第四章 顯著性檢驗(yàn)

總體總體樣本樣本樣本樣本樣本抽樣分布統(tǒng)計(jì)推斷圖抽樣分布與統(tǒng)計(jì)推斷的關(guān)系第四章顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)顯著性檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)t,u,F,χ2檢驗(yàn)第一節(jié)顯著性檢驗(yàn)基本原理第二節(jié)單個(gè)樣本平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)第三節(jié)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)第四節(jié)百分?jǐn)?shù)資料的顯著性檢驗(yàn)率五節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)本章主要內(nèi)容及難點(diǎn)1.首先介紹顯著性檢驗(yàn)的基本原理和步驟;2.其次介紹顯著水平、兩類(lèi)錯(cuò)誤、一尾檢驗(yàn)、兩尾檢驗(yàn)的概念；3.單個(gè)樣本平均數(shù)的t檢驗(yàn)4.配對(duì)資料t檢驗(yàn)，非配對(duì)資料t檢驗(yàn)5.百分?jǐn)?shù)資料的u檢驗(yàn)難點(diǎn)：顯著性檢驗(yàn)基本原理理解，t檢驗(yàn)、u檢驗(yàn)的使用條件。第一節(jié)顯著性檢驗(yàn)

的基本原理一、顯著性檢驗(yàn)的意義顯著性檢驗(yàn)的意義在于：區(qū)分樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)與所在總體參數(shù)的差異是由試驗(yàn)誤差引起，還是二者本質(zhì)不同。

例如，大豆籽粒蛋白質(zhì)含量高于45%(記為μ0)的品種為高蛋白品種。某種子公司對(duì)一大豆新品種隨機(jī)抽取5個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)定，得平均蛋白質(zhì)含量為，。我們能否根據(jù)1.5%就認(rèn)定該大豆新品種就是高蛋白品種？

———不一定。真實(shí)差異表面差異

雖然真實(shí)差異（μ－μ0）不能計(jì)算，但表面差異（－μ0）可以計(jì)算，試驗(yàn)誤差也可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)。所以可將表面差異與試驗(yàn)誤差比較間接推斷真實(shí)差異是否存在。如果（μ－μ0）=0，我們就說(shuō)真實(shí)差異不存在；如果（μ－μ0）≠0，我們就說(shuō)真實(shí)差異存在。這就是顯著性檢驗(yàn)的基本思想。

又如，某地做了兩個(gè)水稻品種對(duì)比試驗(yàn)，在相同條件下，兩個(gè)水稻品種分別種植10個(gè)小區(qū)，獲得兩個(gè)水稻品種的平均產(chǎn)量為

=510㎏/666.7㎡、=500㎏/666.7㎡。

=10㎏/666.7㎡。僅憑這個(gè)表面差值我們照樣不能判斷兩個(gè)水稻品種生產(chǎn)潛力本質(zhì)上不同。于是表面差異真實(shí)差異試驗(yàn)誤差

同樣真實(shí)差異（μ1－μ2）不能計(jì)算，但表面差異（）可以計(jì)算，試驗(yàn)誤差也可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)。所以可將表面差異與試驗(yàn)誤差比較間接推斷真實(shí)差異是否存在。如果（μ1－μ2）=0，我們就說(shuō)真實(shí)差異不存在；如果（μ1－μ2）≠0，我們就說(shuō)真實(shí)差異存在。統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的意義用簡(jiǎn)式表示為（－μ0）μ－μ0＝0？由推斷（）μ1－μ2＝0？

二、顯著性檢驗(yàn)的步驟【例4·1】已知某品種玉米單穗重x～N（300，9.52），即單穗重總體平均數(shù)300g，標(biāo)準(zhǔn)差9.5g。種植過(guò)程噴灑了增產(chǎn)素，隨機(jī)抽取9個(gè)果穗，測(cè)得平均單穗重308g，問(wèn)這種增產(chǎn)素對(duì)該品種玉米的平均單穗重有無(wú)真實(shí)影響？

（一）提出假設(shè)對(duì)樣本所在總體作一個(gè)假設(shè)。假設(shè)噴灑增產(chǎn)素的玉米單穗重總體平均數(shù)μ與原玉米單穗重總體平均數(shù)μ0之間沒(méi)有真實(shí)差異，記為H0：或。也就是假設(shè)表面差異（）全由抽樣誤差造成。這個(gè)假設(shè)叫無(wú)效假設(shè)（nullhypothesis）。

與此對(duì)應(yīng)的還有一個(gè)備擇假設(shè)(alternativehypothesis)。備擇假設(shè)是在無(wú)效假設(shè)被否定時(shí)，準(zhǔn)備接受的假設(shè)，記為HA：或。具體到這個(gè)例子，備擇假設(shè)意味著噴灑增產(chǎn)素的玉米單穗重總體平均數(shù)μ與原來(lái)的玉米單穗重總體平均數(shù)μ0之間存在真實(shí)差異。

（二）計(jì)算概率在無(wú)效假設(shè)成立前提下，根據(jù)所檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布規(guī)律，計(jì)算表面差異（）全由抽樣誤差造成的概率有多大。也就是計(jì)算無(wú)效假設(shè)成立這個(gè)事件的概率有多大。

本例是在無(wú)效假設(shè)H0：成立的前提下，研究從N（300，9.52）總體中以n=9抽樣所得樣本平均數(shù)的分布。由抽樣分布結(jié)論知：本例

那么u=2.526的概率是多少？因?yàn)?u0.05=1.96)＜(u＝2.526)＜(u0.01=2.58)所以，這個(gè)u值的概率為:0.01＜p＜0.05，說(shuō)明我們所作的無(wú)效假設(shè)H0:成立的可能性在1%與5%之間,也即表面差異（）全由抽樣誤差造成的概率在0.01～0.05之間。

（三）統(tǒng)計(jì)推斷根據(jù)小概率原理作出否定或不能否定無(wú)效假設(shè)的推斷。

若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于0.05，0.01，0.001，稱(chēng)之為小概率事件。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件，稱(chēng)為小概率事件實(shí)際不可能原理。

如果把0.05作為判定小概率事件的標(biāo)準(zhǔn)，那么本例所作的無(wú)效假設(shè)是一個(gè)小概率事件。它在一次抽樣中實(shí)際不可能發(fā)生，因而否定H0：μ=μ0，接受HA：μ≠μ0，認(rèn)為這個(gè)樣本所在的總體與原總體存在真實(shí)差異。即噴施增產(chǎn)素對(duì)這個(gè)玉米品種的平均單穗重有真實(shí)影響，它能使玉米的穗重增加。這種利用u分布計(jì)算概率進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為u檢驗(yàn)。

三、顯著水平與兩類(lèi)錯(cuò)誤

（一）顯著水平（significantlevel）用來(lái)判定小概率事件的概率標(biāo)準(zhǔn)叫顯著水平，記作α。在生物學(xué)研究中常取α=0.05、0.01。到底選用哪種顯著水平,要根據(jù)試驗(yàn)要求或試驗(yàn)結(jié)論的重要性而定。

對(duì)u檢驗(yàn)，若∣u∣＜1.96，說(shuō)明試驗(yàn)的表面差異屬于試驗(yàn)誤差的概率p＞0.05，即表面差異屬于試驗(yàn)誤差的可能性大。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：“總體平均數(shù)μ與μ0差異不顯著”；

若1.96≤|u|＜2.58，則說(shuō)明試驗(yàn)的表面差異屬于試驗(yàn)誤差的概率p在0.01——0.05之間，即0.01＜p≤0.05，表面差異屬于試驗(yàn)誤差的可能性較小。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：“總體平均數(shù)μ與μ0差異顯著”，u值右上方標(biāo)記*；

若|u|≥2.58，則說(shuō)明試驗(yàn)的表面差異屬于試驗(yàn)誤差的概率p不超過(guò)0.01，即p

≤0.01，表面差異屬于試驗(yàn)誤差的可能性更小。統(tǒng)計(jì)上把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：“總體平均數(shù)μ與μ0差異極顯著”，U值右上方標(biāo)記**。

假設(shè)檢驗(yàn)的幾何意義：

接受區(qū)域φ(u)

－uα0uαu否定區(qū)域(二)兩類(lèi)錯(cuò)誤顯著性檢驗(yàn)可能出現(xiàn)兩種類(lèi)型的錯(cuò)誤：

Ⅰ型錯(cuò)誤又稱(chēng)為α錯(cuò)誤，本來(lái)無(wú)效假設(shè)H0正確,但檢驗(yàn)結(jié)果卻否定H0。就是把試驗(yàn)誤差當(dāng)成真實(shí)差異。犯Ⅰ型錯(cuò)誤的原因是根據(jù)小概率原理否定無(wú)效假設(shè)造成的。

例如140行水稻產(chǎn)量一例，假如把它們當(dāng)成一個(gè)有限總體，且服從正態(tài)分布。每個(gè)觀察值是一個(gè)樣本，則距平均數(shù)μ±1.96σ范圍內(nèi)觀察值占95%,大于這個(gè)范圍以外,占5%，處在正態(tài)分布的兩尾。如果從這個(gè)總體抽樣，抽到范圍外的觀察值幾率較小，只有5%，但它仍是這個(gè)總體的樣本?，F(xiàn)在我們根據(jù)小概率原理否定了它是這個(gè)總體的樣本，犯的這個(gè)錯(cuò)誤叫Ⅰ型錯(cuò)誤，概率不超過(guò)5%。

又如我們?cè)谧鲂缕贩N與原品種的比較試驗(yàn)中，無(wú)效假設(shè)是新品種不增產(chǎn)，備擇假設(shè)是新品種增產(chǎn)。α=0.05，通過(guò)樣本信息和在無(wú)效假設(shè)前提下，計(jì)算的概率小于0.05，則否定無(wú)效假設(shè)，如果概率為10%，則不能否定無(wú)效假設(shè)，但是新品種不增產(chǎn)的概率也只有10%，增產(chǎn)的可能性為90%，實(shí)際應(yīng)用中，人們把沒(méi)有充分理由否定的無(wú)效假設(shè)認(rèn)可為接受，那么接受這個(gè)無(wú)效假設(shè)就有可能犯Ⅱ型錯(cuò)誤，犯Ⅱ型錯(cuò)誤的概率在本例為10%。Ⅱ型錯(cuò)誤又稱(chēng)β錯(cuò)誤，本來(lái)無(wú)效假設(shè)H0是錯(cuò)誤的,但檢驗(yàn)結(jié)果卻接受H0。就是把真實(shí)差異當(dāng)成試驗(yàn)誤差。犯Ⅱ型錯(cuò)誤，一般是隨著的減小或試驗(yàn)誤差的增大而增大。犯Ⅱ型錯(cuò)誤的原因是原假設(shè)下的抽樣分布與真實(shí)分布發(fā)生部分重疊。

為了降低犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率，一般從選取適當(dāng)?shù)娘@著水平α和增加試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n來(lái)考慮。β

四、兩尾檢驗(yàn)與一尾檢驗(yàn)

兩尾檢驗(yàn)：對(duì)應(yīng)于無(wú)效假設(shè)H0：的備擇假設(shè)為HA：。在α水平上的否定域?yàn)楹停瑢?duì)稱(chēng)地分配在u分布曲線(xiàn)的兩側(cè)尾部，每側(cè)尾部的概率為α/2。uα為α水平兩尾檢驗(yàn)的臨界u值。兩尾檢驗(yàn)的目的在于判斷μ與μ0有無(wú)顯著差異，而不考慮μ與μ0誰(shuí)大誰(shuí)小。這種利用兩尾概率進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)兩尾檢驗(yàn)。接受區(qū)域

95%否定區(qū)域

2.5%否定區(qū)域2.5%μ-uaua圖4.1

α=0.05時(shí)HA:μ≠μ0的HA接受區(qū)和否定區(qū)

一尾檢驗(yàn)：對(duì)應(yīng)于無(wú)效假設(shè)H0：μ＝μ0的備擇假設(shè)為HA：μ＞μ0（或HA：μ＜μ0）。這時(shí)否定域位于u分布曲線(xiàn)的右尾(或左尾)，即或）。例如，當(dāng)α=0.05時(shí)，否定域?yàn)椋ɑ颍?，uα為一尾檢驗(yàn)的臨界u值。這種利用一尾概率進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)一尾檢驗(yàn)。圖aα=0.05,H0:μ=μ0;HA:μ>μ00.95α=0.05接受區(qū)否定區(qū)α=0.05否定區(qū)接受區(qū)0.95圖bα=0.05,H0:μ=μ0;HA:μ<μ0

五、顯著性檢驗(yàn)應(yīng)注意的問(wèn)題1、要有合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)和準(zhǔn)確的試驗(yàn)操作，避免系統(tǒng)誤差、降低試驗(yàn)誤差，提高試驗(yàn)的準(zhǔn)確性和精確性。2、選用的顯著性檢驗(yàn)方法要符合其應(yīng)用條件。3、選用合理的統(tǒng)計(jì)假設(shè)。4、正確理解顯著性檢驗(yàn)結(jié)論的統(tǒng)計(jì)意義。5、統(tǒng)計(jì)分析結(jié)論的應(yīng)用，還要與經(jīng)濟(jì)效益等結(jié)合起來(lái)綜合考慮。第二節(jié)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)一、總體方差σ2已知或σ2雖未知但

樣本容量n相當(dāng)大，用u檢驗(yàn)法。【例4·2】糯玉米良種蘇玉糯1號(hào)的鮮果穗重x～N(216.5，45.22)?，F(xiàn)引進(jìn)一高產(chǎn)品種奧玉特1號(hào)，在8個(gè)小區(qū)種植，得其鮮果穗重為：255.0

185.0

252.0

290.0

159.9190.0

212.7

278.5（g），問(wèn)新引入品種鮮果穗重與蘇玉糯1號(hào)有無(wú)顯著差異？1、提出假設(shè)H0：μ＝μ0

＝216.5g，即新引入品種鮮果穗重與蘇玉糯1號(hào)鮮果穗重相同；HA：μ≠μ＝216.5g，即新引入品種鮮果穗重與蘇玉糯1號(hào)鮮果穗重不相同。2、計(jì)算u值

3、統(tǒng)計(jì)推斷

由于計(jì)算所得的u＜u0.05=1.96，故p＞0.05。不能否定H0：μ=μ0=216.5g，表明新引入品種鮮果穗重與蘇玉糯1號(hào)鮮果穗重差異不顯著，可以認(rèn)為新引入品種鮮果穗重與蘇玉糯1號(hào)鮮果穗重相同。

【例4·3】晚稻良種汕優(yōu)63的千粒重μ0＝27.5g。現(xiàn)育成一高產(chǎn)品種協(xié)優(yōu)輻819，在9個(gè)小區(qū)種植，得千粒重為：32.5、28.6、28.4、24.7、29.1、27.2、29.8、33.3、29.7（g），試問(wèn)新育成品種的千粒重與汕優(yōu)63有無(wú)顯著差異？二、總體方差σ2為未知、且為小樣本（n＜30），用t檢驗(yàn)法

本例，由于總體方差未知，又是小樣本，故采用t檢驗(yàn)法。其步驟如下：1、提出假設(shè)H0：μ＝μ0＝27.5g，即新育成品種千粒重與當(dāng)?shù)亓挤N汕優(yōu)63的千粒重相同。HA：μ≠27.5g，即新育成品種千粒重與當(dāng)?shù)亓挤N汕優(yōu)63的千粒重不相同。

2、計(jì)算t值

3、統(tǒng)計(jì)推斷由df=8查臨界t值，得：t0.05(8)=2.306，計(jì)算所得的|t|<t0.05(8)，故p＞0.05，不能否定H0：μ＝27.5g，表明新育成品種千粒重與當(dāng)?shù)亓挤N汕優(yōu)63的千粒重差異不顯著，可以認(rèn)為新育成品種千粒重與當(dāng)?shù)亓挤N汕優(yōu)63的千粒重相同。第三節(jié)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異

顯著性檢驗(yàn)

一、非配對(duì)設(shè)計(jì)兩個(gè)樣本平均數(shù)

差異顯著性檢驗(yàn)

非配對(duì)設(shè)計(jì)是將試驗(yàn)單位完全隨機(jī)地分為兩組，然后再隨機(jī)地對(duì)兩組分別實(shí)施兩種不同處理；兩組試驗(yàn)單位相互獨(dú)立，所得觀測(cè)值相互獨(dú)立；兩個(gè)處理的樣本容量可以相等，也可以不相等，所得數(shù)據(jù)稱(chēng)為非配對(duì)數(shù)據(jù)(也稱(chēng)成組數(shù)據(jù))。

（一）兩個(gè)樣本的總體方差σ12和σ22已知或總體方差σ12和σ22未知，但為大樣本時(shí)，用u檢驗(yàn)法。u值的計(jì)算公式為：均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為：【例4·4】已知優(yōu)質(zhì)早稻佳輻占小區(qū)產(chǎn)量的σ2＝1.35?，F(xiàn)用A、B兩種方法抽樣，A法取15(n1)個(gè)樣點(diǎn)，得小區(qū)產(chǎn)量＝7.69kg；B法取9(n2)個(gè)樣點(diǎn)，得小區(qū)產(chǎn)量＝8.77kg。問(wèn)A、B兩種取樣方法的小區(qū)產(chǎn)量差異是否顯著？1、提出假設(shè)

H0：μ1＝μ2；即A、B兩種取樣法的小區(qū)產(chǎn)量相同；

HA：μ1≠μ2；即A、B兩種取樣法的小區(qū)產(chǎn)量不相同。顯著水平為0.05。2、計(jì)算u值已知，n1＝15，n2＝93、統(tǒng)計(jì)推斷

因?yàn)橛?jì)算所得的|u|介于u0.05=1.96與u0.01=2.58之間，故0.01＜p＜0.05，否定H0：μ1=μ2，接受HA：μ1≠μ2，即A、B兩種取樣方法所得的小區(qū)產(chǎn)量差異顯著。(二)在兩個(gè)樣本的總體方差σ12和σ22未知、但，且為小樣本時(shí)，用t檢驗(yàn)法。又在H0：μ1=μ2前提下，意味著兩樣本來(lái)自同一總體，因而可將樣本合并，計(jì)算樣本合并均方估計(jì)總體方差。且統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明，合并均方是總體方差的無(wú)偏估計(jì)?！纠?·5】測(cè)得馬鈴薯兩個(gè)品種魯引1號(hào)和大西洋的塊莖干物質(zhì)含量（%）結(jié)果如下表所示。試檢驗(yàn)兩個(gè)品種的塊莖干物質(zhì)含量有無(wú)顯著差異。魯引1號(hào)18.6820.6718.4218.0017.4415.95大西洋18.6823.2221.4219.0018.921、提出假設(shè)H0：μ1＝μ2，即兩個(gè)馬鈴薯品種的塊莖干物質(zhì)含量相同；HA：μ1≠μ2，即兩個(gè)馬鈴薯品種的塊莖干物質(zhì)含量不相同。2、計(jì)算t值本例

3、統(tǒng)計(jì)推斷

根據(jù)df＝9，查附表3得：t0.05(9)=2.262，因?yàn)橛?jì)算得的|t|＝1.926＜t0.05(9)=2.262，故p＞0.05，不能否定H0：μ1＝μ2，表明兩個(gè)馬鈴薯品種的塊莖干物質(zhì)含量差異不顯著，可以認(rèn)為兩個(gè)馬鈴薯品種的塊莖干物質(zhì)含量相同。

（三）兩個(gè)樣本的總體方差σ12和σ22為未知，，且兩個(gè)樣本又為小樣本時(shí)，用近似t

檢驗(yàn)法。t′的自由度為有效自由度df′，其計(jì)算公式為【例4·6】測(cè)定糯玉米品種江南花糯的出籽率（%）8次（n1=8），得＝68.06，＝123.74；測(cè)定揚(yáng)農(nóng)01的出籽率（%）6次（n2=6），得＝62.88，＝46.67。試檢驗(yàn)這兩個(gè)糯玉米品種出籽率差異是否顯著。1、提出假設(shè)H0：μ1＝μ2，即兩個(gè)糯玉米品種出籽率相同；HA：μ1≠μ2，即兩個(gè)糯玉米品種出籽率不相同。2、計(jì)算t'值

3、統(tǒng)計(jì)推斷根據(jù)df′＝10查附表3得：t0.05(10)=2.228，因計(jì)算得的|t′|＜2.228，故p＞0.05，不能否定H0：μ1＝μ2，表明兩個(gè)糯玉米品種出籽率差異不顯著，可以認(rèn)為兩個(gè)糯玉米品種出籽率相同。二、配對(duì)設(shè)計(jì)兩樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)

當(dāng)試驗(yàn)單元間差異較大，用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)將會(huì)增大試驗(yàn)誤差，降低試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。為此可按局部控制的原理，把條件一致的兩個(gè)供試單元配成一對(duì)，并設(shè)多個(gè)配對(duì)，再對(duì)每一配對(duì)兩個(gè)單元隨機(jī)獨(dú)立實(shí)施一處理，這就是配對(duì)試驗(yàn)，實(shí)為處理數(shù)為2的隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)，這樣得到的數(shù)據(jù)稱(chēng)為配對(duì)數(shù)據(jù)。(x11,x21)(x12,x22)(x13,x23)(x14,x24)由于各配對(duì)間供試單元差異較大，不便由x1-x2--推斷μ1=μ2？可由di=x1i-x2i消除不同配對(duì)間試驗(yàn)單元的差異。因此可通過(guò)各配對(duì)差數(shù)的平均數(shù)來(lái)推斷μd=0或某一常數(shù)？-μd)(d_st=d-遵從df=n-1的t分布。sd-稱(chēng)為差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤[例5.6]

選較一致的兩株番茄配成一對(duì)，共7對(duì)，每對(duì)中一株接種A處理病毒、另一株接種B處理病毒，以葉面枯斑數(shù)作為致病力強(qiáng)弱的指標(biāo)。試分析這兩種處理病毒方法的差異顯著性。

配對(duì)號(hào)1234567∑

Ax1i1013835206Bx2i25121415122718

差數(shù)di-151-6-12-7-7-12-581、提出假設(shè)H0：μd＝μ1－μ2＝0，即兩種鈍化病毒方式病斑數(shù)相同；HA：μd＝μ1－μ2≠0，即兩種鈍化病毒方式病斑數(shù)本質(zhì)不相同；

2、計(jì)算t值

t值公式

差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤公式

df＝n－13、推斷第四節(jié)百分率資料的顯著性檢驗(yàn)二項(xiàng)