高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)1

向量的分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：1、向量的坐標(biāo)表示法（一）向量代數(shù)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式向量模長的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式它們距離為兩點(diǎn)間距離公式:2、數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式3、向量積(叉積、外積)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式方程特點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)曲面（二）空間解析幾何旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面xyz旋轉(zhuǎn)拋物面oyzx旋轉(zhuǎn)橢球面ozyx（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面2.柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.從柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸拋物柱面xyzxyz橢圓柱面雙曲柱面xyz3.二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面特殊地：當(dāng)時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面4.空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數(shù)方程CCC關(guān)于的投影柱面C在上的投影曲線Oxzy設(shè)曲線則C關(guān)于xoy面的投影柱面方程應(yīng)為消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：[3]空間曲線在坐標(biāo)面上的投影5.平面[1]平面的點(diǎn)法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]平面的夾角[5]兩平面位置特征：//重合6.空間直線[1]空間直線的一般方程[3]空間直線的參數(shù)方程[2]空間直線的對稱式方程直線直線^兩直線的夾角公式[4]兩直線的夾角[5]兩直線的位置關(guān)系：//[6]直線與平面的夾角//直線與平面的夾角公式[7]直線與平面的位置關(guān)系//[8]點(diǎn)到平面距離公式比較中學(xué)所學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式:6.平面束定義:通過兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個平面確定的平面束.設(shè)平面消去消去解代入消元例3例4

求直線

的平面束的方程為

其中為待定常數(shù).

過直線

解代入(1)式，得投影平面的方程為

由此得投影直線的方程為

取法向量化簡得所求平面方程為解例6解設(shè)所求平面方程為解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程例71、偏導(dǎo)數(shù)概念第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法可微不可微多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)有極限3、關(guān)系4、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理1

若函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t中間變量均為一元函數(shù)的情形在點(diǎn)t處可導(dǎo)，公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.5、全微分形式不變性

無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.定理1

設(shè)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)則方程在點(diǎn)6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足①在點(diǎn)若函數(shù)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確定理3的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)計算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解.①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:在點(diǎn)7、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為法平面方程為(1)空間曲線的切線與法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)1）空間曲線方程為法平面方程為特殊地：(取為參數(shù))2）空間曲線方程為(取為參數(shù))切線方程為法平面方程為(２)曲面的切平面與法線

切平面方程為法線方程為(關(guān)鍵:抓住法向量)曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令則（特殊情形）8、方向?qū)?shù)記為（1）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的存在性及其計算方法:定理那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,且有說明:可微沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念記為

梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的(極小值).定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有（1)二元函數(shù)極值的定義點(diǎn)稱為極值點(diǎn).9、多元函數(shù)的極值定理1

(必要條件)偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值,則有（2）多元函數(shù)取得極值的條件函數(shù)在點(diǎn)存在說明:駐點(diǎn)極值點(diǎn)(可導(dǎo)函數(shù))注意：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).

1.駐點(diǎn)2.偏導(dǎo)中至少有一個不存在的點(diǎn).所以,可疑極值點(diǎn)是:時,具有極值定理2(充分條件)一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:(1)當(dāng)A<0時取極大值;A>0時取極小值.(2)當(dāng)(3)當(dāng)時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有(按極值定義來判定)第四步求出極值.(3)多元函數(shù)的最值a.最值的存在性：如函數(shù)b.有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟：（1）找最值可疑點(diǎn)D內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)邊界上的可能極值點(diǎn)（2）比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值，最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?需求函數(shù)（假定函數(shù)在D有有限個可疑點(diǎn)）定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m.特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點(diǎn)P時,為極小值為最小值(大)(大)

求二元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值,往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問題的實(shí)際意義,知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在D內(nèi)可微,且只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值.★函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)（4）條件極值：對自變量有附加條件的極值．思考題解答：思考題例1

考慮二元函數(shù)以下四條性質(zhì).(02年考研題)

處連續(xù)；處兩個偏導(dǎo)連續(xù)；處的兩個偏導(dǎo)存在；()則（）處連續(xù)；例2

設(shè)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，(3)則下列結(jié)論正確的是（）在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零;

(A)

(B)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零;在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零;在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.(C)(D)[03數(shù)三、數(shù)四，4分]例3

設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，證原結(jié)論成立．例5

設(shè)函數(shù)其中f(u)可微,且解解例6例7解例8解例7解設(shè)且f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，例9

設(shè)解法1

利用隱函數(shù)求導(dǎo)（直接法）再對x

求導(dǎo)(P85例2)解法2

利用公式法設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)解令切平面方程法線方程解令故方向余弦為分析法向量的方向應(yīng)指向上側(cè)故并求出最大的方向?qū)?shù).例12

設(shè)函數(shù)的全微分為則點(diǎn)（-1,-1）()A、不是f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)；B、不是f(x,y)的極值點(diǎn)；C、是f(x,y)的極大值點(diǎn)；D、是f(x,y)的極小值點(diǎn).C例13解解方程組得駐點(diǎn)(1,1),(0,0)故所求函數(shù)的極值為:例14應(yīng)再用極值的充分條件來判定是否為極值點(diǎn),且為極大還是極小.利用拉格朗日乘數(shù)法,解例14利用拉格朗日乘數(shù)法,則∴

函數(shù)在點(diǎn)(2,4,4)處取得極小值36.解先求函數(shù)在橢圓域內(nèi)的駐點(diǎn)再求出在橢圓上的可疑極值點(diǎn)∴函數(shù)的最大值為3，最小值為-2.例16解分析:得２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時，二重積分是柱體體積的代數(shù)和.1、二重積分的定義第十章3、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).（１）直角坐標(biāo)系下

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).［Y－型］求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點(diǎn)；2.選擇積分次序；4.計算.(先內(nèi)積分后外積分;計算內(nèi)積分時把在累次積分不易積或不能積時,應(yīng)考慮交換積分次序.(把D寫成不等式形式)；外積分變量看成常數(shù))3.確定積分限1、選擇積分次序(1)首先被積函數(shù)要易積分，能積分；(2)積分區(qū)