小明在做一道加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位的5看作了8，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的4看作6，結(jié)果計(jì)算的和為25，正確的和為多少？

小華在計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，把第1個(gè)加數(shù)百位上的5錯(cuò)寫成2，把第2個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)寫成8，這樣算得的和是444，正確的和應(yīng)是多少？（3）小馬虎在做一道減法題時(shí)，把減數(shù)十位上的2看作5，結(jié)果得到的差是342，正確的差是多少？（4）在減法算式中，錯(cuò)把減數(shù)百位上的6看成4，十位上的3看成8，結(jié)果得到的差是564，正確的差是多少？（5）小馬虎在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)百位上的8看成3，結(jié)果得到的差是212，正確的差是多少？（6）小馬虎在做減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的5寫成8，個(gè)位上的4寫成了7，結(jié)果得到的差是284，正確的差是多少？（7）小馬虎在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的3看成8，把減數(shù)十位上的4看作7，結(jié)果得到的差是252，正確的差是多少？（8）小聰在計(jì)算一道減法題時(shí)，把被減數(shù)3046錯(cuò)寫成3064，把減數(shù)千位上的2錯(cuò)寫成1，十位上的4錯(cuò)寫成7，這樣得到的差是3360。正確的差應(yīng)是多少？第五講：定義新運(yùn)算新運(yùn)算，顯然是與舊運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，舊運(yùn)算又是什么呢？同學(xué)們可以思考一下，就運(yùn)算就是學(xué)校里的四則運(yùn)算“加減乘除”，對(duì)于這些運(yùn)算，同學(xué)們應(yīng)該很熟悉。前面課程里，我們也講到了很多舊的運(yùn)算，今天我們要講的就是新運(yùn)算，既然是新運(yùn)算，就是不同于以前的運(yùn)算，為了不讓同學(xué)們混淆了，所以就需要我們定義一下。那么怎么樣定義呢？同學(xué)們可以與生活中結(jié)合起來，公共場(chǎng)所都有標(biāo)志，這些標(biāo)志都是我們?nèi)藶槎x的，新運(yùn)算也是如此，關(guān)鍵點(diǎn)就是看如何定義的。同時(shí)想提醒同學(xué)們注意，一個(gè)符號(hào)在一個(gè)問題里被定義了，不代表在所有題目里都是同一個(gè)意思，要結(jié)合題目的實(shí)際情況。1．例題：（1）設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a△b=a×3－b×2。試計(jì)算：（1）5△6；（2）6△5。（2）設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a○b=6×a－2×b。試計(jì)算3○42．例題（1）對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a⊕b=a×b＋a＋b，試計(jì)算6⊕2。（2）對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計(jì)算3⊕5。3．例題（1）如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規(guī)律計(jì)算3△5。（2）如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，計(jì)算：3▽3。4．例題：（1）對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x（2）如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x5．模仿訓(xùn)練（1）設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計(jì)算：（5*6）*7（2）有兩個(gè)整數(shù)是A、B，A▽B表示A與B的平均數(shù)。已知A▽6=17，求A。（3）對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。（4）對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b=a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。（5）如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計(jì)算8▽4。（6）如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。（7）對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。（8）如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規(guī)律計(jì)算5！。第六講：平均數(shù)問題我們經(jīng)常用各科成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)來比較班級(jí)之間，同學(xué)之間成績(jī)的高低，求出各科成績(jī)的平均數(shù)就是求平均數(shù)。平均數(shù)在日常生活中和工作中應(yīng)用很廣泛，例如，求平均身高問題，求某天的平均氣溫等。求平均數(shù)問題的基本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)解答平均數(shù)問題的關(guān)鍵是要確定“總數(shù)量”以及與“總數(shù)量”相對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”，然后用總數(shù)量除以總份數(shù)求出平均數(shù)。1．例題1：二（1）班學(xué)生分三組植樹，第一組有8人，共植樹80棵；第二組有6人，共植樹66棵；第三組有6人，共植樹54棵。平均每人植樹多少棵？2．例題2：王老師為四年級(jí)羽毛球隊(duì)的同學(xué)測(cè)量身高。其中兩個(gè)同學(xué)身高153厘米，一個(gè)同學(xué)身高152厘米，有兩個(gè)同學(xué)身高149厘米，還有兩個(gè)同學(xué)身高147厘米。求四年級(jí)羽毛球隊(duì)同學(xué)的平均身高。3．例3：從山頂?shù)缴侥_的路長(zhǎng)36千米，一輛汽車上山，需要4小時(shí)到達(dá)山頂，下山沿原路返回，只用2小時(shí)到達(dá)山腳。求這輛汽車往返的平均速度。4．例4：李華參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試，五項(xiàng)平均成績(jī)是85分，如果投擲成績(jī)不算在內(nèi)，平均成績(jī)是83分。李華投擲得了多少他？．5．例5：如果四個(gè)人的平均年齡是23歲，四個(gè)人中沒有小于18歲的。那么年齡最大的人可能是多少歲？

6．模仿訓(xùn)練（1）電視機(jī)廠四月份前10天共生產(chǎn)電視機(jī)3300臺(tái)，后20天共生產(chǎn)電視機(jī)6300臺(tái)。這個(gè)月平均每天生產(chǎn)電視機(jī)多少臺(tái)？

（2）小明參加數(shù)學(xué)考試，前兩次的平均分是85分，后三次的總分是270分。求小明這五次考試的平均分?jǐn)?shù)是多少。（3）五（1）班有7個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中有兩個(gè)同學(xué)得了99分，還有三個(gè)同學(xué)得了96分，另外兩個(gè)同學(xué)分別得了97、89分。這7個(gè)同學(xué)的平均成績(jī)是多少？

（4）氣象小組每天早上8點(diǎn)測(cè)得的一周氣溫如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。求一周的平均氣溫。（5）小強(qiáng)家離學(xué)校有1200米，早上上學(xué)，他家到學(xué)校用了15分鐘，從學(xué)校到家用了10分鐘。求小強(qiáng)往返的平均速度。（6）李大伯上山采藥，上山時(shí)他每分鐘走50米，18分鐘到達(dá)山頂；下山時(shí)，他沿原路返回，每分鐘走75米。求李大伯上下山的平均速度。（7）小軍參加了3次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，平均分是84分。已知前兩次平均分是82分，他第三次得了多少分？

（8）小麗在期末考試時(shí)，數(shù)學(xué)成績(jī)公布前她四門功課的平均分?jǐn)?shù)是92分；數(shù)學(xué)成績(jī)公布后，她的平均成績(jī)下降了1分。小麗的數(shù)學(xué)考了多少分？

（9）如果三個(gè)人的平均年齡是22歲，且沒有小于18歲的，那么三個(gè)人中年齡最大的可能是多少歲？

（10）如果四個(gè)人的平均年齡是28歲，且沒有大于30歲的。那么最小的人的年齡可能是多少歲？

第七講：還原問題知識(shí)要點(diǎn)：一個(gè)數(shù)量經(jīng)過若干次變化成了另一個(gè)結(jié)果，我們從結(jié)果出發(fā)，根據(jù)每一次變化情況，一步一步地倒著想，把結(jié)果還原成開始狀態(tài)，這類問題叫做還原問題，又叫逆運(yùn)算問題。對(duì)于簡(jiǎn)單的每一次變化不太復(fù)雜的還原問題，可以直接列式一步步倒著推算，對(duì)于變化復(fù)雜的，可借助列表和畫圖來幫助解決問題。1．例題1：小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小9倍，再加上2之后，擴(kuò)大10倍，恰好是100歲。小剛的奶奶今年多少歲？2．例題2：某商場(chǎng)出售洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10臺(tái)，下午售出剩下的一半多20臺(tái)，還剩95臺(tái)。這個(gè)商場(chǎng)原來有洗衣機(jī)多少臺(tái)？3．例3：小明、小強(qiáng)和小勇三個(gè)人共有故事書60本。如果小強(qiáng)向小明借3本后，又借給小勇5本，結(jié)果三個(gè)人有的故事書的本數(shù)正好相等。這三個(gè)人原來各有故事書多少本？4．例4：甲乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再?gòu)囊彝暗钩龊图淄巴瑯佣嗟挠头湃爰淄?，這時(shí)兩桶油恰好都是36千克。問兩桶油原來各有多少千克？5．例5：兩只猴子拿26個(gè)桃，甲猴眼急手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個(gè)，這時(shí)乙猴比甲猴多5個(gè)。問甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？6．模仿訓(xùn)練（1）在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。20×□÷8＋16=26（2）小紅問王老師今年多大年紀(jì)，王老師說：“把我的年紀(jì)加上9，除以4，減去2，再乘上3，恰好是30歲?！蓖趵蠋熃衲甓嗌贇q？

知識(shí)要點(diǎn)：一個(gè)數(shù)量經(jīng)過若干次變化成了另一個(gè)結(jié)果，我們從結(jié)果出發(fā)，根據(jù)每一次變化情況，一步一步地倒著想，把結(jié)果還原成開始狀態(tài)，這類問題叫做還原問題，又叫逆運(yùn)算問題。對(duì)于簡(jiǎn)單的每一次變化不太復(fù)雜的還原問題，可以直接列式一步步倒著推算，對(duì)于變化復(fù)雜的，可借助列表和畫圖來幫助解決問題。（3）糧庫(kù)內(nèi)有一批大米，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半多5噸，還剩下4噸。糧庫(kù)原有大米多少噸？

（4）爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個(gè)，第二天吃了剩下的一半多1個(gè)，第三天又吃掉了剩下的一半多1個(gè)，還剩下1個(gè)。爸爸買了多少個(gè)橘子？（5）甲、乙、丙三個(gè)小朋友共有賀年卡90張。如果甲給乙3張后，乙又送給丙5張，那么三個(gè)人的賀年卡張數(shù)剛好相同。問三人原來各有賀年卡多少?gòu)垼?/p>

（6）小紅、小麗、小敏三個(gè)人各有年歷片若干張。如果小紅給小麗13張，小麗給小敏23張，小敏給小紅3張，那么他們每人各有40張。原來三個(gè)人各有年歷片多少?gòu)垼?/p>

（7）王亮和李強(qiáng)各有畫片若干張，如果王亮拿出和李強(qiáng)同樣多的畫片送給李強(qiáng)，李強(qiáng)再拿出和王亮同樣多的畫片給王亮，這時(shí)兩個(gè)人都有24張。問王亮和李強(qiáng)原來各有畫片多少?gòu)垼?/p>

（8）甲、乙、丙三個(gè)小朋友各有玻璃球若干個(gè)，如果甲按乙現(xiàn)有的玻璃球個(gè)數(shù)給乙，再按丙現(xiàn)有的個(gè)數(shù)給丙之后，乙也按甲、丙現(xiàn)有的個(gè)數(shù)分別給甲、丙。最后，丙也按同樣的方法給甲、乙，這時(shí)，他們?nèi)齻€(gè)人都有32個(gè)玻璃球。原來每人各有多少個(gè)？

（9）學(xué)校運(yùn)來36棵樹苗，小強(qiáng)和小萍兩人爭(zhēng)著去栽。小強(qiáng)先拿了樹苗若干棵，小萍看到小強(qiáng)拿太多了就搶了10棵，小強(qiáng)不肯，又從小萍那里搶了6棵，這時(shí)小強(qiáng)拿的棵數(shù)是小萍的2倍。問最初小強(qiáng)準(zhǔn)備拿多少棵？

（10）李輝和張新各搬60本圖書，李輝搶先拿了若干本，張新看李輝拿了太多，就搶了一半；李輝不肯，張新就給了他10本。這時(shí)李輝比張新多4本。問最初李輝拿了多少本？

第八講：和差問題知識(shí)要點(diǎn)：已知大小兩個(gè)數(shù)的和及它們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類問題我們稱為和差問題。掌握了和差問題的特征和規(guī)律，我們解答起來就很方便了。解答和差問題通常用假設(shè)法，同時(shí)結(jié)合線段圖進(jìn)行分析?？梢约僭O(shè)小數(shù)增加到與大數(shù)同樣多，先求大數(shù)，再求小數(shù)；也可以假設(shè)大數(shù)減少到與小數(shù)同樣多，先求小數(shù)，再求大數(shù)。用數(shù)量關(guān)系表示：（和＋差）÷2=大數(shù)（和－差）÷2=小數(shù)1．例題1：期中考試王平和李楊語(yǔ)文成績(jī)的總和是188分，李楊比王平少4分。兩人各考了多少分？2．例題2：某機(jī)床廠第一、二兩個(gè)車間共有車床96部，如果第一車間撥給第二車間8部，那么兩個(gè)車間車床數(shù)相等。兩個(gè)車間各有車床多少部？

3．例3：哥弟倆共有郵票70張，如果哥哥給弟弟4張郵票，這時(shí)哥哥還比弟弟多2張。哥哥和弟弟原來各有郵票多少?gòu)垼?/p>

4．例4：把一條100米長(zhǎng)的繩子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段繩子各長(zhǎng)多少米？

例5：四個(gè)人年齡之和是88歲，最小的3歲，他與最大的年齡之和比另外兩個(gè)人年齡之和大8歲。最大的年齡是多少歲？

6．模仿訓(xùn)練（1）兩筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。兩筐水果各重多少千克？

（2）小寧與小慧的身高總和是264厘米，又已知小寧比小慧矮8厘米。兩人分別高多少厘米？

知識(shí)要點(diǎn)：已知大小兩個(gè)數(shù)的和及它們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類問題我們稱為和差問題。掌握了和差問題的特征和規(guī)律，我們解答起來就很方便了。解答和差問題通常用假設(shè)法，同時(shí)結(jié)合線段圖進(jìn)行分析?？梢约僭O(shè)小數(shù)增加到與大數(shù)同樣多，先求大數(shù)，再求小數(shù)；也可以假設(shè)大數(shù)減少到與小數(shù)同樣多，先求小數(shù)，再求大數(shù)。用數(shù)量關(guān)系表示：（和＋差）÷2=大數(shù)（和－差）÷2=小數(shù)紅星小學(xué)一年級(jí)新108人，分成甲、乙兩個(gè)班。如果從甲班轉(zhuǎn)3個(gè)學(xué)生到乙班去，兩班學(xué)生就一樣多。甲、乙兩班各有學(xué)生多少人？（4）甲、乙兩筐共有水果80千克，若從甲箱取出6千克放到乙箱中，這時(shí)兩箱水果同樣多。兩箱原來各有水果多少千克？

（5）一只兩層書架共放書72本，若從上層中拿出9本給下層，上層比下層多4本。上、下層各放書多少本？

（6）姐姐和妹妹共有糖果39塊，如果姐姐給妹妹7塊，就比妹妹少3塊。那么姐姐和妹妹原來各有糖果多少塊？

（7）某工廠第一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人。三個(gè)車間各有工人多少人？

（8）某工廠將857元獎(jiǎng)金分給有創(chuàng)造發(fā)明的三名優(yōu)秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名優(yōu)秀工人各得多少元？

（9）小軍一家四口年齡之和是129歲，小軍7歲，媽媽30歲，小軍與爺爺年齡這和比他父母年齡之和大5歲。爺爺和爸爸的年齡各是多少歲？

（10）某校四個(gè)年齡共有438名學(xué)生，其中一年級(jí)119人，四年級(jí)101人，一、二年級(jí)的總?cè)藬?shù)比三、四年級(jí)的總?cè)藬?shù)多52人。二、三年級(jí)各有多少人？

第九講：和倍問題知識(shí)要點(diǎn)：已知兩個(gè)數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。解答和倍應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：和÷（倍數(shù)＋1）=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)（和－小數(shù)=大數(shù)）1．例題1：學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技書的本數(shù)是故事書的3倍。兩種書各有多少本？2．例題2：果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？3．例3：有三個(gè)書櫥共放了330本書，第二個(gè)書櫥里的書是第一個(gè)的2倍，第三個(gè)書櫥里的書是第二個(gè)的4倍。每個(gè)書櫥里各放了多少本書？4．例4：少先隊(duì)員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？5．例5：三個(gè)筑路隊(duì)共筑路1360米，甲隊(duì)筑的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)多240米。三個(gè)隊(duì)各筑多少米？6．模仿訓(xùn)練（1）用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？

（2）甲、乙兩數(shù)的和是112，甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙兩數(shù)各是多少？（3）李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？（4）甲、乙、丙三數(shù)之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。（5）甲、乙、丙三個(gè)數(shù)之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。（6）三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊的2倍。三塊鋼板各重多少千克？

（7）糧站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍還多300千克，大米和面粉各有多少千克？（8）小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？

（9）三個(gè)植樹隊(duì)共植樹1900棵，甲隊(duì)植樹的棵數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)少植300棵。三個(gè)隊(duì)各植樹多少棵？

（10）三個(gè)數(shù)的和是1540，甲數(shù)是丙數(shù)的7倍，乙數(shù)比甲數(shù)多40。三個(gè)數(shù)各是多少？

第十講：差倍問題知識(shí)要點(diǎn)：前面我們已經(jīng)初步掌握了“和倍問題”的特征和解題方法。如果知道了兩個(gè)數(shù)的差與兩個(gè)數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，要求兩個(gè)數(shù)各是多少，這一類題，我們則把它稱為“差倍問題”。小朋友，你們有沒有想到用解答和倍問題的類似方法解答差倍問題呢？

解答差倍問題與解答和倍問題相類似，要先找出差所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)，先求1倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。此外，還要充分利用線段圖幫助分析數(shù)量關(guān)系。用關(guān)系式可以這樣表示：兩數(shù)差÷（倍數(shù)－1）=較小的數(shù)（1倍數(shù)）較小的數(shù)×倍數(shù)=較大的數(shù)（幾倍數(shù)）1．例題1：小明到市場(chǎng)去買水果，他買的蘋果個(gè)數(shù)是梨的3倍，蘋果比梨多18個(gè)。小明買蘋果和梨各多少個(gè)？2．例題2：被除數(shù)比除數(shù)大252，商是7，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？

3．例3：水果店有兩筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果從第一筐中取出300個(gè)放入第二筐，那么第一筐橘子還比第二筐多60個(gè)。原來兩筐橘子各有多少個(gè)？

4．例4：甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果甲數(shù)加上280就等于乙數(shù)，如果乙數(shù)加上320就等于甲數(shù)的3倍。兩個(gè)數(shù)各是多少？

5．例5：兩個(gè)書架所存書的本數(shù)相等，如果從第一個(gè)書架里取出200本書，而第二個(gè)書架再放入40本書，那么第二個(gè)書架的本數(shù)是第一個(gè)書架的3倍。問兩個(gè)書架原來各存書多少本？

6．模仿訓(xùn)練（1）學(xué)校合唱組，女同學(xué)人數(shù)是男同學(xué)的4倍，女同學(xué)比男同學(xué)多42人。合唱組有男、女同學(xué)各多少人？

（2）一件皮衣價(jià)錢是一件羽絨服價(jià)錢的5倍，又已知一件皮衣比一件羽絨服貴960元。皮衣與羽絨服各多少元？

（3）被除數(shù)比除數(shù)大168，商是22，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？

（4）除數(shù)比被除數(shù)小212，商是5，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？

（5）同學(xué)們捐助殘，六年級(jí)捐款錢數(shù)是三年級(jí)的3倍。如果從六年級(jí)捐款錢數(shù)中取出160元放入三年級(jí)，那么六年級(jí)捐款的錢數(shù)還比三年級(jí)多40元。兩個(gè)年級(jí)分別捐款多少元？

（6）人民公園的杜鵑花盆數(shù)是長(zhǎng)春園的4倍，如果從人民公園搬出188盆杜鵑花放入長(zhǎng)春園，則人民公園的杜鵑花盆數(shù)就比長(zhǎng)春園的少25盆。原來兩個(gè)公園各有杜鵑花多少盆？

（7）甲、乙兩人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲的3倍。甲、乙兩人原有存款各多少元？

（8）小明和小華的連環(huán)畫本數(shù)相等，若小明借給小華6本，小華的本數(shù)是小明的4倍。原來兩人各有連環(huán)畫多少本？

（9）兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)所存糧食重量相等，如果從第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里取出2000千克，而第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)再存入400千克，那么第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)的糧食重量就是第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的7倍。兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來各存糧食多少千克？

（10）小紅和小明的鉛筆枝數(shù)相等，如果奶奶再給小紅16枝鉛筆，給小明2枝鉛筆，那么小紅的鉛筆枝數(shù)就是小明的3倍。原來小紅和小明各有鉛筆多少枝？

第十一講：年齡問題知識(shí)要點(diǎn)：年齡問題可以說是前面所講的和差問題及差倍問題的綜合，要正確解答這類題，首先要弄清：兩個(gè)不同年齡的人，年齡之差始終不變，但兩個(gè)人年齡的倍數(shù)關(guān)系卻在不斷地變化。年齡問題的主要特征是：大小年齡差是一個(gè)不變的量。我們可以抓住差不變這個(gè)特點(diǎn)，利用和差、差倍等知識(shí)來分析解答這類應(yīng)用題。1．例題1：三年前爸爸年齡是女兒的4倍，爸爸今年43歲，女兒今年多少歲？2．例題2：明明4歲時(shí)，媽媽年齡是明明的8倍。今年明明12歲，媽媽今年多少歲？

3．例3：女兒今年3歲，媽媽今年33歲。幾年后，媽媽的年齡是女兒的7倍？

4．例4：4年前，媽媽的年齡是女兒的3倍，4年后，母女年齡和是56歲。媽媽今年多少歲？

5．例5：明明今年12歲，強(qiáng)強(qiáng)今年7歲，當(dāng)兩人的年齡和是45歲時(shí)，兩人各多少歲？

6．模仿訓(xùn)練（1）四年前小林年齡是小麗的2倍，小林今年12歲，小麗今年多少歲？

（2）五年前爺爺年齡是孫子的7倍，孫子今年14歲，爺爺今年多少歲？

（3）玲玲7歲時(shí)，爸爸年齡是玲玲的5倍。今年爸爸40歲，玲玲今年多少歲？

（4）爺爺63歲時(shí)，他的年齡是小青的9倍。今年小青12歲，爺爺今年多少歲？

（5）小明今年7歲，爺爺今年62歲。幾年前，爺爺?shù)哪挲g是小明的12倍？

（6）兒子今年2歲，爸爸今年的年齡是兒子的16倍。幾年后，爸爸的年齡是兒子的7倍？

（7）3年前，哥哥的年齡是弟弟的2倍。3年后，哥弟倆的年齡和是30歲。哥哥今年多少歲？

（8）5年前，小明的年齡是小紅的3倍。5年后，小明和小紅年齡和是44歲。今年小明多少歲？

（9）小紅今年4歲，小平今年10歲，當(dāng)兩人的年齡和是30歲時(shí)，兩人各多少歲？

（10）聰聰今年2歲，媽媽今年28歲。當(dāng)母子倆的年齡和是42歲時(shí)，兩人各多少歲？

第十二講：盈虧問題知識(shí)要點(diǎn)：盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會(huì)有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會(huì)有不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對(duì)象的數(shù)量。盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈＋虧）÷兩次分配差=份數(shù)；（大盈-小盈）÷兩次分配差=份數(shù)；（大虧-小虧）÷兩次分配差=份數(shù)；1．例題1：一個(gè)植樹小組植樹。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個(gè)植樹小組有多少人一共有多少棵樹

2．例題2：學(xué)校將一批鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。如果每人獎(jiǎng)9支，則缺45支；如果每人獎(jiǎng)7支，則缺7支。三好學(xué)生有多少人鉛筆有多少支

3．例3：有一些少先隊(duì)員到山上去種一批樹。如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種。問有多少名少先隊(duì)員有多少棵樹

4．例4：學(xué)校給一批新入學(xué)的學(xué)生分配宿舍。如果每個(gè)房間住12人，則34人沒有位置；如果每個(gè)房間住14人，則空出4個(gè)房間。求學(xué)生宿舍有多少間住宿學(xué)生有多少人

5．例5：少先隊(duì)員去植樹，如果每人挖5個(gè)樹坑，還有3個(gè)坑沒人挖；如果其中2人各挖4個(gè)，其余的人各挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有樹坑。少先隊(duì)員一共挖多少樹坑？6．模仿訓(xùn)練（1）幼兒園把一些積木分給小朋友，如果每人分2個(gè)，則剩下20個(gè)；如果每人分3個(gè)，則差40個(gè)。幼兒園有多少個(gè)小朋友一共有多少個(gè)積木

（2）某校安排宿舍，如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個(gè)床位。問宿舍多少間學(xué)生多少人

（3）將月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，則缺少15朵；如果每瓶改為插6朵，則缺少1朵。求花瓶的只數(shù)和月季花的朵數(shù)。（4）王老師給美術(shù)興趣小組的同學(xué)分發(fā)圖畫紙。如果每人發(fā)5張，則少32張；如果每人發(fā)3張，則少2張。美術(shù)興趣小組有多少名同學(xué)王老師一共有多少?gòu)垐D畫紙

（5）小虎在敵人窗外聽里邊在分子彈：一人說每人背45發(fā)還多260發(fā)；另一人說每人背50發(fā)還多200發(fā)。有多少敵人多少發(fā)子彈

（6）楊老師將一疊練習(xí)本分給第一小組的同學(xué)。如果每人分7本，還多7本；如果每人分8本則正好分完。請(qǐng)算一算，第一小組有幾個(gè)學(xué)生這疊練習(xí)本一共有多少本（7）某校有若干個(gè)學(xué)生寄宿宿舍，若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問宿舍有多少間寄宿學(xué)生有多少人

（8）育才小學(xué)學(xué)生乘汽車去春游。如果每車坐65人，則有15人不能乘車；如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。問一共有幾輛汽車有多少學(xué)生（9）老師給幼兒園的小朋友分蘋果。如果每個(gè)小朋友分2個(gè)，還多30個(gè)；如果其中的12個(gè)小朋友每人分3個(gè)，剩下的每人分4個(gè)，則正好分完。一共有多少個(gè)蘋果？

（10）在一次大掃除中，老師分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，則余22塊；如果每人擦7塊，則正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)。第十三講：植樹問題知識(shí)要點(diǎn)：解答植樹問題的關(guān)鍵是要弄清總距離、間隔長(zhǎng)和棵樹三者之間的關(guān)系。解答植樹問題要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數(shù)=總距離÷間隔長(zhǎng)＋1；棵數(shù)=總距離÷間隔長(zhǎng)；棵數(shù)=總距離÷間隔長(zhǎng)-1；在封閉的線路上植樹，棵數(shù)=總距離÷間隔長(zhǎng)。另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答，比如鋸木頭、爬樓梯問題等等，這里解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件與問題與植樹問題中的總距離、間隔長(zhǎng)、棵數(shù)對(duì)應(yīng)起來。1．例題1：小朋友們植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，第一棵和第九棵相距多少米？2．例題2：在一條長(zhǎng)40米的大路兩側(cè)栽樹，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共栽了22棵。已知相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？

3．例3：把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘。已知每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？

4．例4：在一個(gè)周長(zhǎng)是48米的池塘周圍種樹，每隔6米種一棵樹，一共種了多少棵？

5．例5：甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到5樓時(shí)，乙恰好跑到3樓。照這樣計(jì)劃，甲跑到17樓時(shí)，乙跑到多少層？

6．模仿訓(xùn)練（1）在路的一側(cè)插彩旗，每隔5米插一面，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共插了10面。這條道路有多長(zhǎng)？

（2）在學(xué)校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放了18盆。這條走廊長(zhǎng)多少米？

（3）在一條長(zhǎng)32米的公路一側(cè)插彩旗，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共插了5面，相鄰兩面旗之間距離相等，相鄰兩面旗之間相距多少米？

（4）在公園一條長(zhǎng)25米的路的兩側(cè)放椅子，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共放了12把椅子，相鄰兩把椅子距離相等。相鄰兩把椅子之間相距多少米？

（5）一根木料，要鋸成4段，每鋸開一處要5分鐘，全部鋸?fù)暌嗌俜昼姡?/p>

（6）一根圓木鋸成2米長(zhǎng)的小段，一共花了15分鐘。已知每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長(zhǎng)多少米？

（7）在一個(gè)周長(zhǎng)是42米的長(zhǎng)方形花園周圍，每隔2米放一盆花，一共可放多少盆花？

（8）要在一個(gè)水池周圍種樹，已知這個(gè)水池周長(zhǎng)為245米，計(jì)劃要栽49棵樹，相鄰兩樹之間距離相等。相鄰兩樹之間相距多少米？

（9）在一個(gè)邊長(zhǎng)為12米的正方形四周圍籬笆，每隔4米打1根木樁，一共要準(zhǔn)備多少根木樁？

（10）小明爬樓梯，每上一層要走12級(jí)臺(tái)階，一級(jí)臺(tái)階需走2秒。小明從一樓到四樓共要走多少時(shí)間？

第十四講：假設(shè)法解應(yīng)用題知識(shí)要點(diǎn)：假設(shè)法是一種常用的解題方法。“假設(shè)法”就是根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，然后按已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾作適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。運(yùn)用假設(shè)法的思路解應(yīng)用題，先要根據(jù)題意假設(shè)未知的兩個(gè)量是同一種量，或者假設(shè)要求的兩個(gè)未知量相等；其次，要根據(jù)所作的假設(shè)，注意到數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化并作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。1．例題1：今有雞、兔共居一籠，已知雞頭和兔頭共35個(gè)，雞腳與兔腳共94只。問雞、兔各有多少只？2．例題2：面值是2元、5元的人民幣共27張，全計(jì)99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少?gòu)垼?．例3：一批水泥，用小車裝載，要用45輛；用大車裝載，只要36輛。每輛大車比小車多裝4噸，這批水泥有多少噸？4．例4：某玻璃杯廠要為商場(chǎng)運(yùn)送1000個(gè)玻璃杯，雙方商定每個(gè)運(yùn)費(fèi)為1元，如果打碎一個(gè)，這個(gè)不但不給運(yùn)費(fèi)，而且要賠償3元。結(jié)果運(yùn)到目的地后結(jié)算時(shí)，玻璃杯廠共得運(yùn)費(fèi)920元。求打碎了幾個(gè)玻璃杯？5．例5：某場(chǎng)乒乓球比賽售出30元、40元、50元的門票共200張，收入7800元。其中40元和50元的張數(shù)相等，每種票各售出多少?gòu)垼?．模仿訓(xùn)練（1）雞與兔共有30只，共有腳70只。雞與兔各有多少只？（2）雞與兔共有20只，共有腳50只。雞與兔各有多少只？（3）孫佳有2分、5分硬幣共40枚，一共是1元7角。兩種硬幣各有多少枚？（4）50名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問大船和小船各幾只？（5）一批貨物用大卡車裝要16輛，如果用小卡車裝要48輛。已知大卡車比小卡車每輛多裝4噸，問這批貨物有多少噸？（6）有一堆黃沙，用大汽車運(yùn)需運(yùn)50次，如果用小汽車運(yùn)，要運(yùn)80次。每輛大汽車比小汽車多運(yùn)3噸，這堆黃沙有多少噸？

（7）搬運(yùn)1000玻璃瓶，規(guī)定安全運(yùn)到一只可得搬運(yùn)費(fèi)3角。但打碎一只，不僅不給搬運(yùn)費(fèi)還要賠5角。如果運(yùn)完后共得運(yùn)費(fèi)260元，那么，搬運(yùn)中打碎了多少只？（8）某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共20道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是每做對(duì)一題得5分，每做錯(cuò)一題倒扣1分。劉亮參加了這次競(jìng)賽，得了64分。劉亮做對(duì)了多少道題？

（9）某場(chǎng)球賽售出40元、30元、50元的門票共400張，收入15600元。其中40元和50元的張數(shù)相等，每種門票各售出多少?gòu)垼?/p>

（10）數(shù)學(xué)測(cè)試卷有20道題，做對(duì)一題得7分，做錯(cuò)一題倒扣4分，不做得0分。紅紅得了100分，她幾道題沒做？

第十五講：行程問題知識(shí)要點(diǎn)：我們把研究路程、速度、時(shí)間這三者之間關(guān)系的問題稱為行程問題。行程問題主要包括相遇問題、相背問題和追及問題。這一周我們來學(xué)習(xí)一些常用的、基本的行程問題。解答行程問題時(shí)，要理清路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，緊扣基本數(shù)關(guān)系“路程=速度×?xí)r間”來思考，對(duì)具體問題要作仔細(xì)分析，弄清出發(fā)地點(diǎn)、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)結(jié)果。相遇問題：“相遇路程=速度和×相遇時(shí)間”。追及問題：“追及路程=速度差×追及時(shí)間”。1．例題1：甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米。兩人幾小時(shí)后相遇？2．例題2：王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？3．例3：甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔54千米？4．例4：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時(shí)向東而行，甲騎自行車每小時(shí)行13千米，乙步行每小時(shí)走5千米。幾小時(shí)后甲可以追上乙？5．例5：甲、乙兩沿運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長(zhǎng)400米。如果兩人同時(shí)從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間才能第一次追上乙？6．模仿訓(xùn)練（1）甲乙兩艘輪船分別從A、B兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船每小時(shí)行駛18千米，乙船每小時(shí)行駛15千米，經(jīng)過6小時(shí)兩船在途中相遇。兩地間的水路長(zhǎng)多少千米？（2）一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)分別從相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車每小時(shí)行40千米，摩托車每小時(shí)行50千米。8小時(shí)后兩車相距多少千米？（3）甲乙兩隊(duì)學(xué)生從相隔18千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。一個(gè)同學(xué)騎自行車以每小時(shí)15千米的速度在兩隊(duì)之間不停地往返聯(lián)絡(luò)。甲隊(duì)每小時(shí)行5千米，乙隊(duì)每小時(shí)行4千米。兩隊(duì)相遇時(shí)，騎自行車的同學(xué)共行多少千米？（4）A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行38千米，乙車每小時(shí)行42千米。一只燕子以每小時(shí)50千米的速度和甲車同時(shí)出發(fā)向乙車飛去，遇到乙車又折回向甲車飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車才能相遇？（5）甲車每小時(shí)行6千米，乙車每小時(shí)行5千米，兩車于相隔10千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔65千米？（6）甲每小時(shí)行9千米，乙每小時(shí)行7千米，甲從南莊向南行，同時(shí)乙從北莊向北行。經(jīng)過3小時(shí)后，兩人相隔60千米。南北兩莊相距多少千米？

（7）甲乙兩人同時(shí)從相距36千米的A、B兩城同向而行，乙在前甲在后，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行6千米。幾小時(shí)后甲可追上乙？（8）解放軍某部從營(yíng)地出發(fā)，以每小時(shí)6千米的速度向目的地前進(jìn)，8小時(shí)后部隊(duì)有急事，派通訊員騎摩托車以每小時(shí)54千米的速度前去聯(lián)絡(luò)。多長(zhǎng)時(shí)間后，通訊員能趕上隊(duì)伍？

（9）一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，小強(qiáng)每分鐘跑300米，小星每分鐘跑250米，兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小強(qiáng)第一次追上小星？

（10）光明小學(xué)有一條長(zhǎng)200米的環(huán)形跑道，亮亮和晶晶同時(shí)從起跑線起跑。亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，問：亮亮第一次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少米？

第十六講：行船問題知識(shí)要點(diǎn)：當(dāng)你逆風(fēng)騎自行車時(shí)有什么感覺？是的，逆風(fēng)時(shí)需用很大力氣，因?yàn)槊鎸?duì)的是迎面吹來的風(fēng)。當(dāng)順風(fēng)時(shí)，借著風(fēng)力，相對(duì)而言用里較少。在你的生活中是否也遇到過類似的如流水行船問題。解答這類題的要素有下列幾點(diǎn)：水速、流速、劃速、距離，解答這類題與和差問題相似。劃速相當(dāng)于和差問題中的大數(shù)，水速相當(dāng)于小數(shù)，順流速相當(dāng)于和數(shù)，逆流速相當(dāng)于差速。船速=（順流船速+逆流船速）÷2；水速=（順流船速—逆流船速）÷2；順流船速=船速+水速；逆流船速=船速—水速；順流船速=逆流船速+水速×2；逆流船速=逆流船速—水速×2。1．例題1：一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順?biāo)叫?，由B地到A地是逆水航行。已知船在靜水中的速度是每小時(shí)20千米，由A地到B地用了6小時(shí)，由B地到A地所用的時(shí)間是由A地到B地所用時(shí)間的1.5倍，求水流速度。解：設(shè)水流速度為每小時(shí)x千米，則船由A地到B地行駛的路程為[（20+x）×6]千米，船由B地到A地行駛的路程為[（20—x）×6×1.5]千米。列方程為（20+x）×6=（20—x）×6×1.5x=42．例題2:有一船行駛于120千米長(zhǎng)的河中，逆行需10小時(shí)，順行要6小時(shí)，求船速和水速。逆流速：120÷10=12（千米/時(shí)）順流速：120÷6=12（千米/時(shí)）船速：（20+12）÷2=16（千米/時(shí)）水速：（20—12）÷2=4（千米/時(shí)）3．例題3:輪船以同一速度往返于兩碼頭之間。它順流而下，行了8小時(shí)；逆流而上，行了10小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)3千米，求兩碼頭之間的距離。（3+3）×8÷（10—8）×10=240（千米）4．例題4:汽船每小時(shí)行30千米，在長(zhǎng)176千米的河中逆流航行要11小時(shí)到達(dá)，返回需幾小時(shí)？逆流速：176÷11=16（千米/時(shí)）所需時(shí)間：176÷[30+（30—16）]=4（小時(shí)）5．例題5:有甲、乙兩船，甲船和漂流物同時(shí)由河西向東而行，乙船也同時(shí)從河?xùn)|向西而行。甲船行4小時(shí)后與漂流物相距100千米，乙船行12小時(shí)后與漂流物相遇，兩船的劃速相同，河長(zhǎng)多少千米？船速：100÷4=25（千米/時(shí)）河長(zhǎng)：25×12=300（千米）6．模仿訓(xùn)練（1）水流速度是每小時(shí)15千米。現(xiàn)在有船順?biāo)校?小時(shí)行320千米。若逆水行320千米需幾小時(shí)？

（2）水流速度每小時(shí)5千米?，F(xiàn)在有一船逆水在120千米的河中航行需6小時(shí)，順?biāo)叫行鑾仔r(shí)？

（3）有只大木船在長(zhǎng)江中航行。逆流而上5小時(shí)行5千米，順流而下1小時(shí)行5千米。求這只木船每小時(shí)劃船速度和河水的流速各是多少？（4）有一船完成360千米的水程運(yùn)輸任務(wù)。順流而下30小時(shí)到達(dá)，但逆流而上則需60小時(shí)。求河水流速和靜水中劃行的速度？（5）一走輪船以同樣的速度往返于甲、乙兩個(gè)港口，它順流而下行了7小時(shí)，逆流而上行了10小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)3.6千米，求甲、乙兩個(gè)港口之間的距離。（6）一艘漁船順?biāo)啃r(shí)行18千米，逆水每小時(shí)行15千米。求船速和水速各是多少？

（7）當(dāng)一機(jī)動(dòng)船在水流每小時(shí)3千米的河中逆流而上時(shí)，8小時(shí)行48千米。返回時(shí)水流速度是逆流而上的2倍。需幾小時(shí)行195千米？

（8）已知一船自上游向下游航行，經(jīng)9小時(shí)后，已行673千米，此船每小時(shí)的劃速是47千米。求此河的水速是多少？

（9）有兩只木排，甲木排和漂流物同時(shí)由A地向B地前行，乙木排也同時(shí)從B地向A地前行，甲木排5小時(shí)后與漂流物相距75千米，乙木排行15小時(shí)后與漂流物相遇，兩木排的劃速相同，A、B兩地長(zhǎng)多少千米？

（10）有一條河在降雨后，每小時(shí)水的流速在中流和沿岸不同。中流每小時(shí)59千米，沿岸每小時(shí)45千米。有一汽船逆流而上，從沿岸航行15小時(shí)走完570千米的路程，回來時(shí)幾小時(shí)走完中流的全程？

第十七講：過橋問題知識(shí)要點(diǎn)：過橋問題是行程問題的一種情況。我們所說的列車通過一座橋，是指從車頭上橋到車尾離橋的這個(gè)過程。這時(shí)，列車行駛的總路程是橋長(zhǎng)加上車長(zhǎng)，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：路程=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)車速=（橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）÷通過時(shí)間通過時(shí)間=（橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）÷車速橋長(zhǎng)=車速×通過時(shí)間－車長(zhǎng)車長(zhǎng)=車速×通過時(shí)間－橋長(zhǎng)通過隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決。1．例題1：一列火車經(jīng)過南京長(zhǎng)江大橋，大橋長(zhǎng)6700米，這列火車長(zhǎng)140米，火車每分鐘行400米，這列火車通過長(zhǎng)江大橋需要多少分鐘？

2．例題2：一列火車長(zhǎng)200米，全車通過長(zhǎng)700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？

3．例3：一列火車長(zhǎng)240米，這列火車每秒行15米，從車頭進(jìn)山洞到全車出山洞共用20秒，山洞長(zhǎng)多少米？

6．模仿訓(xùn)練（1）一列火車，通過300米長(zhǎng)的隧道，已知由車頭開始進(jìn)入洞口到車尾進(jìn)入洞口共用9秒鐘，又過了10秒鐘，火車剛好全部通過隧道。求這列火車的長(zhǎng)。（2）一列火車全長(zhǎng)290米，每秒行駛25米，全車要通過一座長(zhǎng)985米長(zhǎng)的大橋，問需要多少秒鐘？

（3）一列火車，車長(zhǎng)300米，每分鐘行400米，通過長(zhǎng)900米的隧道，要用幾分鐘？

（4）一列火車，長(zhǎng)150米，穿過200米長(zhǎng)的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？

（5）一列火車長(zhǎng)240米，每秒行15米，全車通過一個(gè)隧道需38秒，求這個(gè)隧道長(zhǎng)多少米？

（6）一列火車長(zhǎng)200米，行進(jìn)速度每秒為25米，從火車頭上橋到車尾下橋共需20秒，求橋的長(zhǎng)度。第十八講：周期問題知識(shí)要點(diǎn)：周期問題是指事物在運(yùn)動(dòng)變化的發(fā)展過程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時(shí)解題時(shí)也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期的等式相對(duì)應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。1．例題1：流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅，再4個(gè)黃，再3個(gè)綠，再2個(gè)黑，再1個(gè)白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此涂下去，到2001個(gè)小球該涂什么顏色？

2．例題2：有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾3．例3：2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？

4．例4：將奇數(shù)如下圖排列，各列分別用A、B、C、D、E為代表，問：2001所在的列以哪個(gè)字母為代表？

ABCDE135715131191719212331292725……5．例5：888……8[100個(gè)8]÷7，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？

6．模仿訓(xùn)練（1）跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？

（2）有一串珠子，按4個(gè)紅的，3個(gè)白的，2個(gè)黑的順序重復(fù)排列，第160個(gè)是什么顏色？

（3）有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之幾？

（4）黑珠和白珠共2000顆，按規(guī)律排列著：○●○○○●○○○●○○……，第2000顆珠子是什么顏色的其中，黑珠共有多少顆

（5）2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？

（6）如果今天是星期五，再過80天是星期幾？

（7）1，將偶數(shù)2、4、6、8、……按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在哪一列？

ABCDE8642101214162422201826283032……（8）把自然數(shù)按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？

ABCD1236