第五章 方差分析

第五章方差分析

前面一章介紹了平均數(shù)差異顯著性檢驗，是比較兩組試驗結(jié)果，即用檢驗來判定其差異的顯著性，但在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會遇到比較多個處理優(yōu)劣的問題，即需進行多個平均數(shù)間的差異顯著性檢驗。例如：飼養(yǎng)試驗，雜交組合試驗，藥物劑量試驗等。這時，若采用t檢驗法就不適宜了，因為：

（2）、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏度低。若用檢驗法作兩兩比較，由于每次比較需計算一個，故使得各項比較誤差的估計不統(tǒng)一，同時沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計的精確性降低，從而降低檢驗的靈敏度。如每次比較只用到兩組數(shù)據(jù)，用的數(shù)據(jù)少，其自由度也少（每個差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤只能由個自由度估計，而不能以組自由度，即個自由度估計）。（3）、推斷的可靠性低，檢驗的Ⅰ型錯誤率大。

由于上述原因，多個平均數(shù)的差異顯著性檢驗不宜用t檢驗，需采用方差分析法。方差分析是由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的.

這種方法是將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，除隨機誤差作用外,每個部分的變異可由某個因素的作用加以解釋,通過比較不同變異來源的均方,借助F分布作出統(tǒng)計推斷,從而推論各種研究因素對試驗結(jié)果有無影響。方差分析實質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析?！胺讲罘治龇ㄊ且环N在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術(shù)”，方差分析實質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。幾個常用術(shù)語:1、試驗：試驗是在人為控制條件下進行的一種有目的的實踐活動。例如：比較不同品種在某個性狀上的差別，測定在一定條件下動物個體的某個生理指標(biāo)，等等。2、試驗指標(biāo):為衡量試驗結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標(biāo)。（對每個試驗單元要度量的試驗結(jié)果的標(biāo)志）由于試驗?zāi)康牟煌x擇的試驗指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗中常用的試驗指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重)等。3、試驗因素（因子）：試驗中所研究的影響試驗指標(biāo)的因素叫試驗因素。如：研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方，豬的品種，飼養(yǎng)方法，溫度等對日增重有影響，均可作為試驗因素來考慮。4、因素（因子）水平：試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平（對試驗因子按其質(zhì)或量所劃分的等級或狀態(tài)），簡稱水平。如比較3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平。因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2，…來表示。如：等。4、試驗處理：事先設(shè)計好的實施在試驗單位上的具體項目叫試驗處理，（根據(jù)試驗因子的不同水平對試驗單元所處以的不同措施）簡稱處理。在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。5、試驗單位：在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。如：在畜禽、水產(chǎn)試驗中一只家畜、一頭家畜、一尾魚等。6、重復(fù):在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重復(fù)。第一節(jié)方差分析的基本原理與步驟本節(jié)結(jié)合單因素試驗結(jié)果的方差分析介紹其原理與步驟。例1：某水產(chǎn)研究所為了比較4種不同配合飼料對魚的飼養(yǎng)效果，選取了基本條件相同的魚20尾，隨機分成4組，投喂不同的飼料，經(jīng)1個月試驗后，各組魚的增重效果列于表1，試檢驗4種飼料對魚飼養(yǎng)效果的差異顯著性。表1飼喂不同餌料的魚的增重

飼料魚的增重

31.927.931.828.435.9155.931.18

24.825.726.827.926.2131.426.28

22.123.627.324.925.8123.724.7427.030.829.024.528.5139.827.96

550.827.54一、變因分析在試驗中，引起生物性狀變異的因素是很多的，但歸納起來不外于兩類，一類是處理的效應(yīng)，另一類是偶然因素所產(chǎn)生的誤差。由表1可以看出，20尾魚的增重是有差異的，不僅是不同的飼料組間有差異，而且同一組內(nèi)也有差異，各個觀測值間的差異就構(gòu)成了整個試驗資料的總變異，稱為總變異。引起總變異的原因大致分為兩部分：一是由不同的飼料而產(chǎn)生的效應(yīng)，亦即處理間效應(yīng)，由A1，A2，A3，A4四組平均數(shù)的差異可以看出；二是試驗誤差，可以從同一飼料組內(nèi)不同個體之間的差異看出，這是處理內(nèi)的變異。由此可見總變異可分解為處理（組）間變異和處理內(nèi)（組內(nèi)）變異（又稱試驗誤差）。那么，總變異是由誤差造成的呢？還是主要由不同的處理造成的呢？要回答這個問題，我們可以度量這兩種變量的大小。即計算出處理變異的均方和試驗誤差的均方，再進行比較和檢驗處理間變異的差異顯著性。這就是方差分析的基本思想。

二、單因素資料（單向分類資料）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)單因素資料（單向分類資料）,是指資料是以一個標(biāo)志來分類(或稱分組)的,這個標(biāo)志可以自然地或人為地分為若干個類別,或水平。例如：不同的品種、不同的飼料配方、不同的藥物等，通常將這些不同的類別稱為不同的處理。研究目的是要比較不同的處理對所考察的指標(biāo)（性狀）的影響有無差異，或者說是各處理所代表的總體平均數(shù)有無差異。假設(shè)有一個試驗，分為k個處理（組），每個處理有ni個重復(fù)，每組的觀測值數(shù)據(jù)是來自該組的處理所代表的總體的一個樣本，這是單因素資料（單向分類資料）方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如下表：處理觀測值合計平均

……………………

……………………

合計

在方差分析中，通常將變異來源，平方和，自由度，均方，以及后面要講的F值歸納成一長方差分析表。

變異來源平方和自由度均方F值處理間114.268338.09

處理內(nèi)85.4165.34

總變異199.66819

四、F分布與F檢驗（一）F分布方差分析的目的是要明確各處理平均數(shù)間是否存在真正差異，有無處理效應(yīng)存在，對上例就是要了解四種飼料的增重有無明顯差異，這就作F檢驗。

（二）F檢驗附表5是專門為檢驗為代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設(shè)計的，若實際計算的F值在的水平上顯著，我們以95%的可靠性（即冒5%的風(fēng)險）推斷為代表的總體方差大于代表的總體方差。這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為F檢驗。在方差分析中所進行的F檢驗?zāi)康模谟谕茢嗵幚黹g的差異是否存在，檢驗?zāi)稠椬儺愐蛩氐男?yīng)方差是否為零。因此，在計算F值時總是以被檢驗因素的均方作分子，以誤差均方作分母。但注意分母項的正確選擇是由方差分析的模型和各項變異原因的期望均方?jīng)Q定的。

五、多重比較F值顯著或極顯著，否定了無效假設(shè)HO，表明試驗的總變異主要來源于處理間的變異，試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。如經(jīng)F檢驗顯著，還應(yīng)繼續(xù)對各處理的平均數(shù)間進行兩兩比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。多重比較的方法甚過，常用的有最小顯著差數(shù)法（LSD法）和最小顯著極差法（LSR法），現(xiàn)分別介紹如下：所以顯著水平為0.05與0.01的最小顯著差數(shù)為：這就是說，任何兩個平均數(shù)比較，若差數(shù)大于3.09時，即為差異顯著，若差數(shù)大于4.271時，差異極顯著。具體比較如下：（注：差異顯著，在差數(shù)右上方標(biāo)記*，差異極顯著，在差數(shù)右上方標(biāo)記**）。

比較結(jié)果：飼料對魚的增重效果極顯著高于和，顯著高于，飼料對魚的增重效果極顯著高于飼料。其余各組差異不顯著。

處理平均數(shù)

A131.186.44**4.90**3.22*A4

27.963.22*1.68

A226.281.54A3

24.74

2、有人提出，與檢驗任何兩個均數(shù)間的差異相比較，LSD法適用于各處理組與對照組比較而處理組間不進行比較的比較形式。實際上關(guān)于這種形式的比較更適用的方法有頓納特(Dunnett)法(關(guān)于此法，讀者可參閱其它有關(guān)統(tǒng)計書籍)。3、因為LSD法實質(zhì)上是t檢驗，故有人指出其最適宜的比較形式是：在進行試驗設(shè)計時就確定各處理只是固定的兩個兩個相比，每個處理平均數(shù)在比較中只比較一次。例如，在一個試驗中共有4個處理，設(shè)計時已確定只是處理1與處理2、處理3與處理4(或1與3、2與4；或1與4、2與3)比較，而其它的處理間不進行比較。因為這種比較形式實際上不涉及多個均數(shù)的極差問題，所以不會增大犯I型錯誤的概率。綜上所述，對于多個處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較，LSD法的優(yōu)點在于方法比較簡便，克服一般檢驗法所具有的某些缺點，但是由于沒有考慮相互比較的處理平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次，故仍有推斷可靠性低、犯I型錯誤概率增大的問題。為克服此弊病，統(tǒng)計學(xué)家提出了最小顯著極差法。(二)最小顯著極差法(LSR法,Leastsignificantranges)

LSR法的特點是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做最小顯著極差LSR。LSR法克服了LSD法的不足，但檢驗的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗法和新復(fù)極差法兩種。1:新復(fù)極差法此法是由鄧肯(Duncan)于1955年提出，故又稱Duncan法，此法還稱SSR法.這種檢驗方法與LSD法不同之處是隨著處理比較的極差間所包含平均數(shù)的個數(shù)r的不同需要分別計算最小顯著極差LSR。其計算公式為：

SSR值與LSR值

kSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.004.133.094.2533.154.343.244.4743.234.453.334.58處理平均數(shù)

A131.186.44**4.90**3.22*A4

27.963.221.68

A226.281.54A3

24.74

在上表中，最下一行斜線上的3個差數(shù)（即1.54，1.68，3.22）都是相鄰的兩個平均數(shù)的差數(shù)，故應(yīng)用k=2的LSR值（即LSR0.05=3.09，LSR0.01=4.25）進行檢驗，結(jié)果A1飼料與A4飼料的增重效果差異顯著。第二條斜線上的兩個差數(shù)（即3.22，4.90）其極差范圍內(nèi)包含3個均數(shù)，故應(yīng)用k=3的LSR值（即LSR0.05=3.24，LSR0.01=4.47）進行檢驗，表明A1飼料的增重效果高度顯著大于A2飼料，A2飼料與A3飼料的增重差異不明顯。在三角形左上方的差數(shù)6.46是A1與A3間的極差，包含了4個均數(shù)，因此應(yīng)用k=4的LSR值進行檢驗，差數(shù)達到了高度顯著水平，表明A1飼料的增重效果高度顯著大于A3飼料。(三)多重比較結(jié)果的表示法

各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應(yīng)以簡明的形式將結(jié)