第四章 統(tǒng)計學

第四章

數(shù)據(jù)分布特征的描述

學習目的和重難點提示

本章學習目的領(lǐng)會數(shù)據(jù)分布的各種特征：集中趨勢、離散趨勢、偏斜程度和峰度。掌握數(shù)據(jù)分布特征各測定值的計算方法、特點及其應(yīng)用場合。本章重難點提示數(shù)據(jù)分布特征的描述方法，如何使用一些統(tǒng)計量來對數(shù)據(jù)進行概括性測定。數(shù)據(jù)分布特征各測定值的計算方法、特點及其應(yīng)用場合。補充知識一、絕對指標二、相對指標一、絕對指標（一）絕對指標的含義絕對指標（總量指標，或簡稱絕對數(shù)）是反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一定時間、地點條件下規(guī)?；蚪^對水平的總量。如：2008年中國GDP為300670億元。2009年4月底中國外匯儲備為17566億美元。（二）絕對指標的種類1、按總量指標的總體內(nèi)容不同分：總體總量：指總體單位總數(shù)。標志總量：指總體單位某一數(shù)量標志值的總和。2、按總量指標所反映的時間不同分：時期指標（時期數(shù)）時點指標（時點數(shù)）3、按計量單位不同分：實物指標價值指標勞動量指標二、相對指標（一）相對指標的含義相對指標是兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計指標進行對比的比值。也稱為相對數(shù)。①成數(shù)無名數(shù)②系數(shù)和倍數(shù)③百分數(shù)、千分數(shù)、萬分數(shù)

有名數(shù)④單名數(shù)和復名數(shù)。（二）相對指標的種類1、計劃完成相對數(shù)2、結(jié)構(gòu)相對數(shù)3、比較相對數(shù)4、比例相對數(shù)5、動態(tài)相對數(shù)6、強度相對數(shù)1、計劃完成相對數(shù)概念：計劃期內(nèi)實際完成數(shù)與計劃數(shù)之比。作用：考核、反映計劃完成的程度（進度）?；居嬎愎剑?/p>

2、結(jié)構(gòu)相對指標概念：部分占全體的比例。作用：反映事物的內(nèi)部構(gòu)成、性質(zhì)、質(zhì)量及其變化。計算公式：特點：各部分所占比重之和為100%或1。分子與分母位置不能互換。3、比較相對數(shù)概念：同一時間的同類指標在不同空間對比的比值。作用：反映同類現(xiàn)象在不同空間的數(shù)量差異，發(fā)現(xiàn)先進與后進。計算公式：特點：用百分數(shù)或倍數(shù)表示，分子和分母可以互換。若以數(shù)值小的為母項則計算結(jié)果大于100%或1，反之小于100%或1。4、比例相對數(shù)概念：同一總體某一部分數(shù)值與另一部分數(shù)值對比的比值。作用：反映總體各部分間的內(nèi)在聯(lián)系與比例關(guān)系。（同一總體不同部分比較）計算公式：特點：分子分母同屬一個總體，而且分子與分母的位置可以互換。5、動態(tài)相對數(shù)概念：某一社會經(jīng)濟現(xiàn)象在不同時期兩個數(shù)值對比的比率。又稱發(fā)展速度或指數(shù)。作用：反映事物發(fā)展變化的方向與程度。計算公式：式中：報告期又稱計算期，是研究或計算時期?；谑亲鳛楸容^基礎(chǔ)的時期。特點：分子與分母的位置一般不能互換。常用百分數(shù)、倍數(shù)、千分數(shù)表示。6、強度相對數(shù)概念：兩個性質(zhì)不同而又相互聯(lián)系指標之比。作用：①反映一國一地的發(fā)展水平、力量強弱。②反映事物存在的密度、普遍程度、運動強度、負擔強度。③反映經(jīng)濟效益的高低。計算公式：特點：有正指標和逆指標之分，數(shù)值大小與強度成正比為正指標，反之為逆指標。有些指標分子與分母可互換。計量單位常用復名數(shù)。運用相對數(shù)應(yīng)遵循的原則1、兩個對比指標要有可比性。2、相對數(shù)要和總量指標結(jié)合使用。3、各種相對指標結(jié)合運用。第一節(jié)

數(shù)據(jù)分布集中趨勢的測定一、均值(平均數(shù)、數(shù)值平均數(shù)，mean)(一)概念均值是反映數(shù)據(jù)分布集中趨勢十分重要的數(shù)據(jù)，代表總體單位某一標志值的一般水平。(二)特征1.具有抽象性。2.具有代表性。

3.反映總體分布的集中趨勢。(三)舉例

1.某市中學生每周平均上網(wǎng)時間為2.8小時。2.某農(nóng)貿(mào)市場2月份牛肉的平均價格為16元/千克。3.某地區(qū)“十五”期間經(jīng)濟平均增長率為9.6%。（四）均值的種類及計算

1.算術(shù)平均數(shù)**

(1)概念

算術(shù)平均數(shù)又稱平均值，是用一組數(shù)據(jù)中所有值之和除以該組數(shù)據(jù)的個數(shù)。

(2)基本公式算術(shù)平均數(shù)的計算**簡單算術(shù)平均數(shù):

總體平均數(shù)

樣本平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計算

**加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

概念:是對每個數(shù)據(jù)都根據(jù)其在全組中的重要程度賦予一定權(quán)重后得到的算術(shù)平均數(shù)。

計算公式:

（1）未分組數(shù)據(jù)

其中，w表示各組的標志總量，而不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，總體和樣本加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式是相同。

[例4-1]根據(jù)某公司四個品牌數(shù)碼相機的銷售資料計算平均利潤率。表4-1四個品牌數(shù)碼相機的利潤率和銷售額資料所以，四個品牌數(shù)碼相機的平均銷售利潤率為：

因為：

**加權(quán)算術(shù)平均數(shù)⑵分組的加權(quán)平均數(shù):根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算均值。

樣本均值的計算公式：

總體均值的計算公式：表示各組的變量值（組距式數(shù)列的組中值）；表示各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)（即權(quán)數(shù)）。其中，

[例4-2]根據(jù)某電腦公司在各市場上銷售量的分組數(shù)據(jù)，計算電腦銷售量的均值。

按銷售量分組（臺）組中值(Mi)市場個數(shù)(fi)Mifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計—

∑fi＝

120∑Mifi

＝222002.調(diào)和平均數(shù)（1）概念:

調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。

（2）計算簡單調(diào)和平均數(shù):針對未分組資料。計算公式為：2.調(diào)和平均數(shù)

加權(quán)調(diào)和平均數(shù):針對分組資料。

計算公式為:

其中:

是一種特殊權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，表示各組標志總量。即

[例4-3]根據(jù)某商場職工月工資資料計算月平均工資。

表4-3某商場職工月工資資料3.幾何平均數(shù)(1)概念:幾何平均數(shù)(geometricmean)又稱對稱平均數(shù)，它是各變量值乘積的n次方根。(2)計算基本公式:

對數(shù)公式:在實際工作中，由于變量個數(shù)較多，通常要應(yīng)用對數(shù)來進行計算。即

(3)幾何平均數(shù)的應(yīng)用及特點

①應(yīng)用條件a.變量值是相對數(shù)據(jù)，如比率或發(fā)展速度。b.變量值的連乘積等于總比率或總發(fā)展速度。②特點a.如果數(shù)列中有一個標志值等于零或負值，則無法計算。b.受極端值影響較小，故較穩(wěn)健。

[例4-4]

某電器銷售公司2000～2005年銷售量的環(huán)比增長率分別為：7.6%、2.5%、0.6％、2.7%和2.2%。求這期間銷售量的平均增長速度。表4-4銷售量平均發(fā)展速度計算表幾何平均數(shù)的計算示例幾何平均數(shù)的計算示例

1.采用基本公式計算的銷售量平均發(fā)展速度為:2.采用對數(shù)公式計算的銷售量平均發(fā)展速度為:所以，銷售量的平均增長速度=103.1%-1=3.1%二、位置平均數(shù)（一）中位數(shù)(median)

1.概念中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)項按照數(shù)值大小升序或者降序排列后位于中間位置的那個數(shù)據(jù)，符號為。2.中位數(shù)的計算方法(1)未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

將變量值按升序或降序排列，找中間位置的變量值。

(2)單項數(shù)列的中位數(shù)計算各組的累計頻數(shù)(向上累計或向下累計)；根據(jù)中位數(shù)位置確定中位數(shù)。[例4-5]

計算某公司銷售人員月銷售冰箱中位數(shù)

表4-5某公司銷售人員月銷售冰箱中位數(shù)計算按月銷售冰箱分組(臺)銷售人員數(shù)(人)向上累計頻數(shù)向下累計頻數(shù)25303234363931014271883132754728080776753268合計80－－中位數(shù)的位置

即中位數(shù)在累計頻數(shù)為40的那一組內(nèi)（向上累計或向下累計均可得出），則。

2.中位數(shù)的計算方法（3）組距數(shù)列的中位數(shù)：由下列公式近似計算

下限公式其中:為總體單位總數(shù)；為中位數(shù)組的下限；為中位數(shù)組以下的累計頻數(shù)；為中位數(shù)組的頻數(shù)；為中位數(shù)組的組距；[例4-6]求以下組距數(shù)列的中位數(shù)。

按家庭收入分組（元）家庭數(shù)（戶）向上累計頻率5000以下5000～1000010000～1500015000～2000020000以上214514662166808692合計92－中位數(shù)的近似值為：表4-6某地區(qū)家庭收入分組中位數(shù)的位置在第46（92/2）位，應(yīng)在第二組中位數(shù)的特點⑴是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開口組的影響。

⑵對于分配不對稱的數(shù)據(jù)，中位數(shù)比平均值更適合當集中趨勢的代表值。⑶

對某些不具有數(shù)字特征或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)表示其一般水平。例如，對眾多的消費者購買數(shù)碼相機時，分別對價格、外觀、品質(zhì)的注重程度排序后，可以求出消費者在乎的中位數(shù)因素。

二、位置平均數(shù)（二）眾數(shù)

1.概念

眾數(shù)(mode)是指在一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值，符號為。

2.數(shù)據(jù)數(shù)列的眾數(shù)分布情況

無眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：13791268

一個眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：659866

多個眾數(shù)如數(shù)據(jù)數(shù)列：2235273527363.眾數(shù)的計算方法**品質(zhì)變量的眾數(shù)——觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值就是眾數(shù)。

例如:企業(yè)的所有制結(jié)構(gòu)分布、人口的城鄉(xiāng)分布。**數(shù)值變量的眾數(shù)未分組資料——觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)。分組資料（1）單項式數(shù)列——直接觀察，次數(shù)最多的組的變量值即為眾數(shù)。

[例4-7]單項式變量數(shù)列確定眾數(shù)實例

表4-7某市居民家庭按家庭人口數(shù)分組

由上表可以看出，家庭人口數(shù)為3人的家庭數(shù)最多，因此本例中家庭人口數(shù)的眾數(shù)為3人。